Parte II Corriente Eléctrica 87 7 Medios Conductores y Ecuación de Continuidad I. Problemas Propuestos Problema 7.1 X Considere dos esferas conductoras concéntricas de radios a y 3a. La región entre a < r < 2a es llenada con un material de conductividad g1 y la región entre 2a < r < 3a tiene material de conductividad g2. Asuma que ambos materiales tienen una permitividad igual a ε0. La esfera interior se encuentra a un potencial V = V0 y la exterior V = 0. Determine a) La resistencia del sistema. b) La densidad superficial de carga en r = 2a. a 2a 3a V0 g1 g2 Problema 7.2 X Una densidad de corriente, como función de la posición ~r y tiempo t tiene la forma: ~J = C~re−αt||~r|| 2 Donde C y α son constantes. Mostrar que la ecuación de conservación de la carga se satisface con una densidad de carga ρ de la forma: ρ = (f + tg)e−αt||~r|| 2 Donde f y g son funciones por determinar que dependen de la posición. ~J(~r, t) r(~r, t)? 89 90 CAPÍTULO 7. MEDIOS CONDUCTORES Y ECUACIÓN DE CONTINUIDAD Problema 7.3 X Entre dos placas conductoras de radio a existe una barra conductora cilíndrica de radio a y longitud L, permiti- vidad ε0 y conductividad g = g0 ( 1 + y L ) . Se aplica un potencial V0 entre las placas. a) Calcular la densidad de corriente ~J y el campo eléctrico ~E dentro del cilindro. b) Calcular la potencia disipada en un disco de espe- sor e cuyo centro está situado justo en la mitad del conductor. + V0 ŷ L a g = g(y) Problema 7.4 X Un material de conductividad g tiene forma de parabo- loide cortado transversalmente entre los planos z = z1 y z = z2. Si el paraboloide es de ecuación x2 +y2 = kz, determine la resistencia del material entre sus caras pla- nas. x y z z = z1 z = z2 Problema 7.5 X S Una esfera metálica de radio a está rodeada por un cas- carón conductor esférico de radio interior b, donde b > a. El espacio entre la esfera y el cascarón está lleno de un material cuya conductividad eléctrica g varía la magni- tud del campo eléctrico ~E, con la ecuación g = k| ~E|, donde k es una constante. Una diferencia de potencial constante V se mantiene entre la esfera y el cascarón conductor de radio b. Calcule la corriente eléctrica y la densidad volumétrica de carga entre la esfera y el cas- carón. Exprese el resultado en función de los datos del problema. g = k|~E| + V a b Problema 7.6 X Un semianillo de sección transversal cuadrada está hecho de un material conductor uniforme de conductividad g. Encuentre la resistencia eléctrica del semianillo entre sus caras cuadradas. Utilice las dimensiones que se indican en la figura. r d I. PROBLEMAS PROPUESTOS 91 Problema 7.7 X Considere un condensador cilíndrico de radio interior a y radio exterior b y largo L. La superficie cilíndrica inter- na del condensador se encuentra a potencial V0 mientras que la exterior se encuentra a un potencial nulo. El con- densador tiene dentro de él dos materiales conductores de conductividad g1 y g2. El material con conductividad g1 subtiende un ángulo β en el condensador, mientras que el otro ocupa todo el volumen restante. Si el sistema ha alcanzado el régimen estacionario, determine a) La corriente eléctrica que circula por ambos me- dios. b) Determine la resistencia que opone cada medio al paso de la corriente. Demuestre que el valor de la resistencia total está dado por RT = ( 1 R1 + 1 R2 )−1 donde R1 y R2 es la resistencia del medio 1 y 2, respectivamente. g1 g2 a b b Problema 7.8 X S Un bloque de material conductor en forma cubo de lado a tiene una conductividad no uniforme dada por g(x) = g0 a (x + a) y una permitividad ε0, donde g0 es una constante. Asuma