a) Usando la geometria do problema, se pode deduzir que o campo elétrico é da forma ~E = E(z)ẑ. Em particular cabe notar que como ρ(z) = ρ(−z) o c...

a) Usando la geometria do problema, se pode deduzir que o campo elétrico é da forma ~E = E(z)ẑ. Em particular cabe notar que como ρ(z) = ρ(−z) o campo elétrico em um ponto z0 sobre o eixo z apontará no sentido inverso em ponto −z0 de modo que | ~E(−z0)| = | ~E(z0)| =⇒ ~E(−z0) = −E(z0)ẑ (ie. existe uma simetria do campo elétrico com respeito ao plano xy). Para encontrar o valor do campo elétrico é necessário usar a lei de Gauss tomando um cilindro centrado em origem com tapas de área A. Luego
• Para |z0| ≤ a
E(z0)ẑ
A
A
�E(z0)ẑ
z = a
z = �a
z = z0
z = �z0
Figura 4.4: Superficie Gaussiana para |z| ≤ a

II. SOLUCIONES 51
Usando ley de Gauss para calcular o campo elétrico em ponto z0 ∈ [−a, a]
¨
Tapas
~E · ~dS =
qencerrada
ε0
E(z0)ẑ ·Aẑ +−E(z0)ẑ · −Aẑ =
1
ε0
˚
Cilindro
ρ(z)dV
2A · E(z0) =
A
ε0
z0ˆ
−z0
ρ0
[
exp
(
−z + a
δ
)
+ exp
(
z − a
δ
)]
dz
E(z0) =
ρ0
2ε0


z0ˆ
−z0
exp
(
−z + a
δ
)dz +
z0ˆ
−z0
exp
(
z − a
δ
)dz


=
ρ0
2ε0
[−δ exp
(
−z + a
δ
) ∣∣∣∣
z0
−z0 + δ exp
(
z − a
δ
) ∣∣∣∣
z0
−z0]
=
ρ0δ
ε0
[− exp
(
−z0 + a
δ
) + exp
(
z0 − a
δ
)] = −ρ0δ
ε0
[exp
(
−z0 + a
δ
) − exp
(
z0 − a
δ
)]

Agora se pode concluir que ~E(z0) = E(z0)ẑ para z0 ∈ [0, a] e ~E(z0) = −E(z0)ẑ para z0 ∈ [−a, 0], mas dado que E(−z0) = −E(z0) , se resume que
~E(z0) = −ρ0δ
ε0
[exp
(
−z0 + a
δ
) − exp
(
z0 − a
δ
)]ẑ
• Para |z0| > a
E(z0)ẑ
A
A
�E(z0)ẑ
z = a
z = �a
z = z0
z = �z0
Figura 4.5: Superficie Gaussiana para |z| > a

52 CAPÍTULO 4. CONDUCTORES, CONDENSADORES Y ENERGÍA
Análogo al cálculo anterior, se tiene que para um ponto z0 fora do bloco maciço se tem
¨
Tapas
~E · ~dS =
qencerrada
ε0
E(z0) =
1
2ε0
aˆ
−a
ρ0
[
exp
(
−z + a
δ
) + exp
(
z − a
δ
)]
dz
=
ρ0
2ε0

aˆ
−a
exp
(
−z + a
δ
)dz +
aˆ
−a
exp
(
z − a
δ
)dz


=
ρ0
2ε0
[−δ exp
(
−z + a
δ
) ∣∣∣∣
a −a + δ exp
(
z − a
δ
) ∣∣∣∣
a −a]
=
ρ0δ
ε0
[1− exp
(
−2a
δ
)]

Por lo que se concluye que
~E(z0) =



ρ0δ
ε0
[1− exp
(
−2a
δ
)]ẑ z0 > a
−ρ0δ
ε0
[1− exp
(
−2a
δ
)]ẑ z0 < −a
b) La aproximación dice que δ � a por lo que se asumirá que
a
δ
→∞. Para |z| > a, se tem que:
E(z0) =
ρ0δ
ε0
[1− exp
(
−2a
δ
)] ≈ ρ0δ
ε0
Por lo tanto
~E(z0) =



