La ecuación de Legendre (1− x2)y′′ − 2xy′ + α(α+ 1)y = 0 (4.4) apareció en 1784 en el estudio de la atracción de esferoides. Podemos restringirnos al caso α > −1 porque si α ≤ −1, siempre podemos hacer el cambio α = −(1 + γ), con γ ≥ 0, que lleva al mismo tipo de ecuación. Resolveremos en torno al punto ordinario x = 0. Como las singularidades más cercanas se encuentran en x = ±1 (los ceros de (1−x2) = 0), entonces la región de convergencia es |x| < 1. se puede demostrar (hacerlo) que la soluciones independientes son: y1(x) = ∞∑k=0(−α/2)k(α+12)k/k!(1/2)kx2k, (4.5) y2(x) = ∞∑k=0(1−α2)k(1+α2)k/k!(3/2)kx2k+1. (4.6) Si α = 2N ≥ 0 (cero o entero par positivo), la función y1 se reduce a un polinomio de grado 2N que contiene solo potencias pares de x. De la misma forma, si α = 2N + 1 > 0 (entero impar positivo) la serie y2 se reduce a un polinomio de grado 2N +1 que contiene solo potencias impares de x. Los polinomios de Legendre Pn(x) se definen entonces como las soluciones de la ecuación de Legendre con α = n y que están normalizados de manera que Pn(1) = 1. Se puede demostrar que existe una fórmula general para Pn dada por (fórmula de Rodrigues) Pn(x) = 1/2nn![n/2]∑k=0(−1)k(2n−2k)!/k!(n−k)!(n−2k)!xn−2k = 1/2nn!dndx n(x2−1)n, n = 0, 1, 2, . . . . (4.7) donde [n/2] denota aqúı el entero mayor más pequeño o igual que n/2. Nótese que, haciendo uso de la ecuación diferencial [(1−x2)y′]′ = −α(α+1)y = 0 de donde se sigue que [(1−x2)P′n]′ = −n(n+1)Pn = 0, y [(1−x2)P′m]′ = −m(m+1)Pm = 0. Multiplicando la primera ecuación por Pm y la segunda por Pn, integrando por partes y sustrayendo una ecuación de la otra, se llega a la propiedad de ortogonalidad para los polonomios de Legendre ∫1−1Pn(x)Pm(x)dx = 2/2n+1δn,m. (4.8) Es más, cualquier polinomio f(x) de grado n se puede expresar como combinación de polinomios de Legendre con coeficientes dados por f(x) = n∑k=0akPk(x), ak = 2k+12∫1−1f(x)Pk(x)dx. (4.9) Esta es la denominada Serie de Fourier-Legendre. La ecuación de Legendre surge al resolver la ecuación de Laplace (véase más tarde sección 7.2.3) en coordenadas esféricas, haciendo el cambio x = cos(θ), con 0 < θ < π el ángulo polar.