Este razonamiento lo conduce a imaginar o escribir una tabla de valores que le permita corroborar su respuesta en cada caso que analiza. En función de lo establecido anteriormente hace un uso excesivo del registro numérico, a pesar de recurrir al gráfico si lo considera necesario. Utiliza con frecuencia el término “estar muy cerca” del punto de acumulación o del valor del límite. Esto para él significa estar dentro del entorno, lo que nos conduce a pensar que estamos nuevamente ante una situación como la que plantea Cornu (1991). Al finalizar la entrevista reconoce la complejidad de la noción de límite expresando “…Yo no tomo la definición de límite, lo que pasa que es tan teórica que uno no logra, no si entenderla, sino incorporarla…”. Esto permite considerar que existen en la definición formal términos y símbolos que pueden obstaculizar de alguna manera la comprensión del concepto, potenciando el uso de algún modelo intuitivo influenciado por alguna concepción espontánea. Esta situación que acabamos de analizar nos otorga herramientas suficientes para imaginar la composición de la imagen conceptual de este estudiante luego de la enseñanza de la definición formal del concepto de límite. Destacamos en ella la presencia de una concepción espontánea sumada a las ideas que quedaron en su mente como producto de la enseñanza. Esquemáticamente podría ser del siguiente modo: Concepción espontánea (puede llegar hasta el límite) Modelo no alcanzable Clases  ε,δ (Símbolos)  Punto de acumulación - entorno (ideas)  Metáforas  1 3 x y  “tiende a”; “estar muy cerca” Guía de TP x f(x) 0.01 1.01 0.01 1.001 -0.01 0.999  Modelo dinámico práctico  Sistema de representación numérico 5.2.6. Conclusiones y sugerencias A partir de la posible conformación de la imagen mental de la noción que posee el estudiante, podríamos decir que el hecho de fijar su atención en las imágenes de la función que obtiene como producto de proponer valores de x extremadamente cerca del punto de análisis del límite, le impide tener un panorama más amplio del comportamiento de la función; es decir, centra todo su trabajo en una región mínima de la misma sin tener en cuenta qué pasa a medida que se aleja de esa región. Esta cuestión le sirve para dar respuesta co- rrecta a varias actividades; por lo tanto, a pesar de conocer la definición formal no la usa, pues le resulta más operativo y accesible poner en juego algunos de los modelos que considera correctos. Como hemos planteado anteriormente, pueden existir en la mente de un estudiante un conjunto de ideas que no guardan una coherencia entre sí. Hemos visto que se puede poner en juego una u otra porción de la imagen conceptual conforme a la situación que se le plantea sin entrar en conflicto entre ellas. Es notoria la influencia de la concepción espontánea sobre el concepto matemá- tico, ya que sin advertirlo se pueden proponer respuestas contradictorias si una misma situación es analizada desde un contexto matemático o físico. El trabajo presentado aquí pone el foco en la conformación del modelo mental que puede ir formando un estudiante que recibe la enseñanza de la noción de límite funcional. Si bien no tenemos elaborada una propuesta didáctica que permita identificar los modelos intuitivos, ponerlos a prueba y desterrarlos para dar paso al abordaje y aprendizaje de la definición formal a modo de cierre, podríamos decir que frente a situaciones de esta naturaleza y trabajando con estudiantes de nivel superior, resultaría interesante que el docente explore la existencia de concepciones espontáneas antes de abordar la noción de límite. Consideramos que una forma sencilla de sacarlas a la luz es indagar en las primeras clases qué idea tienen los estudiantes sobre el término límite, posiblemente esto pueda brindar un primer panorama sobre las concepciones. Otra cuestión no menor a tener en cuenta a medida que avanza el proceso de enseñanza y aprendizaje, es analizar las respuestas a las actividades propuestas, solicitando al estudiante justificaciones al momento de resolverlas con el ob- jeto de obtener información sobre la posible persistencia de las concepciones espontáneas, la idea de límite que pone en juego asociada o no a un modelo intuitivo, los tipos de sistemas de representación a los que recurre, qué voca- bulario utiliza, entre otras. Esta información le permitiría al docente elaborar