2.6.5. Modelo de Lotka-Volterra: dos especies en competencia Vamos agora a ver um modelo proposto, independientemente, por Lotka e Volterra que des...

2.6.5. Modelo de Lotka-Volterra: dos especies en competencia Vamos agora a ver um modelo proposto, independientemente, por Lotka e Volterra que descreve a competição entre duas espécies. Se trata de duas espécies que vivem perto e compartilham necessidades básicas: espaço, recursos, etc. Em ocasiões, apenas as mais fortes sobrevivem, enquanto a espécie competidora mais fraca evolui até sua extinção. Este é o denominado “Princípio de exclusão competitiva”. Uma espécie se impõe porque seus membros são mais eficazes na hora de encontrar e explorar os recursos, o que leva a um aumento da população. Indiretamente, isso significa que a população competidora encontra com dificuldade os mesmos recursos e não pode crescer até seu máximo tamanho como quando está sozinha. O modelo de Lotka e Volterra descreve a competição entre as duas espécies sem referência direta aos recursos que compartilham e descansa sobre os seguintes pressupostos: 1. Em ausência de competidores, cada população segue um modelo loǵıstico 2. Cada espécie contribui para o decrescimento da taxa de crescimento relativo da outra em uma quantidade proporcional a população da primeira. Os dois pressupostos anteriores conduzem ao modelo seguinte: Ṗ1 = k1P1(M1 − P1)− β12k1P1P2 Ṗ2 = k2P2(M2 − P2)− β21k2P2P1 (2.37) Fazendo as mudanças de variável x = P1/M1, y = P2/M2, τ = k1M1t, podemos colocar ẋ = x(1− x− β12 M2 M1 y) ẏ = k2M2 k1M1 y(1− y − β21 M1 M2 x) (2.38) e chamando q = k2M2 k1M1 , b12 = β12 M2 M1 , b21 = β21 M1 M2 chegamos a ẋ = x(1 − x− b12y) ẏ = qy(1− y − b21x). (2.39) Os pontos de equiĺıbrio são (x, y) = (0, 0), (0, 1), (1, 0), ( 1− b12 1− b12b21 , 1− b21 1− b12b21 ) . O último pertence ao primeiro quadrante sempre que: b12, b21 < 1 b12, b21 > 1