Porque B B1 B2. Así que, por definición de la O-notación f x g x es O h x . Así que, por definición de la O-notación, f (x) g(x) es O(h(x)). b. Por...

Porque B B1 B2. Así que, por definición de la O-notación f x g x es O h x . Así que, por definición de la O-notación, f (x) g(x) es O(h(x)). b. Por el ejercicio 15, para toda x 1, x 2 x 4. Así que x2 1 x 4 para toda x 1. Entonces, por definición de la O-notación, x 2 es O(x 4). También, x 4 1 x 4 para toda x y así x 4 es O(x 4). Del inciso a) se tiene que x 2 x 4 es O(x 4).

50. d. Sugerencia: Si p, q y s son enteros positivos, r es un entero no-negativo y p q > r s, entonces ps qr y así ps ฀ qr 0. Además, x p/q xr/s = x (p/q−r/s) = x (pq−rs)/qs. Aplique el inciso c) a x1 qs y use el hecho de que ps ฀ qr es un entero y ps ฀ qr 0 para hacer uso del resultado del ejercicio 15.
28. Sea a = (95+3/7)·2 = 28 y sea A 7/2. Si x a, entonces x 95+3/7 2 x 95/7 2 3/7 x 95/7 3/7 1 x3 porque 1 x3 1 ya que x 28/7 4 95x3 3 multiplicando ambos lados por 7x3/2 7 7/2 x4 95x3 3 porque 95x3 3 95x3 3 y 7 7/2 7 2 7x4 7/2 7 2 x4 95x3 3 efectuando la multiplicación, 7x4 95x3 3 7 2 x4 sumando 7 2 x4 95x3 3 en ambos lados 7x4 95x3 3 Ax4 porque A 7/2 7x4 95x3 3 A x4 porque ambos lados son no-negativos. Así que, por definición de la -notación, 7x4 95x3 3 es (x4).
31. Por el ejercicio 22, 7x 4 95x 3 3 es O(x 4) y por el ejercicio 28, 7x 4 95x 3 3 es (x 4). Así, por el teorema 11.2.1(1), 7x 4 95x 3 3 es (x 4).
34. x 1 x฀2 4 x2฀x฀2 4 1 4 x2 1 4 x 1 2 es 2x por el teorema sobre órdenes polinomiales.
37. n(n+1)(2n+1) 6 = 2n3+3n2+n 6 = 1 3 n3 + 1 2 n2 + 1 6 n, que es (n3) por el teorema sobre órdenes polinomiales.
59. Demostración: Suponga que f (x) es O(g(x)). Por definición de la O-notación, límx f x g x 0. Por definición de límite, esto implica que dado cualquier número real 0, existe un número real x0 tal que ∣ ∣ ∣ f (x) g(x) − 0 ∣ ∣ ∣ < ε para toda x x0. Sea b máx(x0, 1). Entonces f (x) g(x) para toda x b. Eli