Mecanica - Ejercicios 9 - Aceleracion Radial y Momento Angular

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9.7.- Rizo vertical. Un carrito de un juego de un parque de diversiones rueda sin fricción 
por la vía de la figura, partiendo del reposo en A a una altura h sobre la base del rizo. 
Trate el carrito como partícula. 
a) ¿Qué valor mínimo debe tener h (en términos de R) para que el carrito se 
desplace por el rizo sin caer en la parte superior (el punto B)? 
b) Si h=3.50R y=20.0 m, calcule la rapidez, aceleración radial y aceleración 
tangencial de los pasajeros cuando el carrito está en el punto C, en el extremo 
de un diámetro horizontal. 
 
 
 
 
 
9.8.- En el centro de distribución de una compañía de embarques, un carrito abierto de 
50.0 kg está rodando hacia la izquierda con rapidez de 5.00 m/s (figura). La fricción 
entre el carrito y el piso es despreciable. Un paquete de 15.0 kg baja deslizándose por 
una rampa inclinada 37.0° sobre la 
horizontal y sale proyectado con una 
rapidez de 3.00 m/s. El paquete cae en 
el carrito y siguen avanzando juntos. Si 
el extremo inferior de la rampa está a 
una altura de 4.00 m sobre el fondo del 
carrito: 
B) Valor mínimo de h 
𝐸𝑐𝑖 + 𝐸𝑝𝑖 = 𝐸𝑐𝑓 + 𝐸𝑝𝑓 
𝐸𝑐𝑖 = 𝐸𝑐𝑖 + 𝐸𝑝𝑓 
𝑚𝑔ℎ =
1
2
𝑚𝑣2 + 𝑚𝑔𝑅 
ℎ =
𝑚 (
1
2 𝑣
2 + 𝑔𝑅)
𝑚𝑔
 
ℎ =
(
𝟏
𝟐 𝒗
𝟐 + 𝒈𝑹)
𝒈
 
A) Rapidez, aceleración radial y aceleración 
tangencial de los pasajeros 
𝐸𝑐𝑖 + 𝐸𝑝𝑖 = 𝐸𝑐𝑓 + 𝐸𝑝𝑓 
𝐸𝑝𝑖 = 𝐸𝑐𝑖 + 𝐸𝑝𝑓 
𝑚𝑔ℎ =
1
2
𝑚𝑣2 + 𝑚𝑔𝑅 
𝑣2 =
2𝑚𝑔(ℎ𝑖 − 𝑅)
𝑚
= 2𝑔(ℎ𝑖 − 𝑅) 
𝑣2 = 2 (9.81
𝑚
𝑠2
) (3.5(20) − 20) = 1000 
𝑣 = √1000 = 𝟏𝟎
𝒎
𝒔
 
𝑎𝑟𝑎𝑑 =
𝑣2
𝑅
=
102
20
= 𝟓𝟎
𝒎
𝒔𝟐
 
 
atan = 𝟗. 𝟖𝟏𝒈𝒓𝒂𝒗𝒆𝒅𝒂𝒅 𝒆𝒏 𝒆𝒔𝒆 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒐 
a) ¿qué rapidez tendrá el paquete inmediatamente antes de caer en el carrito? 
b) ¿Qué rapidez final tendrá el carrito? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Datos: 
• Mc = 50 kg 
• V = 5 m/s 
• Mp = 15 kg 
• Angulo = 37° 
• Vp = 3 m/s 
• H = 4m 
B) Rapidez antes de caer 
𝑉 sin 𝜃 = 3
𝑚
𝑠
sin 37° = 1.9306
𝑚
𝑠
 
𝑚𝑔ℎ =
1
2
𝑚𝑣2 
15(9.81)(4) = (15)𝑣2 
1177.2 = 15𝑣2 
78.48 = 𝑣2 
𝑣 = −𝟖. 𝟖𝟔 
A) Rapidez final 
(15 𝑘𝑔) (1.93
𝑚
𝑠
) + (50𝑘𝑔) (5
𝑚
𝑠
) = (15 + 50)𝑣𝑡 
15(1.93) + 50(5)
15 + 50
= 𝑣𝑡 
𝑣𝑡 = 𝟒. 𝟐𝟗
𝒎
𝒔
 
 
 
10.1.- Una rueda de bicicleta tiene una velocidad angular inicial de 1.50 rad/s. 
a) Si su aceleración angular es constante e igual a 0.300 rad/s2, ¿qué velocidad 
angular tiene en t = 2.50 s? 
b) ¿Qué ángulo gira la rueda entre t = 0 s y t = 2.50 s? 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.2.- Un ventilador eléctrico se apaga, y su velocidad angular disminuye uniformemente 
de 500 rev/min a 200 rev/min en 4.00 s. 
a) Calcule la aceleración angular en rev/s2, y el número de revoluciones que el motor 
giró en el intervalo de 4.00 s. 
b) ¿Cuántos segundos más tardará el motor en parar, si la aceleración angular se 
mantiene constante en el valor calculado en el inciso a)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.3.- Calcule el momento de inercia de cada uno de los siguientes objetos uniformes en 
torno a los ejes indicados. Consulte la tabla 9.2 si lo requiere. 
Datos: 
• Wo = 1.5 rad/s 
• A. angular = 0.300 rad/s2 
Datos: 
• Wo = 500 rev/min = 52.36 rad/s 
• W = 200 rev/min = 20.944 rad/s 
• T = 4 s 
B) Velocidad angular 
B) Aceleración angular 
𝜔 = 𝜔𝑜 + 𝛼𝑡 
𝜔 = 1.5
𝑟𝑎𝑑
𝑠
+ 0.3
𝑟𝑎𝑑
𝑠2
(2.5 𝑠) = 𝟐. 𝟐𝟓
𝒓𝒂𝒅
𝒔
 
