a) La carga contenida será para r ≤ R:
Qenc(r ≤ R) = ˚ ρ(r)dV = hˆ 0 2πˆ 0 rˆ 0 r a · rdrdθdz = 2πhr3 3a mientras tanto, en el caso r > R
Qenc(r > R) = ˚ ρ(r)dV = hˆ 0 2πˆ 0 R̂ 0 r a · rdrdθdz = 2πhR3 3a
b) Usando la ley de Gauss para r ≤ R: ¨ ~E · ~dS = Qenc ε0 =⇒ E(r) · 2πrh = 2πhr3 3aε0 =⇒ ~E(r) = r2 3aε0 r̂ De igual forma, para r > R:¨ ~E · ~dS = Qenc ε0 =⇒ E(r) · 2πrh = 2πhR3 3aε0 =⇒ ~E(r) = R3 3aε0r r̂ c) El potencial V (r), usando como referencia V (r = 0) = 0 , estará dado por
V (r) = V (r)− V (0) = − rˆ 0 E(r)dr Para un radio r ≤ R el potencial está dado por
V (r) = − rˆ 0 r2 3aε0 dr = − r3 9aε0 de forma parecida, el potencial para un radio r > R es
V (r) = − R̂ 0 r2 3aε0 dr − rˆ R R3 3aε0r dr = − R3 3aε0 [ ln ( r R ) + 1 3 ]
d) Los gráficos están dados por
II. SOLUCIONES 33 |~E(r)| rR R2 3ae0 Figura 3.4: Campo Eléctrico
V (r) r R � R3 9ae0 Figura 3.5: Potencial Eléctrico
Solución 3.13 P X
a) Dado que el sistema está compuesto por una recta infinita y un plano infinito, se determina cual es el campo eléctrico que genera cada uno de ellos y luego se procederá a la rotación del resultado. Como resultados generales para un plano infinito y una recta se tiene que: ¨ ~E · ~dS = Qenc ε0 =⇒ 2AE(z) = σA ε0 =⇒ ~E(z) = σ 2ε0 ẑ ¨ ~E · ~dS = Qenc ε0 =⇒ 2πrLE(r) = λL ε0 =⇒ ~E(r) = λ 2πrε0 r̂ En este problema se debe tomar como referencia la siguiente Figura
~E1
~E2 a a y y x y l s 2a Figura 3.6: Campos Eléctricos en un punto sobre la bisectriz Se toma un punto P arbitrario a una distancia y desde la bisectriz hasta el plano. Sobre ese punto actúan dos campos eléctricos ( ~E1 y ~E2 provocados por el plano y por la recta, respectivamente), de modo que la superposición de ambos campos es el campo total en el punto. Usando el sistema de referencia de la Figura 3.6, el campo total vale:
~ET = | ~E1|ŷ − | ~E2| cos(2α)ŷ + | ~E2| sin(2α)x̂