Es posible que un lector experto en el EOS juzgue de ex tremo el recorte que se ha realizado, como así también, que las ideas que se explicitan son muy elementales en sus fundamentos. Cabe aclarar que nuestra intención es introducir al futuro profesor de Matemá tica en este enfoque, mostrando algunas de las herramientas más importantes que le provee, ya sea para diseñar o analizar didácticamente una clase, o para iniciarse en la investigación en Educación Matemática, pen sando que puede profundizarlas posteriormente si les resultan de interés. Asimismo, exponemos las nociones teóricas que sustentan el EOS sin entrar a debatir los fundamentos didácticos, filosóficos y epistemoló gicos que le dan origen, o que justifican su razón de ser en esta línea de inves tigación, ni las relaciones que existen con otros marcos teóricos de referencia de la Didáctica de la Matemática. Para ello, se puede recurrir a un número importante de publicaciones (Godino y Batanero, 1994; Godino, Contreras y Font, 2006; Godino, Batanero & Font, 2007; Godino, Font y Wilhelmi, 2008) donde se analizan con detalles estas ideas y se indican los antecedentes en que están basadas. 3.2. Posicionamiento del EOS ante la Didáctica de la Matemática Para el EOS, la Didáctica de la Matemática tiene que dar respuesta a dos de mandas fundamentales: (a) comprender los procesos de enseñanza y apren- dizaje de la Matemática, y (b) guiar la mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática. Para la primera demanda se requiere de herramientas teóricas que permitan la descripción, interpretación y/o explicación de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática. Esto exige realizar investigaciones de tipo teórico que inducen a la creación y desarrollo de marcos teóricos. Al mismo tiempo, estos marcos teóricos se aplican en el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, lo que origina, a su vez, la ampliación del propio marco teórico. En este sentido, el EOS pretende construir un marco teórico que además de tener poder descriptivo también tenga poder explicativo. Para el EOS, el marco teórico es el que orienta sobre lo que hay que observar y cómo se debe realizar esa observación; y proporciona las herramientas para realizar la misma, aunque esto no imposibilita utilizar métodos de investiga- ción de tipo general, o desarrollados por otros enfoques teóricos diferentes. De todos modos, por estar utilizando un determinado marco teórico, sabemos que existe una determinada manera de entender los hechos y procesos didácticos, y la explicación que se brinda de los fenómenos observados. Para la segunda demanda se necesita realizar una valoración de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática, y con base en ella, proponer mejoras fundamentadas. En consecuencia, es necesario desarrollar métodos para la valoración y mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la Matemática. Para ello, el EOS propone criterios de idoneidad para las distintas facetas implicadas en un proceso de estudio matemático. En las secciones siguientes expondremos los desarrollos y aplicaciones más importantes del EOS en torno a estas dos demandas que la Didáctica de la Matemática debería atender. 3. Enfoque Ontosemiótico del Conocimiento y la Instrucción Matemática 3.3. Herramientas teóricas del EOS El EOS propone una reconceptualización de algunos constructos básicos como la noción de objeto matemático, significado y comprensión, así como el estudio de sus relaciones mutuas. Como característica propia de este enfoque, se distinguen para dichos constructos dos dimensiones interdependientes: personales e institu- cionales, y se le asigna un papel central al lenguaje, a los procesos de comunicación e interpretación y a la variedad de objetos intervinientes en la clase de Matemática. El aspecto ontológico se deriva del análisis de la existencia o inexistencia de entidades u objetos, mientras que el aspecto semiótico se ocupa de descubrir y analizar la verdadera significación que se da a esos objetos o entidades, su relevancia, vínculos que los interrelacionan, y otras particularidades que los hacen diferenciables, incluso donde pareciera que esas diferencias no pudieran o debieran manifestarse. Los constructos teóricos elaborados por el EOS constituyen el