Solución 6.6 P X a) Para encontrar la carga total de la barra se debe integrar la densidad de carga dq, esta última se puede calcular de la definición de densidad lineal: λ(x) = dq dx = αx =⇒ dq = αxdx Luego la carga total es: Q = L̂ 0 dq = L̂ 0 αxdx = αL2 2 b) Para calcular el campo eléctrico se considera: ~E = 1 4πε0 ˆ barra ~r − ~r ′ |~r − ~r ′|3dq Donde dq = αxdx con x ∈ (0, L), ~r = −`x̂ y ~r ′ = xx̂. Con lo anterior se calcula el campo en II. SOLUCIONES 85 el punto P : ~E = 1 4πε0 L̂ 0 αxdx x̂ (`+ x)2 = α 4πε0 L̂ 0 xx̂ (`+ x)2 = α 4πε0 ( ` x+ ` + ln(x+ `) ) |L0 x̂ = −α 4πε0 ( ln ( 1 + L ` ) − L L+ ` ) x̂ Para `� L, L` � 1 por lo que al hacer una expansión de Taylor: ln ( 1 + L ` ) = L ` − L2 `2 + . . . L L+ ` = L ` ( 1 + L ` ) = L ` − L2 `2 + . . . Luego en el límite, el campo eléctrico está dado por: ~E = −α 4πε0 ( L ` − L2 `2 − L ` + L2 `2 ) x̂ = −α 4πε0 L2 2`2 x̂ Usando el resultado de la parte anterior: =⇒ ~E = − Q 4πε0`2 x̂ Es decir, el campo eléctrico se comporta como el generado por una carga puntual Q. c) El potencial está dado por: V = 1 4πε0 ˆ barra dq |~r − ~r ′| Donde dq = αxdx, ~r = −`x̂ y ~r′ = xx̂. Luego V = 1 4πε0 L̂ 0 αxdx (x+ L) = α 4πε0 (x− ` ln(x+ `)) |L0 = α 4πε0 ( L− ` ln ( 1 + L ` )) Usando la aproximación igual que en la parte anterior, en el límite el potencial será: V = α 4πε0 ( L− ` ( L ` − 1 2 L2 `2 )) = α 4πε0 L2 2` Y usando el valor de Q V = Q 4πε0` que corresponde al potencial generado por una carga puntual Q.