Conjunto de ejercicios 11.2 1. La siguiente es una definición formal para la notación , escrita empleando cuantificadores y variables: f (x) es (g(x)) si y sólo si, números reales positivos a y A tales que para todo x a, A g(x) f (x) . a. Utilizando los símbolos y , escriba la negación formal de la definición. b. Sin emplear los símbolos y , establezca la negación, pero menos formalmente. 2. La siguiente es una definición formal para la notación O, escrita utilizando cuantificadores y variables: f (x) es O(g(x)) si y sólo si, números reales positivos b y B tales que x b, f (x) B g(x) . a. Utilizando los símbolos y , escriba la negación formal de la definición. b. Escriba la negación, pero menos formalmente, sin emplear los símbolos y . 3. La siguiente es una definición formal para la notación , escrita utilizando cuantificadores y variables: f (x) es (g(x)) si y sólo si, números reales positivos k, A y B tales que x k, A g(x) f (x) B g(x) . a. Escriba la negación formal de la definición empleando los símbolos y . b. Sin usar los símbolos y , redacte la negación, pero con menos formalidad. En los ejercicios del 4 al 9, exprese cada enunciado empleando las notaciones , O o . 4. 5x8 ฀ 9x7 2x5 3x ฀ 1 6 x8 para todos los números reales x 3. (Use la notación O.) 5. x x2 ฀ 1 12x 25 3x2 4 6 x para todos los números reales x 2. 6. |x7/2| ≤ ∣ ∣ ∣ ∣ (x2 − 7)2(10x1/2 + 3) x + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ para todos los números reales x 4. (Use la notación .) 7. 3x6 5x4 ฀ x3 9 x6 para todos los números reales x 1. (Use la notación O.) 8. 1 2 x4 ≤ |x4 − 50x3 + 1| para todos los números reales x 101. (Use la notación .) 9. 1 2 x2 3x2 ฀ 80x 7 3 x2 para todos los números reales x 25. En cada ejercicio del 10 al 14 suponga que f y g son funciones valuadas en los reales definidas sobre el mismo conjunto de números reales no-negativos. 10. Demuestre que si g(x) es O(f (x)), entonces f (x) es (g(x)). 11. Demuestre que si f (x) es O(g(x)) y c es cualquier número real diferente de cero, entonces cf (x) es O(g(x)). 12. Demuestre que si f (x) es O(h(x)) y g(x) es O(k(x)), entonces f (x) g(x) es O(G(x)), en donde, para cada x en el dominio, G(x) máx( h(x) , k(x) ). 13. Demuestre que f (x) es (f (x)). 14. Demuestre que si f (x) es O(h(x)) y g(x) es O(k(x)), entonces f (x)g(x) es O(h(x)k(x)). 15. a. Use inducción matemática para demostrar que si x es cualquier número real x 1, entonces x n 1 para todos los enteros n 1. H b. Demuestre que si x es cualquier número real con x 1, entonces xm xn para cualesquiera enteros m y n con m n. 16. a. Demuestre que para cualquier número real x, si x 1 entonces x2 2x2 15x 4 . b. Demuestre que para cualquier número real x, si x 1 entonces 2x2 15x 4 21 x2 . c. Use las notaciones y O para expresar los resultados de los incisos a) y b). d. ¿Qué puede deducir acerca del orden de 2x2 15x 4? 17. a. Demuestre que para cualquier número real x, si x 1 entonces x4 23x4 8x2 4x . b. Demuestre que para cualquier número real x, si x 1 entonces 23x4 8x2 4x 35 x4 . c. Use las notaciones y O para expresar los resultados de los incisos a) y b). d. ¿Qué puede deducir acerca del orden de 23x4 8x2 4x? 18. Utilice la definición de la notación para demostrar que 5x3 65x 30 es (x3). 19. Aplique la definición de la notación para demostrar que x2 100x 88 es (x2). 20. a. Demuestre que para cualquier número real x, si x 1 entonces x2 x2 . b. Demuestre que para cualquier número real x, si x 1 entonces 1 2 |⌈x2⌉| ≤ |x2|. c. Use las notaciones y O para expresar los resultados de los incisos a) y b). d. ¿Qué puede deducir sobre el orden de [x2]? 21. a. Demuestre que para cualquier número real x, si x 1 entonces |⌊√x⌋| ≤ |√x |. b. Demuestre que para cualquier número real x, si x 1 entonces 1 2 | √ x | ≤ |⌊x⌋|. c. Utilice las notaciones y O para expresar los resultados de los incisos a) y b). d. ¿Qué puede deducir acerca del orden de ⌊√x⌋? 22. a. Demuestre que para cualquier número real x, si x 1 entonces 7x4 ฀ 95x3 3 105 x4 . b. Use la notación O para expresar el resultado del inciso a). 23. a. Demuestre que para cualquier número real x, si x 1 entonces | 1 5 x2 − 42x − 8| ≤ 51|x2|. b. Aplique la notación O para expresar el resultado del inciso a). H H 24. a. Demuestre que para cualquier número real x, si x 1 entonces