Este sistema de ED representa el movimiento del cuerpo de masa m = 0 en el sistema de coordenadas sidéreo {X,Y}; ver Figura 45, pág. 217. El siguie...

Este sistema de ED representa el movimiento del cuerpo de masa m = 0 en el sistema de coordenadas sidéreo {X,Y}; ver Figura 45, pág. 217. El siguiente paso es analizar el movimiento del cuerpo de masa m en un sistema sinódico con origen en la Tierra, masa = µ. La Figura 46, muestra el nuevo escenario dinámico en el plano. Las coordenadas de la Luna son: en el sistema sidéreo {x, y} y {ξ, η} en el sistema con origen en la masa µ; luego, x = ξ + (1−µ), y = η; por lo tanto: ξ = x + µ −1, η = y. Definimos 2ρ = r. ♦ • (1−µ) µ O (1−µ) ρ1 ρ2 m = 0 η η ξ X (ξ) Y 1 µ 220 § 8.5 Formulas de Hill para n´ ≠ 1. 1 Recordar que: k 2 (m0 + m1) = a 3 n 2. Luego, si (m0 + m1) = (1− µ) y a = 1 resulta n 2 = (1 −µ). Las distancias 1ρ y 2ρ admiten, en ambos sistemas de coordenadas, las expresiones: 2 1ρ = [ ]2x+µ + 2y , 2 2ρ = 2ξ + 2η = [ ]21x −µ+ + 2y . Además, si la constante de Gauss k ≡ 1, resulta 2´n = (1−µ); porqué ? 1. Teniendo en cuenta las relaciones entre las variables (ξ, η) y (x, y) entonces, las derivadas de ξ y η coinciden con las x e y; luego, si suponemos que: ξ = x y η = y, la cantidad )( 22 η+ξ cambia en )yx( 22 + y finalmente en: [ 2)1x( µ−+ + 2y ]. NOTA: Este cambio de variables lo hemos realizado para utilizar directamente las ecuaciones de movimiento (8.22). Teniendo presente estas consideraciones, las ecuaciones diferenciales del movimiento de m entorno del cuerpo de masa µ son: U = 1)1(ρµ− + 2ρµ + ]y)1x([´n 2 1 222 +µ−+ , (8.23) donde las distancias mutuas están definidas como: 2 1ρ = 2)x1( + + 2y ; 2 2ρ = 2x + 2y = 2r . Vamos a desarrollar la función potencial U hasta los términos de segundo orden en x e y, i.e., hasta 2x , 2y : U = (1 − µ) [ ] 2 1 22 y)x1( −++ + µ [ ] 2 1 22 yx −+ + 2´n 2 1 [ 22 y)1x( +µ−+ ]. desarrollando las potencias resulta: U = (1 − µ) [ ] 2 1 22 yxx21 −++ + r µ + 2´n 2 1 [ x 2 + 1 + µ2 + 2 x − 2 x µ − 2 µ + y 2 ], agrupando, U = (1 − µ) [ ] 2 1 22 yxx21 −++ + r µ + 2´n 2 1 [ x 2 + y 2 + 2x (1 − µ) + (1 − µ) 2 ], entonces, si desarrollamos los exponentes hasta la potencia dos y agrupando, se tiene: U = (1 − µ) [1− )yxx2( 2 1 22++ + 8 3 ( 4 x 2 + … ) + r µ + 2´n 2 1 [ x 2 + y 2 + 2x (1 − µ) + (1 − µ) 2 ] U = C − (1 − µ) x + )1(´n 2 µ− x + 2x)1( µ− + 2´n 2 1 2x − 2y)1( 2 1 µ− + 2´n 2 1 2y + r µ + - - - § 8.5 Formulas de Hill para n´ ≠ 1. 1 Recordar que µ es la masa de la Tierra: µ = 2,9899 x 10 – 6 MSol. 221 Recordemos que 2´n = (1−µ), reemplazando resulta: U = C − (1 − µ) x + 2)1( µ− x + 2x)1( µ− + )1( 2 1 µ− 2x − 2y)1( 2 1 µ− + )1( 2 1 µ− 2y + r µ , simplificando, se tiene: U = C + (1 − µ) x [(1− µ) − 1] + 2 3 2x)1( µ− + r µ , y finalmente, U = C + (µ −1) µ x + 2 3 2x)1( µ− + r µ . Ecuación que define la función potencial U; la cual usaremos en el sistema de ecuaciones diferenciales del movimiento (8.23), luego: ∂ ∂ =+ ∂ ∂ =− y U x´n2y x U y´n2x ... ... y r x r x)1(3)1( 3 3 µ −= µ −µ−+µ−µ−= finalmente, el sistema de ED toman la forma, ∂ ∂ =+ ∂ ∂ =− y U x´n2y x r x´n3y´n2x 3 ... 3 2 ... (8.24) esta forma de escribir las ED del movimiento de m (la Luna) respecto del cuerpo de masa µ (la Tierra) se denominan forma canónica. NOTA: Hemos omitido el término µ (1−µ) por ser muy pequeño, del orden de 3 x 10-6, 1. Introducimos ahora una nueva variable independiente τ, definida como: τ = lLuna − lSol = n t + ε − n´ t − ε´ = (n − n´ ) ( t − t0). además, td xd = . x = td d d xd τ τ , donde x´ = τd xd ; luego, . x = x´ (n − n´), .. x = x´´ (n − n´) 2 . Teniendo en cuenta estas nuevas definiciones reemplazamos en las ED (8.24), resulta: ∂ ∂ =−+ ∂ ∂ =−− y U x´nnx´´nn´´y r x´n3´´nn´´y´n2x 3r 2 3 22