En el ejemplo 8.3.12, se definen operaciones de adición ( ) y multiplicación ( ) como sigue: Para todos (a, b), (c, d ) A, [(a, b)] [(c, d )] [...

En el ejemplo 8.3.12, se definen operaciones de adición ( ) y multiplicación ( ) como sigue: Para todos (a, b), (c, d ) A,
[(a, b)] [(c, d )] [(ad be, bd )]
[(a, b)] [(c, d )] [(ac, bd )].
a. Demuestre que esta adición está bien definida. Es decir, demuestre que si [(a, b)] [(a , b ] y [(c, d )] [(c , d )], entonces [(ad bc, bd )] [(a d b c , b d )].
b. Demuestre que esta multiplicación está bien definida. Es decir, demuestre que si [(a, b)] [(a , b )] y [(c, d )] [c , d )], entonces [(ac, bd )] [(a c , b d )].
c. Demuestre que [(0, 1)] es un elemento identidad para la adición. Es decir, demuestre que para cualquier (a, b) A,
[(a, b)] [(0, 1)] [(0, 1)] [(a, b)] [(a, b)].
d. Encuentre un elemento identidad para la multiplicación. Es decir, encuentre (i, j) en A tal que para todo (a, b) en A. [(a, b)] [(i, j)] [(i, j)] [(a, b)] ((a, b)].
e. Para cualquier (a, b) A, demuestre que [(฀a, b)] es una inversa para [(a, b)] para la adición. Es decir, demuestre que [(฀a, b)] [(a, b)] [(a, b)] [(฀a, b)] [(0, 1)].
f. Dado cualquier (a, b) A con a = 0, encuentre una inversa para [(a, b)] para la multiplicación. Es decir, encuentre (c, d ) en A así que [(a, b)] [(c, d )] [(c, d )] ฀ [(a, b)] [(i, j)], donde [(i, j)] es el elemento identidad que encontró en el inciso d ).