El sistema de ecuaciones (5.27) nos permite calcular los corchetes de Lagrange y además, vamos a demostrar que los mismos son nulos; i.e., [ ναα j ] = [ νββ j ] = 0. Luego, [ ναα j ] = ∑ µ µ ν µ µ ν µ µ µ α∂ ∂ α∂ ∂ − α∂ ∂ α∂ ∂ )( jj pqpq = ∑ µ ν µ µ µ µ ν               α∂ ∂ α∂ ∂ −      α∂ ∂ α∂ ∂ )( j q p q p = = να∂ ∂ ∑ µ µ µ α∂ ∂ )( j q p − jα∂ ∂ ∑ µ ν µ µ α∂ ∂ )( q p (5.28) Teniendo en cuenta la primera de las ecuaciones (5.27), resulta j)( q p α∂ ∂ ν ν ν∑ = j S α∂ ′∂ − j S α∂ ∂ y reemplazando en (5.28), se tiene [ jα , να ] = να∂ ∂         α∂ ∂ − α∂ ∂ jj S'S − jα∂ ∂       α∂ ∂ − α∂ ∂ νν S'S ≡ 0. como se quería demostrar, entonces [ jα , να ] = 0; del mismo modo podemos deducir [ jβ , νβ ] = 0; luego [ jα , να ] = 0 [ jβ , νβ ] = 0 Vamos a demostrar, a continuación, que los corchetes de Lagrange, [ jj ,βα ] = − 1 y [ νβα ,j ] = 0. Cálculo de, [ νβα ,j ] = ∑ µ               β∂ µ∂ µ α∂ ∂ −         α∂ ∂ β∂ ∂ ν µ µ ν q p q p jj = νβ∂ ∂ ∑ µ µ µ α∂ ∂ )( j q p − jα∂ ∂ ∑ µ µ µ βν∂ ∂ )( q p Si reemplazamos las sumas, por las expresiones dadas en el teorema anterior, ecuaciones (5.27) se tiene, [ νβα ,j ] = νβ∂ ∂        α∂ ∂ − α∂ ∂ jj S'S − jα∂ ∂       α∂ ∂ ν 'S = − νβ∂ ∂        α∂ ∂ j S = − µβ∂ β∂ j =    ν=− ν≠ j1 j0 entonces, [ jj ,βα ] = − [ jj ,αβ ] = − 1 y los restantes [ νβα ,j ] ≡ 0. Por lo tanto, reemplazando en las ecuaciones (5.5) y (5.8), deducimos que, να . = j R β∂ ∂ (5.29) νβ . = − j R α∂ ∂ Sistema de ecuaciones diferenciales que representan la solución del sistema (5.22) es decir, la solución de Jacobi del problema de Lagrange aplicando la variación de las constantes arbitrarias. Para un estudio más completo se recomienda: Brouwer, D. & Clemente, G.; 1961, “Methods of Celestial Mechanics”, Cap. XI, pág. 273. Roy, A.E.; 1978, “Orbital Motion”, Cap. 6, pág. 171. Stiefel, E.L. & Scheifele, G.; 1971,”Linear and regular Celestial Mechanics”, Cap. IX, pág. 213. Conceptos básicos del método: Variación de las Constantes Arbitrarias. En el problema de dos cuerpos los elementos orbitales no varían con el tiempo (porqué?). En consecuencia, las coordenadas y componentes de la velocidad nos permiten determinar, en forma unívoca, los seis elementos que definen la órbita en el espacio en un instante cualquiera. Por lo tanto, el número de cifras significativas de las coordenadas y componentes de la velocidad o de los seis elementos orbitales constituyen una base de datos que permiten fijar la órbita en el espacio, en cualquier instante, con cierta precisión. La mayoría de los problemas dinámicos, relacionados con el movimiento de los cuerpos en el Sistema Solar tienen una característica común: que la aceleración producida por la atracción gravitacional del cuerpo principal es mucho mayor que la aceleración debida a una “perturbación” causada por otro cuerpo del sistema. Por ejemplo, en el caso de las órbitas planetarias la principal atracción es la que ejerce el Sol; en el caso del movimiento de un satélite natural la fuerza principal la ejerce el planeta; por lo tanto, es lógico considerar, en una primera aproximación, una órbita elíptica definida con respecto al Sol o a un planeta. Como el movimiento se realiza bajo la influencia de varios cuerpos que ejercen su atracción gravitacional, las coordenadas y componentes de la velocidad, en cualquier instante, pueden ser usadas para obtener un sistema de seis elementos orbitales. Estos son precisamente los elementos de la elipse que el cuerpo tendría si desde ese instante particular, las aceleraciones causadas por todos los “cuerpos perturbadores” dejan de actuar. En el movimiento real i.e., cuando se consideran todos los cuerpos que integran el sistema dinámico, los elementos orbitales deducidos de las coordenadas y componentes de la velocidad, deben necesariamente variar con el tiempo. En vez de obtener directamente las coordenadas “perturbadas” mediante la solución de las ecuaciones diferenciales del movimiento, Ec. (3.2) pág. 30, es igualmente eficaz obtener primero los elementos orbitales en función del tiempo y luego, determinar las coordenadas a partir de los elementos orbitales hallados, aplicando las fórmulas básicas del movimiento elíptico. Este es el fundamento de la aplicación del método de variación de las constantes arbitrarias en el problema de n cuerpos. Un procedimiento muy utilizado en la teoría de las ecuaciones diferenciales. En Mecánica Celeste este método es aplicado a un sistema de ecuaciones diferenciales de orden seis, el cual representa las ecuaciones de movimiento del cuerpo de masa m, escritas de la forma: 2 2 td xd + 3r x µ = x∂ ℜ∂ , 2 2 td xd + 3r x µ = x∂ ℜ∂ , 2 2 td xd + 3r x µ = x∂ ℜ∂ , donde, )mM(G Sol+=µ y ℜ la función perturbadora. El segundo término del primer miembro, con signo cambiado, representa las componentes de la aceleración relativa producida por la masa central (Sol) situada en el origen de coordenadas. El segundo miembro representa las perturbaciones producidas por todas las otras fuerzas que afectan el movimiento (las perturbaciones son producidas por los otros cuerpos de masa mi ). En el siguiente Capítulo “Teoría