Solución 4.15 P X a) Usando la geometría del problema, se puede deducir que el campo eléctrico es de la forma ~E = E(z)ẑ. En particular cabe notar que como ρ(z) = ρ(−z) el campo eléctrico en un punto z0 sobre el eje z apuntará en el sentido inverso en punto −z0 de modo que | ~E(−z0)| = | ~E(z0)| =⇒ ~E(−z0) = −E(z0)ẑ (ie. existe una simetría del campo eléctrico con respecto al plano xy). Para encontrar el valor del campo eléctrico es necesario usar la ley de Gauss tomando un cilindro centrado en origen con tapas de área A. Luego • Para |z0| ≤ a E(z0)ẑ A A �E(z0)ẑ z = a z = �a z = z0 z = �z0 Figura 4.4: Superficie Gaussiana para |z| ≤ a II. SOLUCIONES 51 Usando ley de Gauss para calcular el campo eléctrico en punto z0 ∈ [−a, a] ¨ Tapas ~E · ~dS = qencerrada ε0 E(z0)ẑ ·Aẑ +−E(z0)ẑ · −Aẑ = 1 ε0 ˚ Cilindro ρ(z)dV 2A · E(z0) = A ε0 z0ˆ −z0 ρ0 [ exp ( −z + a δ ) + exp ( z − a δ )] dz E(z0) = ρ0 2ε0   z0ˆ −z0 exp ( −z + a δ ) dz + z0ˆ −z0 exp ( z − a δ ) dz   = ρ0 2ε0 [ −δ exp ( −z + a δ ) ∣∣∣∣ z0 −z0 + δ exp ( z − a δ ) ∣∣∣∣ z0 −z0 ] = ρ0δ ε0 [ − exp ( −z0 + a δ ) + exp ( z0 − a δ )] = −ρ0δ ε0 [ exp ( −z0 + a δ ) − exp ( z0 − a δ )] Ahora se puede concluir que ~E(z0) = E(z0)ẑ para z0 ∈ [0, a] y ~E(z0) = −E(z0)ẑ para z0 ∈ [−a, 0], pero dado que E(−z0) = −E(z0) , se resume que ~E(z0) = −ρ0δ ε0 [ exp ( −z0 + a δ ) − exp ( z0 − a δ )] ẑ • Para |z0| > a E(z0)ẑ A A �E(z0)ẑ z = a z = �a z = z0 z = �z0 Figura 4.5: Superficie Gaussiana para |z| > a 52 CAPÍTULO 4. CONDUCTORES, CONDENSADORES Y ENERGÍA Análogo al cálculo anterior, se tiene que para un punto z0 fuera del bloque macizo se tiene ¨ Tapas ~E · ~dS = qencerrada ε0 E(z0) = 1 2ε0 aˆ −a ρ0 [ exp ( −z + a δ ) + exp ( z − a δ )] dz = ρ0 2ε0   aˆ −a exp ( −z + a δ ) dz + aˆ −a exp ( z − a δ ) dz   = ρ0 2ε0 [ −δ exp ( −z + a δ ) ∣∣∣∣ a −a + δ exp ( z − a δ ) ∣∣∣∣ a −a ] = ρ0δ ε0 [ 1− exp ( −2a δ )] Por lo que se concluye que ~E(z0) =          ρ0δ ε0 [ 1− exp ( −2a δ )] ẑ z0 > a −ρ0δ ε0 [ 1− exp ( −2a δ )] ẑ z0 < −a b) La aproximación dice que δ � a por lo que se asumirá que a δ →∞. Para |z| > a, se tiene que: E(z0) = ρ0δ ε0 [ 1− exp ( −2a δ )] ≈ ρ0δ ε0 Por lo tanto ~E(z0) =          ρ0δ ε0 ẑ z0 > a −ρ0δ ε0 ẑ z0 < −a Para el caso |z| < a se puede hacer de más de una forma, una es analizando la expresión E(z0) = ρ0δ ε0 [ − exp ( −z0 + a δ ) + exp ( z0 − a δ )] = ρ0δ ε0 exp ( −a δ ) [ − exp ( −z0 δ ) + exp ( z0 δ )] Se tiene que exp ( −a δ ) → 0, por lo que E(z0) → 0. Sin embargo hay que tener cuidado ya que cuando z0 → a− (en las cercanías del borde), el valor de exp ( z0 δ ) se vuelve muy grande y anula el efecto anterior dejando E(z0 → a) constante (¡la aproximación provoca que la función E(z0) crezca muy rápido en las cercanías de a−!). II. SOLUCIONES 53 El análisis también en válido para z0 → −a por simetría. Otra forma mucho más claro para verlo es usar una aproximación según Taylor al primer orden, es decir E(z0) = ρ0δ ε0 [ − exp ( −z0 + a δ ) + exp ( z0 − a δ )] ≈ ρ0δ ε0 [ − exp ( −a δ ) + z0 δ exp ( −a δ ) + exp ( −a δ ) + z0 δ exp ( −a δ )] ≈ 2ρ0z0 ε0 exp ( −a δ ) Si examina la expresión, se sabe que el valor z0 está acotado por “a” por lo tanto la expresión no puede crecer infinitamente y no puede contrastar el hecho que exp ( −a δ ) → 0. Se concluye que ~E = 0 para z0 ∈ (−a, a). Como ya se vio, los casos interesantes ocurren en los valores z0 = a o z0 = −a, en el cual aparece una discontinuidad entre los valores de campo eléctrico. Dado los resultados anteriores, podemos que concluir que el material se comporta como un bloque conductor, dentro de él se tiene ~E = 0 y fuera de él se tiene un valor constante (debido a la carga en sus caras). El término ρ0δ → σ corresponde a la densidad de carga superficial en las caras del conductor. Las líneas de carga se representan en la Figura 4.6. z = a z = �a z y r(z) Figura 4.6: Líneas de Campo perpendiculares al bloque (en azul). Las líneas de campo poseen esta forma debido a que siguen la dirección del campo eléctrico (paralelo al eje z). Dentro del conductor no hay líneas debido a que no hay campo eléctrico. 54 CAPÍTULO 4. CONDUCTORES, CONDENSADORES Y ENERGÍA c) Usando de referencia V (z = −a) = V0 se tiene que la expresión genérica para el potencial eléctrico es V (z)− V (−a) = − zˆ −a E(z)dz =⇒ V (z) = − zˆ −a E(z)dz + V0 Analizando por intervalos: • −a ≤ z ≤ a V (z) = − zˆ −a E(z)︸ ︷︷ ︸ 0 dz + V0 = V0 • z > a V (z) = − aˆ −a E(z)︸ ︷︷ ︸ 0 dz − zˆ a E(z)dz + V0 = V0 − zˆ a ρ0δ ε0 dz = V0 − ρ0δ ε0 (z − a) • z < −a V (z) = − zˆ −a E(z)dz + V0 = V0 + ρ0δ ε0 (z + a) Notar que el valor del potencial es simétrico con respecto al plano