no verdadero, un proce- dimiento o razonamientos son o no correctos o un razonamiento es o no válido. Al manifestar sus razones debe hacer explícit...

no verdadero, un proce- dimiento o razonamientos son o no correctos o un razonamiento es o no válido. Al manifestar sus razones debe hacer explícitos los sentidos de los objetos matemáticos que manipula y estos sentidos deben corresponderse con los significados aceptados por la Institución Matemática (Falsetti, Marino y Rodríguez, 2004). 1.4 Análisis de ejemplos en el marco de la TSD En esta sección mostramos las primeras actividades de una secuencia diseñada para trabajar el por qué de la validez del funcionamiento de la regla de tres simple que puede llevarse a cabo en el marco de una clase pensada bajo los lineamientos de la TSD. Dichas actividades son analizadas a la luz de los ele- mentos teóricos que presentamos en la sección anterior. 30 Patricia Barreiro e Inés Casetta Actividad 1: Se obtuvo la información de la posición P y el instante t en que un automóvil atraviesa diferentes mojones en la ruta 2. Los datos relevados se muestran en la tabla: t (tiempo) P (posición) 0 h 0 km 2 h 160 km 4 h 320 km a) Estimar la posición en la que se encontraría el auto a las 3 h. b) Explicar qué procedimiento utilizó y por qué lo hizo así. Si lo considera necesario, agregar algún dato para que otra persona que resuelve el pro- blema lo interprete como usted. Actividad 2: La población argentina en el año 1980 era de aproximadamente 25 millones (25.106) de habitantes. En 1990 había crecido hasta alcanzar 30 millo- nes (30.106), es decir en 10 años la población aumentó en 5 millones de personas. a) Estimar la población argentina en el 2015. b) De acuerdo con el razonamiento anterior, estimar la población que hubo en 1930. c) ¿A qué se debe el resultado del ítem b)? Relacionar la respuesta con el supuesto considerado en el ítem a). Las primeras dos actividades de una secuencia más extensa que aquí no incluimos, buscan acercar a los alumnos a una explicación de las condiciones bajo las cuales es correcto utilizar la regla de tres simple. Análisis de las actividades y de su puesta en práctica En la primera consigna de la actividad 1 se dan, por medio de tabla, tres datos de posición de un móvil en diferentes momentos. Los datos “invitan” a pensar que se mantiene una relación de proporcionalidad directa aunque en la con- signa no se indica que la velocidad es constante. Éste es un supuesto que se prevé que el estudiante utilice sin percatarse de que no tiene el dato y que sería necesario para que el uso de la regla de tres sea válido. De todos modos, para 31 1. Teoría de Situaciones Didácticas inducirlo a dicho análisis y para que pueda definir la condición bajo la cual hay proporcionalidad directa, se plantea el ítem b y se acompaña con la actividad 2 en donde será evidente que la aplicación de la regla de tres sin estar bajo ciertas condiciones, no es correcta. Creemos que este tipo de actividad puede ser propicia para generar una situación didáctica que habilite un funcionamiento a-didáctico en el sentido planteado por la TSD, donde emerja como contenido las condiciones que deben darse para que el uso de la regla de tres sea correcto. El alumno al momento de enfrentarse al problema va a realizar diferentes acciones que lo orienten a comprender el enunciado y lo acerque a una propuesta de resolución. En esta primera instancia explora el problema, puede realizar una regla de tres simple para calcular la posición del auto a las 3 h. Podrá buscar una regularidad, in- tentando ver qué distancia recorrerá el móvil en una hora, es decir, reducir el problema al paso por la unidad y a partir de ahí ir calculando la posición del auto para diferentes valores del tiempo. Es posible que pueda identificar que hay una constante en el problema, la velocidad, que es de 80 km/h, o realizar un gráfico con los valores dados en la tabla. Es probable que el alumno no reflexione sobre el supuesto que está usando en sus planteos –que la velocidad es constante–, ya que sólo actúa sobre el problema. Este trabajo corresponde a la etapa denominada situación de acción. El proceso hasta aquí descripto da cuenta de la puesta en diálogo entre las concepciones implícitas en el medio, la exploración sobre el problema y la reorganización de dichas concepciones para comenzar a plantear alguna estrategia de resolución. El segundo ítem del