Ejercicio 1.5.1. Trayectorias de vuelo. Supongamos que un aeroplano parte del punto (x, y) = (a, 0), localizado al este del destino (x, y) = (0, 0) al que intenta llegar. El aeroplano viaja con velocidad constante v0 relativa al viento, el cual está soplando hacia el norte con velocidad constante ~w = (0, w0). Consideremos que el piloto mantiene la dirección de vuelo hacia el origen, de modo que la velocidad del aeroplano es ~v = −v0r̂, con r̂ = (x,y)√(x^2+y^2) el vector de posición unitario del avión. Denotando por ~V (t) = (ẋ, ẏ) = ~v+ ~w) la velocidad del avión respecto a tierra, y despejando ẏ/ẋ = dy/dx, demuestra que se llega a una ecuación homogénea del tipo dy/dx = f(y/x). Realiza el cambio de variable u = y/x y resuelve la correspondiente ecuación. Impón la condición inicial y(a) = 0 y demuestra que el avión sigue la trayectoria dada por y(x) = a^2[(x/a)^(1−k) − (x/a)^(1+k)], k = w0/v0. Notese que solo en el caso k < 1 el avión llegará a su destino y(0) = 0 ¿por qué?. ¿Cuál es la distancia máxima hacia el norte ymax que el viento desvía al aeroplano?