modelo ontológico-semiótico que esbozaremos seguidamente, donde se toma como no- ción primitiva la de situación-problema, y se dan definiciones muy particulares para conceptos teóricos como el de práctica, objeto (en sus facetas personal e institucional) y significado. Este modelo procura aportar herramientas teóricas para analizar en forma conjunta el pensamiento matemático, los ostensivos que le acompañan, las situaciones y los factores que condicionan su desarrollo, y tiene en cuenta aspectos del conocimiento matemático que pueden ayudar a confrontar y ar- ticular distintos enfoques de investigación sobre la enseñanza y el aprendizaje de la Matemática (Godino et al, 2007). Las herramientas teóricas que provee el EOS se desarrollaron en diferentes etapas y se fueron refinando progresivamente. Consideramos apropiado presen- tarlas dentro de tres grandes tópicos, los que marcan en cierta forma la propia evolución que ha tenido esta línea hasta la fecha y que son: • Teoría de Significados Sistémicos, • Teoría de Funciones Semióticas, y • Teoría de Configuraciones Didácticas. 3.4. Teoría de Significados Sistémicos Habitualmente asumimos que el significado de un objeto matemático está dado por su definición, donde se describen con precisión sus características, atributos y las relaciones existentes entre los mismos. Así, por ejemplo, si se nos pregunta: ¿qué es una ecuación?, diríamos que es una igualdad entres dos expresiones algebraicas, que denominamos miembros, donde aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante opera- ciones matemáticas. Incluso, podríamos agregar algunos atributos más referidos a los tipos de ecuaciones, soluciones, usos y aplicaciones, etc. Para el EOS resultaría insuficiente decir que el significado de “ecuación” está dado por su definición y de allí la necesidad de adoptar una teoría pragmática del significado. En consecuencia, a un objeto matemático se lo concibe como emergente de determinados tipos de prácticas, llevadas a cabo en el seno de una institución, donde su significado está íntimamente ligado a los problemas y a la actividad realizada para su resolución, por lo cual no se puede reducir este significado a su mera definición matemática. Con la denominación “objeto matemático” se entiende, en el EOS, a todo aquello que se pueda individualizar en Matemática, tal como un símbolo, un concepto, una propiedad, una representación, un procedimiento, etc. Por ejem- plo, el símbolo de multiplicación es un objeto matemático donde, además, es un objeto ostensivo (que se muestra públicamente) en la expresión “a.b”, mientras que es no ostensivo (no perceptible por sí mismo) en “2x”. Del mismo modo, diremos que la suma es un objeto matemático no ostensivo en 435. La Teoría de los Significados Sistémicos se elaboró a partir de presupuestos antropológicos y pragmatistas para el conocimiento matemático, donde el significado de un objeto (conceptual) es entendido a través de un sistema de prácticas (matemáticas) que un sujeto (persona o institución) pone en juego y no sólo por su definición o concepto asociado al mismo. En este contexto, se entiende por “práctica a toda actuación o manifestación (lingüística o no) realizada por alguien para resolver problemas matemáticos, comunicar a otros la solución, validar la solución y generalizarla a otros contextos y problemas” (Godino y Batanero, 1994, p.8). A su vez, los sistemas de prácticas se pueden separar en diferentes clases de prácticas más específicas, lo que permite hacer una distinción entre significado y sentido. Los sentidos, de acuerdo a Font y Ramos (2005), pueden ser interpretados como significados parciales. Asimismo, la realización de las prácticas matemáticas se formaliza con el soporte y condicionamiento de un conjunto de elementos y factores materiales, biológicos y socioculturales que hacen posible, potencian o limitan el desarro- llo de la actividad matemática. A todo este sistema de elementos, el EOS lo denomina el “trasfondo ecológico de las prácticas matemáticas”. Los significados, entendidos como sistemas de prácticas y por su utilización en el análisis didáctico, llevan a introducir una tipología básica que tiene un tri- ple condicionamiento: institucional, personal y temporal. Esto guarda relación con las prácticas prot