Este resultado nos dice que la variación del momento de inercia .I se mantiene acotada. Consideremos ahora la integral del momento angular y proced...

Este resultado nos dice que la variación del momento de inercia .I se mantiene acotada. Consideremos ahora la integral del momento angular y procedemos del mismo modo; sea ∑ × )i( i . ii RRm = C § 9.3 Teorema de Weierstrass-Sundman. donde C es la constante del vector momento angular C. Elevando al cuadrado ambos miembros resulta: 2C = 2 i . ii RRm ×∑ ≤ 2 i i . iii R RR mRm luego, 2C ≤ I ∑ × 2 i i . ii R RR m . Entonces, si sumamos miembro a miembro estas dos desigualdades, resulta: 2 . I 4 1 + 2C ≤ I ∑ +× 2 i 2 i . ii i i R )RR()RR( m (9.3) Desigualdad muy importante para la siguiente demostración. Las coordenadas cartesianas del vector posición iR son { }iii z,y,x y del vector velocidad i . R { i . i . i . z,y,x }, por lo tanto, el producto vector de ambos es: 2 i . i RR = 2 i . i . i . iii zyx zyx KJI − + − = 2 i . 2 i zy + 2 i . 2 i yz − − 2 i . i . ii zyzy + 2 i . 2 i zx + 2 i 2 i . zx − 2 i . i . ii zxzx + 2 i . 2 i yx + 2 i 2 i . yx − − 2 i . i . ii yxyx . y su producto escalar es: 2 i . i RR = 2 i . ii . ii . i zzyyxx ++ = 2 i . 2 i xx + 2 i . 2 i yy + 2 i . 2 i zz + 2 i . 2 i yx + 2 i 2 i . yx + 2 i . 2 i zx + 2 i 2 i . zx + + 2 i . 2 i zy + 2 i . 2 i yz ; agrupando resulta: 2 . § 9.3 Teorema de Weierstrass-Sundman. 1 Siegel, C.L. & Moser, J.K.; 1971,”Lectures on Celestial Mechanics”, págs. 69-77. 2 Saari, D. G.; 2005, “Collisions, Rings and Other Newtonian N-Body Problems”, pág. 147. Ed. American Mathematical Society. 2 i . i RR × + 2 i . i RR = ( )zyx 2 i 2 i ++ ( 2 i . x + 2 i . y + 2 i . z ) = 2 i R 2 i . R = σ. Con este resultado reemplazamos en la ecuación (9.3), entonces resulta: 2 . I 4 1 + 2C ≤ I ∑ +× 2 i 2 i . i 2 i . i i R )RR()RR( m = I ∑ 2 i . i Rm . Por definición de energía cinética: ∑ 2 i . i Rm = 2 T; luego la desigualdad anterior toma la forma: 2 . I 4 1 + 2C ≤ 2 I T = I ( .. I − 2 h ); donde hemos tenido en cuenta la fórmula de Lagrange (pág. 146), por lo tanto I I 4 1 2 . + I C2 ≤ ( .. I − 2 h ) y finalmente resulta: .. I − 2 h − I I 4 1 2 . ≥ I C2, (9.4) Desigualdad muy importante, conocida como la desigualdad de Sundman. Definición: Consideremos tres cuerpos de masa m1, m2, m3; diremos que tienden a una colisión simultanea 1 para t tendiendo a cierto valor tc, si las tres distancias iR → 0 (i=1,2,3) para t → tc; en este caso se cumple que jir → 0 para t → tc; notar que iR = ri y jir = | RJ – Ri |. Teorema (importante). Nos proponemos ahora demostrar el teorema de Weierstrass-Sundman 2, el cual establece la condición necesaria para que exista una colisión simultanea. Para ello vamos a estudiar la siguiente función: Q ( t ) = − 2 h I + I CI 22 . 4 1 (9.5) Derivando respecto de t, resulta: )t(Q . = − 2 h D( I ) + I )I(D)CI(III 22 . 4 1 ... 2 1 +− . )t(Q . = D( I )           −−− I C I I 4 1 h2I 22 .. § 9.3 Teorema de Weierstrass-Sundman. 1 Sg representa la función signo. 249 donde, I C I I 4 1 h2I 22 .. −−− ≥ 0 [ver