Continúa Freudenthal, A los niños pequeños les enseñamos la matemática como actividad, pero cuando maduran se convierten en seres racionales, tendemos a enseñarles un sistema matemático prefabricado y bien organizado bajo el supuesto implícito de que los seres racionales comprenden los sistemas deductivos. Ustedes saben que esto no funciona bien (pp. 413-414). Transmitir a los alumnos una matemática pre-fabricada, producto de la actividad de los matemáticos o los autores de libros de texto es, según Freudenthal (1973) una inversión anti-didáctica. En cambio, él propone enseñarles a los alumnos a matematizar. Treffers (1987) distingue dos dimensiones en la matematización: horizontal y vertical. Matematizar horizontalmente consiste en convertir un problema de la realidad en un problema matemático haciendo uso del sentido común, la intuición, la observación, la aproximación empírica y la experimentación inductiva. Matematizar verticalmente consiste en moverse dentro de la realidad matemática haciendo uso de la esquematización, la generalización, la prueba, el rigor y la simbolización. Como lo describe Freudenthal (1991), La matematización horizontal conduce del mundo de la vida al mundo de los símbolos. En el mundo de la vida se vive, se actúa (y se sufre); en el otro se crean los símbolos, se los recrea y manipula, mecánicamente, comprensivamente, reflexivamente: esto es la matematización vertical… Por cierto que las fronteras entre estos mundos están vagamente definidas. Ambos mundos pueden expandirse o también reducirse uno a expensas del otro (pp. 41-42). Para enseñar a los alumnos a matematizar la realidad es necesario involucrarlos en actividades guiadas de organización de situaciones problemáticas realistas. ¿En qué sentido se usan aquí los términos realista y realidad? Dice Freudenthal (1991): “Entendemos como realidad aquello que el sentido común experimenta como real dentro de un cierto escenario” (p.17). En los grados inferiores se comienza trabajando en contextos y situaciones familiares cotidianas que involucran el uso de números, por ejemplo, gente que sube y baja de un autobús (van den Brink, 1991; Streefland, 2003). Más adelante, los números y sus relaciones se tornan familiares para los alumnos, enriqueciéndose así su sentido común, la esfera de lo que es real o significativo para ellos14. El equívoco común de interpretar “realista” en un sentido restringido resulta en gran parte de “nuestro error al elegir este nombre” dice Gravemeijer (1997, p.311). En holandés, zich realis-eren significa imaginar. En este amplio sentido, una situación es realista en tanto se presenta ante el sujeto como realizable, razonable o imaginable (Freudenthal, 1973, 1991; van den Heuvel-Panhuizen, 1996). Por ejemplo, en la elaboración de secuencias para enseñar nociones de geometría y medida, estimación, razones y proporciones, la EMR recurre a obras de ficción tales como Los viajes de Gulliver. Freudenthal (1991) propone como objetivo de la enseñanza desarrollar en los alumnos una disposición matemática la cual incluye: buscar lo esencial en situaciones, problemas, procedimientos, algoritmos, simbolizaciones y sistemas axiomáticos; descubrir en estos características comunes o similares, analogías e isomorfismos; ejemplificar ideas generales; descubrir objetos y operaciones nuevas; buscar atajos, abreviar estrategias e inventar nuevas simbolizaciones; y reflexionar acerca de la propia actividad considerando la cuestión a mano desde diferentes perspectivas o puntos de vista. Según Freudenthal (1991), la disposición matemática incluye también: usar lenguaje funcional y variables convencionales; captar el nivel de precisión adecuado para un determinado problema, identificar estructuras matemáticas en un contexto (y excluir el uso de la matemática cuando ésta no sea relevante o legal para organizarlo); y considerar la propia actividad como objeto de reflexión para alcanzar un nivel más alto. Desarrollar esta disposición requiere de un proceso de aprendizaje-enseñanza que tome la forma de una reinvención guiada (Freudenthal, 1991) orientada a que los alumnos aprendan: “…no la matemática sino a matematizar, no abstracciones sino a abstraer, no los esquemas sino a esquematizar, no las fórmulas sino a formalizar, no los algoritmos sino a algoritmizar, no el lenguaje sino a verbalizar…” (p.49, traducción de las autoras). Desde el punto de vista del diseño curricular, la reinvención guiada se apoya en la fenomenología didáctica, esto es, en la búsqueda de contextos y situaciones problemáticas que promuevan la matematización (Freudenthal, 1983). Se trata de investigar las manifestaciones y los usos de determinados objetos matemáticos (por ejemplo, los números, las fracciones, razones y proporciones, las ecuaciones y las funciones, los ángulos, etc.15) tal como éstos aparecen en el lenguaje coloquial y en la vida cotidiana y, a partir de allí, elaborar teorías locales para la enseñanza de esos temas. La fenomenología didáctica se nutre tanto de la Historia de la Matemática (teniendo en cuenta los casos paradigmáticos en el desarrollo de las ideas matemáticas y su evolución temporal) como las producciones y construcciones de los alumnos (Streefland, 1991, 2003). La EMR entiende al aprendizaje como un proceso discontinuo que involucra niveles crecientes de estructuración, abstracción, generalización y formalización (ver figura 1, adaptación de Gravemeijer, 1994). SITUACIONAL REFERENCIAL GENERAL FORMAL REFLEXIÓN REFLEXIÓN REFLEXIÓN CONOCIMIENTO FORMAL “MODELO PARA” “MODELO DE” CONTEXTO M A TE M A TI ZA C IÓ N V E R TI C A L IN TE R A C C IÓ N – R E IN VE N C IÓ N (H is to ria d e la M at em á tic a – Pr od uc ci on es p ro pi as) MATEMATIZACIÓN HORIZONTAL Ed uc ac ió n M at em á tic a R ea lis ta Figura 1. Niveles de matematización El pasaje de un nivel a otro, que suele darse de modo súbito marcando discontinuidades en el aprendizaje, involucra la simbolización esquemática de una situación por medio de un modelo. Poco a poco, este modelo de va despren- diéndose de la situación referencial hasta convertirse en un modelo para, una herramienta para organizar situaciones homólogas a la inicial (Gravemeijer, Cobb, Bowers & Whitenack, 2000; Gravemeijer, 2004). Como lo indica la figura 1, la distinción entre modelo de y modelo para involucra cuatro niveles: situacional, referencial, de generalización y formal. En el nivel situacional, la situación problemática se organiza por medio de estrategias que surgen espontáneamente de la misma. En el nivel referencial (modelo de) aparecen los modelos gráficos, notaciones y procedimientos que esquematizan el problema, pero éstos se refieren de un modo u otro a la situa- ción particular. Al nivel general (modelo para) se llega a través de la exploración, reflex