 
A) Angulo 
𝜃 = 𝜃𝑜 + 𝜔𝑜 +
1
2
𝑎𝑡2 
𝜃 = 0 + 1.5
𝑚
𝑠
(2.5 𝑠) +
1
2
(0.3
𝑚
𝑠2
)(2.5 𝑠)2 
𝜃 = 𝟒. 𝟔𝟗 𝒓𝒂𝒅 
 
𝛼 =
𝜔 − 𝜔𝑜
𝑡
= 
20.944
𝑟𝑎𝑑
𝑠 − 52.36
𝑟𝑎𝑑
𝑠
4 𝑠
 
𝛼 = −𝟕. 𝟖𝟓𝟒
𝒓𝒂𝒅
𝒔𝟐
= −𝟏. 𝟐𝟓
𝒓𝒆𝒗
𝒔𝟐
 
 
A) Tiempo 
𝑡 =
𝜔
𝛼
 
𝑡 =
20.944
𝑟𝑎𝑑
𝑠
7.854
𝑟𝑎𝑑
𝑠2
= 𝟐. 𝟔𝟔 𝒔 
 
a) Una varilla delgada de 2.50 kg con longitud de 75.0 cm, alrededor de un eje 
perpendicular a ella y que pasa por: 
i) un extremo 
ii) su centro 
iii) alrededor de un eje paralelo a la varilla y que pasa por ella. 
 
 
 
 
 
 
 
b) Una esfera de 3.00 kg con diámetro de 38.0 cm, alrededor de un eje que pasa por su 
centro, si la esfera: 
i) es sólida 
ii) es un caparazón hueco de pared delgada. 
 
 
 
 
 
c) Un cilindro de 8.00 kg con longitud de 19.5 cm y diámetro de 12.0 cm, alrededor del 
eje central de un cilindro, si el cilindro es: 
i) hueco de pared delgada 
ii) sólido. 
 
 
 
 
Extremo 
𝐼 =
1
3
𝑀𝐿2 
𝐼 =
1
3
(2.5 𝑘𝑔)(0.75𝑚)2
= 𝟎. 𝟕𝟔𝟖 𝑲𝒈𝒎𝟐 
Extremo 
𝐼 =
1
12
𝑀𝐿2 
𝐼 =
1
12
(2.5 𝑘𝑔)(0.75𝑚)2
= 𝟎. 𝟏𝟏𝟕 𝑲𝒈𝒎𝟐 
Extremo 
𝐼 = 𝟎 𝑲𝒈𝒎𝟐 
No hay aporte al eje 
de rotación 
Solida 
𝐼 =
2
5
𝑀𝑅2 
𝐼 =
2
5
(3 𝑘𝑔)(0.19𝑚)2
= 𝟎. 𝟎𝟒𝟑𝟑 𝑲𝒈𝒎𝟐 
Hueco 
𝐼 =
2
3
𝑀𝑅2 
𝐼 =
2
3
(3 𝑘𝑔)(0.19𝑚)2
= 𝟎. 𝟎𝟕𝟐𝟐 𝑲𝒈𝒎𝟐 
Hueco delgado 
𝐼 = 𝑀𝑅2 
𝐼 = (8 𝑘𝑔)(0.06𝑚)2
= 𝟎. 𝟎𝟐𝟖 𝑲𝒈𝒎𝟐 
Solido 
𝐼 =
1
2
𝑀𝑅2 
𝐼 =
1
2
(8 𝑘𝑔)(0.06𝑚)2
= 𝟎. 𝟎𝟏𝟒𝟒 𝑲𝒈𝒎𝟐 
 
10.4.- Una piedra de 2.00 kg tiene una 
velocidad horizontal con magnitud de 12.0 m/s 
cuando está en el punto P de la figura. 
a) ¿Qué momento angular (magnitud y 
dirección) tiene con respecto a O en 
ese instante? 
b) Suponiendo que la única fuerza que 
actúa sobre la piedra es su peso, 
calcule la rapidez del cambio (magnitud 
y dirección) de su momento angular en 
ese instante. 
 
 
Datos: 
• m = 2 kg 
• v = 12 m/s 
• Angulo = 36.9° 
• r = 8m 
B) Momento angular 
A) Rapidez del cambio 
𝐿 = 𝑟 × 𝑚𝑣 
𝐿 = 8 𝑚 sin 36.9° (2𝑘𝑔) (12
𝑚
𝑠
) 
𝐿 = −𝟏𝟏𝟓. 𝟐𝟖
𝑲𝒈 𝒎𝟐
𝒔
 
 
𝜏 = 𝐹𝑟(sin 𝜃) 
𝜏 = (19.62 𝐾𝑔
𝑚
𝑠2
)(8𝑚)(sin 53.1°) 
𝜏 = 𝟏𝟐𝟓. 𝟓𝟏 𝑵𝒎