2. a. (4+3−1 4 )= (6 4 )= 6 ·5 2 = 15 a. (20+6−1 20 )= (25 20 )= 53,130 3. b. Si al menos tres son choux, entonces los 17 panes adicionales son seleccionados de seis tipos. El número de selecciones es (17+6−1 17 )= (22 17 )= 26,334. Nota: En los incisos a) y b), se supone que las selecciones contadas no tienen orden. c. Sea T el conjunto de selecciones de panes que pueden ser de cualquiera de los seis tipos, E 3 es el conjunto de selecciones con tres o más choux y E 2 es el conjunto de selecciones que contiene dos o menos chouxs. Entonces N E 2 N T ฀ N E 3 porque T E 2 E 3 y E 2 E 3 53 130฀ 26 334 por los incisos a) y b) 26 796 Así hay 26,796 selecciones de panes que tienen a lo más dos chouxs. 5. La respuesta es igual al número de 4-combinaciones, con repe- tición permitida, que se pueden formar de un conjunto de n elementos. Entonces (4 + n − 1 4 )= (n + 3 4 )= (n + 3)(n + 2)(n + 1)n(n − 1)! 4!(n − 1)! = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) 24 . 8. Como en el ejemplo 9.6.4, la respuesta es la misma como el número de cuádruplas de enteros (i, j, k, m) para las que 1 i j k m n. Por el ejercicio 5, este número es n 3 4 n n 1 n 2 n 3 24 . 10. Pensar en el número 20 como dividido en 20 unidades indi- viduales y en las variables x1, x2 y x3 como tres categorías en las cuales esas unidades son colocadas. El número de uni- dades en la categoría xi indica el valor de xi en una solución de la ecuación. Por el teorema 9.6.1, el número de maneras de seleccionar 20 objetos de las tres categorías es 20 3฀1 20 22 20 22 21 2 231, entonces la ecuación tiene 231 soluciones enteras no-negativas. 11. El análisis para este ejercicio es el mismo como en el ejercicio 10 excepto que como cada xi 1, podemos imaginar que se toman 3 de las 20 unidades, colocando una en cada catego- ría x1, x2 y x3 y entonces distribuir las restantes 17 unidades en las tres categorías. El número de formas de hacer esto es (17+3−1 17 )= (19 17 )= 19 ·18 2 = 171, entonces la ecuación tiene 171 posibles soluciones enteras positivas. 16. a. Sea L 7 el conjunto de selecciones que incluyen al menos siete frascos de limonada. En este caso unos ocho frascos adi- cionales pueden seleccionarse de los cinco tipos de bebidas, entonces N (L≥7) = (8 + 5 − 1 8 )= (12 8 )= 495. Sea T el conjunto de selecciones de frascos en que la bebida puede ser cualquiera de los cinco tipos y sea L 6 el conjunto de selecciones que contienen a lo más seis frascos de limo- nada. Por tanto, N L 6 N T ฀ N L 7 porque T L 6 L 7 y L 6 L 7 3 876฀ 495 por lo anterior y la parte (a) del ejemplo 9 6 23 381 Entonces, hay 3,381 selecciones de quince frascos de bebidas que contienen a lo más seis frascos de limonada. b. Sea R 5 el conjunto de selecciones que contiene a lo más cinco frascos de cerveza de raíz y sea L 6 el conjunto de selecciones con a lo más seis frascos de limonada. La res- puesta a la pregunta puede representarse como N (R 5 ฀ L 6). Como en el inciso a), sea T el conjunto de todas las selecciones de quince frascos en las cuales la bebida puede ser cualquiera de los cinco tipos. Si en T elimina todas las selec- ciones que contiene al menos seis frascos de cerveza de raíz o al menos siete frascos de limonada, entonces se queda con todas las selecciones que contienen a lo más cinco frascos de cerveza y a lo más seis frascos de limonada. Así, en la notación del inciso a) y del ejemplo 9.6.2, N (R 5 ฀L 6) N (T ) ฀ N (R 6 ฀L 7). Use la regla de inclusión/exclusión como sigue para calcular N (R 6 ฀L 7): N (R≥6 ∪ L≥7) = N (R≥6) + N (L≥7) − N (R≥6 ∩ L≥7). Para encontrar N(R 6 L 7), observe que si se seleccionan al menos seis frascos de cerveza y al menos siete frascos de limonada, entonces a lo más se pueden elegir dos frascos adicionales de bebida de los otros tres tipos para hacer un total de quince frascos. Una selección de dos de tales frascos puede representarse por una cadena de 2 y 3 y una elec- ción de un frasco se puede representar por una cadena de 1 y 3 . Entonces N (R≥6 ∩ L≥7) = (2 + 3 − 1 2 )= (1 + 3 − 1 1 )= (4 2 ) + (3 1 ) = 6 + 3 = 9. 9.6 Soluciones y sugerencias para los ejercicios seleccionados A-87 A-88 Apéndice B Soluciones y sugerencias para los ejercicios seleccionados Se tiene que N R 6 L 7 N R 6 N L 7 por la regla de inclusión/exclusión฀ N R 6 L 7 715 495฀ 15 por el inciso a), el cálculo anterior, y el inciso b) del ejemplo 9.6.2 1201 Juntando toda la información anterior en la solución se obtiene: N R 5 L 6 N T ฀ N R 6 L 7 3 876฀ 1 201 2 675 Así, existen 2 681 selecciones de quince bebidas que contie- nen a lo más cinco frascos de cerveza de raíz y a lo más seis frascos de limonada. 17. Sugerencias: a. La respuesta es 10 295 472. b. Vea la solución del inciso c) del ejemplo 9.6.2. La respuesta es 9 949 368. c. La respuesta es 9 111 432. d. Aceptemos que T denote el conjunto de todas las selecciones de treinta balones, R 12 representa el conjunto de selecciones que contiene a lo más doce balones rojos, B 8 es el conjunto de elecciones con a lo más ocho balones azules, R 13 denota el conjunto de selecciones que contiene al menos trece balones rojos y B 9 representa el conjunto de selecciones con al menos nueve balones azules. Entonces la respuesta a la pregunta puede representarse como N (R 12 B 8). Si del total de todas las selecciones de balones, se eliminan aquellas que contiene al menos trece balones rojos o al menos nueve azules, entonces se queda con las selecciones con a lo más doce balones rojos y a lo más ocho azules. Así N (R 12 B 8) N (T ) ฀ N (R 13 B 9). Calcule N(R 13 B 9) y use la regla de inclusión/exclusión para encontrar N(R 13 B 9). 19. Sugerencia: Las respuestas son a. 51 128 b. 46 761 Sección 9.7 1. ( n 0 )= n! 0!(n − 0)! = n! 1 ·n! = 1 3. ( n 2 )= n! (n − 2)! ·2! = n ·(n − 1) ·(n − 2)! (n − 2)! ·2! = n(n − 1) 2 5. Demostración: Suponga que n y r son enteros no-negativos con r n. Entonces n r n ฀ r por el teorema 9.5.1 n n ฀ n ฀ r n ฀ r porque n ฀ n ฀ r n ฀ n r r n n ฀ r