estrategias para afrontar las ideas intuitivas de límite y posteriormente la defi- 127 5. Enfoque Cognitivista nición formal. Sugerimos, por un lado, elaborar preguntas que conduzcan al estudiante a poner en evidencia ideas contradictorias no coherentes entre sí, en forma simultánea con el objeto de crearle algún tipo de conflicto en su mente además de aportar datos interesantes que contribuyan a mejorar la enseñanza. Por otro lado, cabe la posibilidad de plantear actividades específicamente ela- boradas para desestabilizar modelos intuitivos no correctos, desde el punto de vista matemático, presentes en el modelo mental del individuo como puede verse en Colombano y Rodríguez (2009) y Colombano (2009). 5.3. Habilidades matemáticas en estudiantes de profesorado En esta sección abordamos, centralmente, lo que se conoce como habilidades matemáticas y la relación que éstas tienen con la actividad matemática. Presenta- mos también un listado de habilidades, formuladas en contexto de una encuesta realizada a estudiantes de un curso de la asignatura Análisis (materia avanzada del Profesorado Universitario en Matemática de la Universidad Nacional de General Sarmiento). Si bien la selección de habilidades que presentamos no es exhaustiva, es lo suficientemente representativa del tipo de requerimientos que tiene la enseñanza y el aprendizaje de contenidos propios del Análisis y de la Matemática en general. Por último, realizamos una interpretación de parte de los resultados obtenidos en la mencionada encuesta. 5.3.1. Las habilidades matemáticas y la actividad matemática En el aprendizaje de la Matemática están involucrados, necesariamente, dos aspectos fundamentales como son el “saber-hacer” y los “saberes”, ambos objeto de estudio de la Educación Matemática. En lo que respecta a los saberes se hace referencia, puntualmente, a los contenidos que los estudiantes de Matemática, de cualquier nivel educativo, deben aprender, los cuales están centrados, indudablemente, en los conceptos, definiciones, propiedades, relaciones y procedimientos propios de la disciplina. Por su lado, el saber-hacer está indisolublemente ligado al aprendizaje de la Matemática y forma parte, podría decirse que de manera excluyente, de los objetivos propuestos por el docente en su planificación de clases. Es el saber- hacer el contexto en el que adquieren un protagonismo central las habilidades matemáticas pues ellas están relacionadas con el desarrollo de prácticas como la operatoria (numérica o algebraica), la comprensión de información, el uso de estrategias de argumentación y demostración, entre otras. En este contexto, las habilidades matemáticas son consideradas como imprescindibles, ya sea para el aprendizaje de los saberes como del saber-hacer. En cualquier caso, puede considerarse que los estudiantes deben tener, en el proceso del aprendizaje, un rol activo de trabajo con la Matemática, por lo cual, entendemos que el estu- diante aprende Matemática cuando es capaz de realizar actividad matemática en torno a distintas situaciones propuestas por el docente, y es precisamente como parte de esta actividad que adquiere significatividad el uso y el desarrollo de habilidades matemáticas. En relación a la actividad matemática, Godino (1998, citado por Rodrí- guez, Carnelli y Formica, 2005) señala una descripción en término de algunas entidades como: • La ostensiva, que se relaciona con las representaciones materiales que se usan en la Matemática, como por ejemplo los términos, expresiones, símbolos y tablas. • La intensiva, que tiene que ver con las ideas matemáticas, las abstrac- ciones y generalizaciones, como los conceptos, proposiciones, técnicas y teorías. • La extensiva, que son las entidades que inducen las distintas actividades, como los problemas, situaciones, aplicaciones. • La afectiva, conformada por las creencias, percepciones y preferencias, y que son de central importancia a la hora de desarrollar las diferentes actividades. • La actuativa, relacionada con la acción del sujeto frente a diferentes situaciones. Dentro de esta clasificación, las habilidades matemáticas podrían conside- rarse parte de la actividad matemática que corresponde a la entidad actuativa, dado que las mismas son puestas en juego en el momento en que el sujeto se encuentra activamente comprometido con determinada situación a resolver. Son muchos los autores