Un ángulo cuyos lados no están sobre la misma recta separa al plano en dos partes, el interior y el exterior del ángulo. El subconjunto de puntos del plano formados por todos los segmentos que unen puntos situados sobre los lados AB y AC forman el interior del ángulo, y su complementario respecto del plano será el exterior. El tamaño de un ángulo se mide por la cantidad de rotación requerida para girar uno de los lados del ángulo, tomando como centro de giro el vértice, para que coincida con el otro lado. Como unidad de medida habitual se usa el grado, la 360 ava parte de la abertura de la circunferencia. La medida de un ángulo ∠ A la indicaremos por m(∠ A ) Clasificación de los ángulos por su medida ángulo nulo, m(∠ A) =0º A ángulo agudo, 0< m(∠ B) < 90º B ángulo recto, m(∠ C) = 90º C ángulo obtuso, 90 < m(∠ D) < 180º D ángulo llano, m(∠ E) = 180º E ángulo reflejo, 180º< m(∠ A) < 360º F Pares de ángulos y teoremas relacionados Dos ángulos con medidas m1 y m2 se dice que son complementarios si y sólo si m1 + m2 = 90º. Se dice que son suplementarios si m1 + m2 = 180º. Dos ángulos que tienen un lado común y cuyos interiores no se solapan se dice que son adyacentes. 2 1 ∠ 1 y ∠ 2 son ángulos adyacentes suplementarios 4 3 ∠ 3 y ∠ 4 son ángulos adyacentes complementarios Dos ángulos se llaman verticales cuando sus cuatro lados forman dos rectas que se cortan Cuando dos líneas l and m se cortan en dos puntos por otra recta transversal t se forman cuatro pares de ángulos que se llaman ángulos correspondientes (Fig. 8). 2 1 3 4 ∠ 1 y ∠ 3 son ángulos verticales ∠ 2 y ∠ 4 son ángulos verticales 1 l 2 3 4 6 5 m 7 8 t Ángulos correspondientes: ∠ 1 y ∠ 5 ; ∠ 2 y ∠ 6 ; ∠ 3 y ∠ 7 ; ∠ 4 y ∠ 8 Fig. 8 Ejercicios: 6. Intenta probar los siguientes teoremas sobre ángulos: 1) Si dos rectas paralelas se cortan por una transversal los ángulos correspondientes son iguales. 2) Si dos rectas del plano son cortadas por una transversal de manera que los ángulos correspondientes son iguales, entonces las rectas son paralelas. 3) Dos rectas cortadas por una transversal son paralelas si y sólo si un par de ángulos alternos internos son congruentes. 4) Las bisectrices de dos ángulos suplementarios adyacentes forman un ángulo recto. 5) Medida de los ángulos de un triángulo: la suma de los ángulos interiores de cualquier tríangulo es un ángulo llano. 3. CURVAS Y POLÍGONOS EN EL PLANO 3.1. Curvas y regiones Una curva plana se puede describir de manera intuitiva e informal como el conjunto de puntos que un lápiz traza al ser desplazado por el plano sin ser levantado. Si el lápiz nunca pasa dos veces por un mismo punto se dice que la curva es simple. Si el lápiz se levanta en el mismo punto en que comenzó a trazar se dice que la curva es cerrada. . Si el único punto por el que el lápiz pasa dos veces es el del comienzo y final del trazado se dirá que la curva es cerrada y simple. Se requiere que las curvas tengan un punto inicial y otro final, por lo que las rectas, semirecta y ángulos no son curvas. Teorema de la curva de Jordan: Una curva cerrada simple separa los puntos del plano en tres subconjuntos disjuntos: la propia curva, el interior, y el exterior de la curva. Esta propiedad parece obvia en casos Ejemplos de curvas C A B si las curvas poligonales, y los polígonos, han de ser planos. También se puede hablar de poligonales y polígonos espaciales, aunque el estudio de los polígonos se suele restringir a los polígonos contenidos en el plano. Figuras convexas: Figuras cóncavas: Fig. 9 ice que es equilátero (todos sus lados son congruentes). Un polígono convexo cuyos ángulos interiores son todos congruentes se dice que es equiángulo. Un polígono convexo que es tiene sus lados y sus ángulos iguales se dice que es regular. En un polígono regular de n lados, cualquier ángulo con vértice en el centro y cuyos lados contienen vértices adyacentes del polígono se dice que es un ángulo central del polígono. Hexágono Hexágono Hexágono equilátero equiángulo regular Ejercicios: 7. Un material didáctico conocido como geoplano es una herramienta útil en el estudio de los polígonos. Un geoplano 5x5 consiste en una plancha de madera y 25 clavos dispuestos según una malla cuadrada, como se indica en la figura. Se emplean gomas de colores para formar diversos polígonos tomando los clavos como sus vértices. ¿Cuántos cuadrados se pueden formar en este geoplano? 8. Probar que en un polígono regular de n lados, a) cada ángulo interior mide: (n-2). 180º/n b) cada ángulos exterior mide: 360º/n c) cada ángulo central mide: 360º/n 9. Un rectángulo ha sido dividido en dos partes congruentes. ¿Qúe forma pueden tener las partes formadas? Fig. 11 Figuras geométricas 465 4. LOS TRIÁNGULOS Y SU CLASIFICACIÓN 4.1. Definiciones y propiedades Es un polígono de tres lados, es decir, una porción de plano limitada por tres segmentos unidos, dos a dos, por sus extremos. Los tres segmentos que limitan el triángulo se denominan lados, y los extremos de los lados, vértices. En un triángulo se consideran dos tipos de ángulos: interior (formado por dos lados) y exterior (formado por un lado y la prolongación de otro). Algunas propiedades 1. En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es igual a dos rectos. 2. En todo triángulo, un ángulo exterior es igual a la suma de los dos ángulos interiores no adyacentes. 3. Dos triángulos son iguales cuando tienen iguales un lado y sus dos ángulos adyacentes. 4. Dos triángulos son iguales cuando tienen dos lados iguales y el ángulo comprendidos. 5. Dos triángulos son iguales cuando tienen los tres lados iguales. 6. En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo. 7. Si un triángulo tiene dos lados iguales, sus ángulos opuestos son también iguales. 8. En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia. 4.2. Clasificación de triángulos Los triángulos se clasifican atendiendo a sus lados y a sus ángulos. Atendiendo a sus lados a) Equiláteros: Son los que tienen sus 3 lados iguales. b) Isósceles: Son los que tienen dos lados iguales. c) Escalenos: Son los que sus 3 son lados desiguales. Atendiendo a sus ángulos: a) Rectángulos: Son los que tienen un ángulo recto (90°). J. D. Godino y F. Ruiz 466 b) Acutángulos: Son los que tienen sus 3 ángulos agudos. c) Obtusángulos: Son los que tienen un ángulo obtuso. 4.3. Elementos notables de un triángulo. Construcción de triángulos Bisectriz es la semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales. Las bisectrices de un triángulo se