ρ0δ
ε0
ẑ z0 > a
−ρ0δ
ε0
ẑ z0 < −a
Para o caso |z| < a se pode fazer de mais de uma forma, uma é analisando a expressão
E(z0) =
ρ0δ
ε0
[− exp
(
−z0 + a
δ
) + exp
(
z0 − a
δ
)]
=
ρ0δ
ε0
exp
(
−a
δ
) [− exp
(
−z0
δ
) + exp
( z0
δ
)]
Se tem que exp
(
−a
δ
) → 0, por lo que E(z0) → 0. No entanto hay que tener cuidado ya que cuando z0 → a− (en las cercanías del borde), el valor de exp
(z0
δ
) se vuelve muy grande e anula el efeito anterior deixando E(z0 → a) constante (¡la aproximación provoca que a função E(z0) cresça muito rápido nas cercanías de a−!).

II. SOLUCIONES 53
El análisis también en válido para z0 → −a por simetría.
Otra forma mucho más claro para verlo es usar una aproximación según Taylor al primer orden, es decir
E(z0) =
ρ0δ
ε0
[− exp
(
−z0 + a
δ
) + exp
(
z0 − a
δ
)]
≈ ρ0δ
ε0
[− exp
(
−a
δ
) + z0
δ
exp
(
−a
δ
) + exp
(
−a
δ
) + z0
δ
exp
(
−a
δ
)]
≈ 2ρ0z0
ε0
exp
(
−a
δ
)
Si examina la expressão, se sabe que o valor z0 está acotado por “a” por lo tanto a expressão não pode crecer infinitamente e não pode contrastar o hecho que exp
(
−a
δ
) → 0.
Se concluye que ~E = 0 para z0 ∈ (−a, a).
Como já se viu, os casos interessantes ocorrem nos valores z0 = a ou z0 = −a, no qual aparece uma descontinuidade entre os valores de campo elétrico. Dado os resultados anteriores, podemos que concluir que o material se comporta como um bloco condutor, dentro dele se tem ~E = 0 e fora dele se tem um valor constante (devido à carga em suas caras). O termo ρ0δ → σ corresponde à densidade de carga superficial nas caras do condutor. As linhas de carga se representam na Figura 4.6.
z = a
z = �a
z
y
r(z)
Figura 4.6: Líneas de Campo perpendiculares al bloque (en azul).
Las líneas de campo poseen esta forma debido a que siguen la dirección del campo eléctrico (paralelo al eje z). Dentro del condutor no hay líneas debido a que no hay campo eléctrico.
c) Usando de referencia V (z = −a) = V0 se tem que a expressão genérica para o potencial elétrico é
V (z)− V (−a) = −
zˆ
−a
E(z)dz =⇒ V (z) = −
zˆ
−a
E(z)dz + V0
Analizando por intervalos:
• −a ≤ z ≤ a
V (z) = −
zˆ
−a
E(z)︸ ︷︷ ︸
0
dz + V0 = V0
• z > a
V (z) = −
aˆ
−a
E(z)︸ ︷︷ ︸
0
dz −
zˆ
a
E(z)dz + V0 = V0 −
zˆ
a
ρ0δ
ε0
dz = V0 −
ρ0δ
ε0
(z − a)
• z < −a
V (z) = −
zˆ
−a
E(z)dz + V0 = V0 +
ρ0δ
ε0
(z + a)
Notar que o valor do potencial é simétrico com respeito ao plano xy no caso que |z| > a, já que se cumple que V (−z0) = V (z0). Lo anterior é intuitivo, já que o trabalho de mover uma carga desde o origem até z0 será o mesmo que do origem a −z0, todo devido à simetría.
z = a
z = �a
z
y
r(z)
Fig