Considere un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal, de manera tal que la bobina es paralela a éste. Si un campo magnético ~B apunta verticalmente en la región, ¿cuál es la corriente necesaria en la bobina, que permitirá a la esfera permanecer en equilibrio en el plano inclinado?. Muestre que el resultado es independiente de θ. q ~B Problema 12.8 X Considere una espira de radio R, N vueltas y masa M distribuida homogéneamente por la cual circula una corriente I0. Esta espira se coloca en un campo magnético constante de ~B = B0x̂ orientado de tal manera que el torque sobre la espira es mínimo. a) Demostrar que si la bobina se gira un pequeño ángulo con respecto al eje x y es puesto en libertad, este comenzará a oscilar entorno la posición mínimo torque. Encuentre la frecuencia de pequeñas oscilaciones que presentará la espira. b) Si la espira se suelta desde un ángulo θ0 ≈ 0, determine la velocidad angular que tendrá la espira cuando pase por su posición de equilibrio. N x y ~B0 R I0 q Problema 12.9 X Considere un electrón orbitando a un protón, que mantiene una trayectoria circunferencial de radio R debido a la interacción Coulombiana. Tomando la órbita de carga como un circuito de corriente eléctrica, calcule el torque resultante cuando el sistema está inmerso en un campo magnético ~B, orientado perpendicularmente respecto al plano donde vive el protón y el electrón. La carga del electrón y del protón son conocidas, −e y e respectivamente , al igual que la masa del electrón me. R +e −e,me ~B Problema 12.10 X Considere tres momentos magnéticos iguales ~m0, ubicados en los vértices de un triángulo rectángulo ABC de lados a, a y a √ 2. a) Determine el trabajo necesario para invertir la posición del momento magnético ubicado en el vértice C. b) ¿Cuál es el torque que sienten los momentos magnéticos ubicados en A y C?. a a a p 2A B C ~m0 ~m0 ~m0 Problema 12.11 X Un circuito cuadrado de lado a está suspendido en el centro de un enorme anillo fijo de radio R (R� a) por un hilo que ejerce un torque restaurador de magnitud τ = kθ, con θ el ángulo de torsión que forman los planos de ambos circuitos. Si por el circuito pequeño circula una corriente i y por el grande I, encuentre en forma aproximada el valor de la constante k de modo que θ = π 2 sea posición de equilibrio. I i x̂ ŷ , se determina que ~A(r) = −µ0I 2π ln ( r R ) ẑ Solución 12.2 P X a) La parametrización de la hélice en coordenadas cilíndricas es ~r ′ = Rr̂+ pθ 2π ẑ con θ ∈ [−2πN, 2πN ]. Mientras que el ~dl = Rdθθ̂ + dzẑ, dado que se pide el campo magnético en ~r = 0, se llega a ~B = µ0 4π ˆ I ~dl × (~r − ~r ′) |~r − ~r′|3 = µ0I 4π ˆ (Rdθẑ − Rpθ 2π dθr̂ −Rdzθ̂) (R2 + ( pθ2π )2) 3 2 Dado que sólo interesa la componente axial Bz(0) = µ0I 4π 2πNˆ −2πN R2dθ (R2 + ( pθ2π )2) 3 2 Usando el cambio de variables u = pθ 2πR =⇒ du = p 2πRdθ se llega a Bz(0) = µ0I 2p pN R̂ − pN R du (1 + u2) 3 2 = µ0I 2p u (1 + u2) 1 2 ∣∣∣∣∣ pN R − pN R = µ0I 2p ( pN (R2 + p2N2) 1 2 + pN (R2 + p2N2) 1 2 ) = µ0IN (R2 + p2N2) 1 2 Por otro lado, como ~A está dado por ~A(~r) = µ0 4π ˆ I ~dl |~r − ~r ′|