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MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 1° PARCIAL 05/05/2023 TEMA 10 Hoja 1 de 4 Tabla de uso exclusivo para el docente 1 2 3 4 Puntaje de cada ejercicio 2,50 2,50 2,50 2,50 Duración del examen: 1h 40’. Completar los datos personales con letra clara, mayúscula e imprenta. No se aceptarán respuestas en lápiz. 1. Hallar el valor de 𝒄 ∈ ℝ para que la función 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝒄 se interseque en un único punto con la función 𝒈(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑 Para hallar los puntos en de intersección de las funciones debemos plantear: 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) Luego, reemplazamos por las fórmulas de las funciones dadas en el enunciado y resulta que: −𝑥2 + 𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 + 𝑥 + 3 Despejamos y obtenemos que: 2𝑥2 + 3 − 𝑐 = 0 Aplicamos la fórmula resolvente: 𝑥1,2 = 0 ± √02 − 4.2. (3 − 𝑐) 4 Como las funciones deben intersecarse en un punto, la ecuación debe tener una única solución por lo que −4.2. (3 − 𝑐) debe ser cero, es decir: −4.2. (3 − 𝑐) = 0 Por lo tanto, para que este producto sea nulo 3 − 𝑐 debe ser cero, entonces: 3 − 𝑐 = 0 ↔ 𝑐 = 3 Al resolver el ejercicio utilizamos los conceptos de función cuadrática y de ecuaciones cuadráticas. APELLIDO: CALIFICACIÓN: NOMBRE: DNI (registrado en SIU Guaraní): E-MAIL: DOCENTE (nombre y apellido): TEL: AULA: MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 1° PARCIAL APELLIDO Y NOMBRE: DNI: TEMA 10 Hoja 2 de 4 2. Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente −𝟐 y corta a la recta 𝒚 = 𝟏 𝟐 𝒙 + 𝟏 en el punto de abscisa 𝒙 = 𝟎. Se sabe que para hallar la ecuación de una recta es necesario conocer su pendiente y su ordenada al origen. Dicha recta, se expresa mediante 𝑦 = 𝑎 . 𝑥 + 𝑏, donde "𝑎" es la pendiente y "𝑏" la ordenada al origen. Como en el ejercicio nos dan de dato que la pendiente es −2, eso significa que 𝑎 = −2. Al reemplazar en la ecuación, nos quedará que: 𝑦 = −2𝑥 + 𝑏 Por otro lado, las rectas 𝑦 = 1 2 𝑥 + 1 y la recta pedida, tienen como punto común, el punto en el cual se cortan. Es decir que, si se cortan en 𝑥 = 0, al sustituir en 𝑦 = 1 2 𝑥 + 1, lograremos encontrar la coordenada "𝑦" del punto: 𝑦 = 1 2 . 0 + 1 𝑦 = 1 Por lo tanto, ambas rectas se cortan en el punto 𝑃 = (0; 1) Luego, reemplazando 𝑃 = (0; 1) en 𝑦 = −2𝑥 + 𝑏, podremos encontrar el valor de ′′𝑏′′ : 1 = −2. 0 + 𝑏 1 = 𝑏 Finalmente, la ecuación de la recta pedida será: 𝑦 = −2𝑥 + 1 MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 1° PARCIAL APELLIDO Y NOMBRE: DNI: TEMA 10 Hoja 3 de 4 3. Calcular 𝒎 y 𝒏, de modo que 𝑷(𝒙) = 𝒎𝒙𝟒 + 𝒏𝒙𝟑 + 𝟏 admita la raíz 𝒙 = 𝟏 de multiplicidad doble. Para que x=1 sea de multiplicidad doble, 𝑃(𝑥) debe poder dividirse 2 veces por 𝑥 − 1. Si dividimos una vez podemos expresar a P(x) como: 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑚𝑥3 + (𝑛 + 𝑚)𝑥2 + (𝑛 + 𝑚)𝑥 + 𝑛 + 𝑚) + 1 + 𝑛 + 𝑚. Como debe tener resto 0, entonces: 1 + 𝑚 + 𝑛 = 0 Si volvemos a dividir por 𝑥 − 1, resulta: 𝑃(𝑥) = (𝑥 − 1)2(𝑚𝑥2 + (2𝑚 + 𝑛)𝑥 + 3𝑚 + 2𝑛) + 4𝑚 + 3𝑛. Como también queremos resto 0, resulta que 4𝑚 + 3𝑛 = 0. Entonces nos quedan las condiciones: 1 + 𝑚 + 𝑛 = 0 4𝑚 + 3𝑛 = 0 Despejando de la primera y reemplazando en la segunda, queda: 4𝑚 + 3(−𝑚 − 1) = 0 4𝑚 − 3𝑚 − 3 = 0 𝑚 = 3 Y así 𝑛 = −4 MATEMÁTICA (51) Cátedra A: NUÑEZ, MYRIAM 1° PARCIAL APELLIDO Y NOMBRE: DNI: TEMA 10 Hoja 4 de 4 4. Encontrar el/los valores de 𝒌 ∈ ℝ si la cuarta parte de la distancia entre los puntos 𝑨 = (−𝒌; 𝟔) y 𝑩 = (𝟏; 𝒌) es 1,25. Empleamos la fórmula de distancia entre dos puntos: 𝑑 𝐴𝐵 = √(1 + 𝑘)2 + (𝑘 − 6)2 Consideramos la cuarta parte y luego despejamos: 𝑑 𝐴𝐵: 4 = √(1 + 𝑘)2 + (𝑘 − 6)2 ∶ 4 1,25 = √(1 + 𝑘)2 + (𝑘 − 6)2 ∶ 4 1,25 . 4 = √(1 + 𝑘)2 + (𝑘 − 6)2 52 = (1 + 𝑘)2 + (𝑘 − 6)2 25 = 1 + 2𝑘 + 𝑘2 + 𝑘2 − 12𝑘 + 36 0 = 2𝑘2 − 10𝑘 + 12 𝑘 = 2 ; 𝑘 = 3 Para resolver este ejercicio resignificamos el concepto de distancia entre dos puntos. Este concepto se encuentra en el apunte teórico “Distancia entre puntos” correspondiente a la unidad Números reales y plano cartesiano.
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