problema invita al alumno a reflexionar sobre lo actuado antes y a que intente justificar los procedimientos realizados. Esto se evidencia en el enunciado: “Explicar qué procedimiento utilizó y por qué lo hizo así”. Se espera que pueda expresar en forma verbal o escrita las conjeturas y los procedimientos realizados anteriormente, comunicándolos a sus compañeros en forma explícita. Podemos establecer que en este momento los alumnos están transitando por la situación de formulación. En una instancia siguiente, los alumnos deberán elaborar dentro de su grupo de trabajo o frente a la clase total las razones que justifican lo formulado ante- riormente. Dichas razones deberán ser explicitadas y sometidas a la valoración de la clase, podrán ser reformuladas o modificadas con el aporte del resto de los grupos, dando lugar a la situación de validación. Utilizando la tipología de Barreiro et al (2009) se espera que el problema habilite a llevar a cabo las siguientes acciones de validación: darle valores inter- 32 Patricia Barreiro e Inés Casetta medios a los de la tabla: hacer ensayos e intentos (acción A1); resolver usando la regla de tres sin preguntarse por qué funciona: usar fórmulas, definiciones o procedimientos conectados a la actividad a resolver (acción A3); responder que la regla de tres funciona porque en los cursos anteriores le enseñaron que puede utilizarla: Justificar por la “autoridad”, (acción A15). Pueden encontrar que la variable independiente se multiplica por un número constante, si asumen que la velocidad no varía: Identificar alguna regularidad a partir de una cierta cantidad de casos particulares, (acción A4); entre otras. Estas actividades fueron llevadas a cabo en el marco de investigaciones realizadas en la Universidad Nacional de General Sarmiento (UNGS). A con- tinuación transcribimos, a modo ilustrativo, un fragmento extraído de Barreiro et al (2009), de una clase en la que se trabaja con la actividad 1. Creemos que este apartado deja ver cómo las anticipaciones realizadas en el análisis recién presentado pueden encontrarse en el aula y nos resulta interesante mostrar qué hace el docente en estas situaciones, cuál es su función, cómo interviene y en qué momentos. Al abordar la actividad los alumnos operan utilizando la disposición del esquema ya conocido de la regla de tres, en el que la unidad permite obtener la constante buscando su correspondiente. Para responder que a las 3 h el auto estará a 240 km se asume la velocidad constante y que, entonces, por cada hora se recorren 80 km, dato no explicitado en el enunciado. Se evidencia también un intento de poner en práctica lo aprendido y responder a lo que se cree que son las “exigencias” en las clases de Matemática. Si bien la forma en que los estudiantes encaran los ejercicios propuestos es mediante tanteo numérico, podrían plantear símbolos, fórmulas o gráficos. Ilustramos el trabajo en el aula con un fragmento de clase. La presencia del observador se debe a la investigación y no está vinculado con nada propio de la TSD. - Alumno 1 (Al 1): Lo que tenemos que hallar es la posición, función de p que sería la posición, tenés un dato porque en una hora está recorriendo 80 km, en 2 horas 160 y en 3 horas 160 + 80, 240 Entonces la fórmula sería… (Escribe: f(P) = 3.P f(0) = 3.80 ) - Alumno 2 (Al 2): Al poner P como 80, ahí estarías pensando en P fijo, en 80. - Al 1: claro, porque vos ya ves una tendencia ahí… Tendríamos que poner primero f o sea P (escribe: f (0) = 3.0, f (1) = 80, f (2) = 2.80) La fórmula sería f entre paréntesis que sería P, sería P por 80 (escribe f (P) = P.80) Se acerca el profesor… - Al 2: Nosotros llegamos a esto, intentamos esta fórmula. - Al 1: no sé si lo estoy haciendo bien (explica el proceso de la misma forma que lo hizo con los compañeros). - Profesor: No les puedo decir si es correcta la fórmula. Ustedes tienen que buscar formas de defender lo que dicen, la idea es que el grupo esté de acuerdo, o sea que lo que pretenden esté consolidado en el grupo. Fíjense que el Al 1 acaba de dar toda una explicación, a ver qué dice el resto de los compañeros… - Observador: Sí, voy a agregar para que piensen algo para la defensa de la que hablaba el profesor y es esto: […] Entonces pensá si no hace falta algún dato […] para que alguien que quiere hacer el problema ([y viene de afuera]) refuerce la forma en que ustedes lo encararon. (Piensan, discuten en voz