El algoritmo comienza con un ACoP, que trata de construir una configuración de n puntos en un espacio euclídeo, de tal forma que la distancia entre...

El algoritmo comienza con un ACoP, que trata de construir una configuración de n puntos en un espacio euclídeo, de tal forma que la distancia entre dos puntos cualesquiera de la configuración aproxime, tan cerca como sea posible, la disimilitud ( ) entre las empresas que, en nuestro caso, son representadas por estos puntos. De manera gráfica, resumimos: Figura 1. Pasos del Biplot Logístico Externo. Elaborado por Belén Vaquero Romero. El objetivo entonces será encontrar una configuración Y en espacio euclídeo de baja dimensión k cuya matriz de distancias entre puntos D esté tan cerca como sea posible a Δ. Cuando la disimilitud medida es euclídea, es posible encontrar una configuración exacta en n-1 dimensiones. Además, se puede obtener una aproximación de la dimensión más reducida proyectando en las primeras k coordenadas principales (normalmente k=2): En ACoP es sabido que la proporción de la varianza total explicada por las k dimensiones puede ser considerada como una media de bondad de ajuste de los n puntos en la representación gráfica. Sin embargo, una buena bondad de ajuste global no implica que todas las empresas tengan la misma calidad de representación y, por tanto, la interpretación de las posiciones de todos los puntos en el diagrama no es igualmente fiable. Se considera que un individuo está bien representado cuando la mayor parte de su información, medida a través de la variabilidad, se contabiliza en la dimensión reducida. Como la representación está centrada en el origen, la variabilidad de cada individuo se mide por el cuadrado de su distancia al centro, de forma que la calidad de la representación puede ser medida por el ratio entre el cuadrado de la distancia en la dimensión reducida y el cuadrado de la distancia en el espacio completo. Esto es: Donde representa las coordenadas principales del individuo i en la j-ésima dimensión. Geométricamente, es el cuadrado del coseno del ángulo entre el vector en el espacio completo y su proyección en el espacio de representación. Al contrario que el Análisis de Componentes Principales en su versión Biplot, donde los nuevos ejes pueden ser interpretados en términos de las variables originales, en ACoP los ejes no tienen significado directo. Por tanto, no es posible interpretar la relación entre las empresas y los indicadores GRI. No obstante, se puede demostrar que las configuraciones del Análisis de Componentes Principales se pueden también obtener aplicando ACoP a la matriz de distancias euclídeas. Para buscar las variables asociadas a la ordenación obtenida en el ACoP, podemos buscar las direcciones en el diagrama de ordenación que mejor predicen la probabilidad de presencia de cada indicador GRI. De esta forma, definimos como la probabilidad esperada de que el indicador j esté presente en una empresa con coordenadas (i=1,...,n; s=1,...,k) en el diagrama de ordenación. Entonces, Donde (j = 1,…, p) son los coeficientes de RL que corresponden con la j variable en la s-ésima dimensión. El modelo es un modelo lineal generalizado conteniendo el logit como una función enlace. Donde y , y las y’s y b’s definen al biplot en una escala logit. A esto se le conoce como Biplot Logístico Externo porque las coordenadas de las empresas son calculadas con un procedimiento externo (ACoP): Dado que las y’s son conocidas del ACoP, obtener las b’s es equivalente a realizar una RL usando la columna j-ésima de la matriz X como variable respuesta y las columnas de y como variables regresoras. La ecuación de regresión predecirá la probabilidad de que un indicador GRI esté presente en una empresa. Geométricamente, las y’s pueden ser representadas como puntos en un espacio de dimensión reducida y las b’s como vectores que muestran las direcciones que mejor predicen la probabilidad de presencia de cada indicador. Para cada indicador considerado en el estudio, el diagrama de ordenación puede ser dividido en dos regiones que predicen, respectivamente, la presencia/ausencia de la característica. Las dos regiones están separadas por una línea perpendicular al vector que representa a la variable y corta al vector en el punto 0,5. Si la empresa que estemos analizando está en la dirección que marca el extremo del vector, esa característica estará presente. La calidad de representación de cada variable viene medida por el p-valor en el modelo de regresión logística. Con el análisis también tratamos de encontrar países con perfiles de sostenibilidad similares (agrupaciones): El Análisis Clúster se puede aplicar utilizando la matriz de distancias inicial o la matriz de distancias euclídeas ajustadas D obtenida a partir del ACoP. La partición obtenida es representada en la ordenación del ACoP utilizando la envolvente convexa de los puntos pertenecientes a cada clúster. En nuestro caso, para la creación de clústers utilizaremos el método de Ward de varianza mínima, basado en el procedimiento de aglomeración de clúster jerárquico donde el criterio para la elección del par de clúster a mezclar en cada paso está basado en el valor óptimo de una función objetivo, el error de la suma de los cuadrados, con la ordenación de las puntuaciones del Biplot Logístico (Vicente Galindo, Vaz y de Noronha, 2015). En términos del análisis del gráfico, destacamos las siguientes reglas de interpretación: • Las distancias entre los puntos que representan a las empresas en el diagrama de dispersión están inversamente relacionadas a las similitudes de sus perfiles. De esta forma, empresas que se encuentren cerca tendrán similares características. • El ángulo entre los vectores que representan las variables indica el grado de asociación entre variables: los ángulos agudos indican que las variables están estrechamente relacionadas, es decir, cuando una empresa presenta una de las características también presenta la otra y viceversa. • Los ángulos entre los vectores representando las variables y el eje factorial, estiman el grado de relación entre la variable y la dimensión latente. • Las proyecciones de las empresas en el vector que representa a las variables, estiman la probabilidad esperada de las características de esa empresa dada su combinación de características. • La longitud del vector que representa cada variable indica el poder de discriminación de la variable en la separación de las empresas. Los vectores más cortos tendrán el mayor poder de discriminación. El programa estadístico utilizado para implementar esta técnica, elaborado por Vicente Villardón, se conoce como MultBiplot (Vicente-Villardón, 2015) y está disponible para su descarga en la página web: http://biplot.dep.usal.es/classicalbiplot/ 3. RESULTADOS 3.1. Análisis Exploratorio Analizando los datos obtenidos en el estudio, observamos que el número de publicaciones es muy similar en ambos años y que, además, la mayoría de las compañías estudiadas tienen un tamaño grande, son privadas y, casi la mitad de ellas, pertenecen al sector servicios. El porcentaje entre aquellas que publican de acuerdo a las directrices GRI 3 es ligeramente superior al de aquellas que publican de acuerdo a GRI 3.1, destacando aquellas compañías que presentan niveles de aplicación de A+, B y C. Para estudiar el comportamiento en materia de sostenibilidad de los países, diferenciaremos entre los que en el periodo analizado tenían el mayor PIB per cápita de Europa, eligiendo como población objetivo las empresas de aquellos países que presenten al menos 150 publicaciones entre los años 2011 y 2012, y los países denominados PIIGS (Portugal, Italia, Irlanda, Grecia y España) que se han visto más afectados por los efectos de la crisis financiera. Es importante indicar que Irlanda quedará excluida del estudio al tener un número de publicaciones inferior a 15. De acuerdo a los datos publicados por el Banco Mundial, organismo dependiente de las Naciones Unidas (Banco Mundial, 2015), los países con mayor PIB per cápita en el periodo objeto de estudio, que a su vez presentan un mayor número de informes de sostenibilidad, son Alemania con 118 informes en 2011 y 96 en 2012, Países bajos con 88 y 77 respectivamente, Suecia 108 en 2011 y 109 en 2012 y Suiza 74 en 2011 y 85 en 2012. Los países denominados PIIGS, afectados de manera muy significativa por la crisis, son: España con 172 reportes en 2011 y 89 en 2012, Grecia con 28 en 2011 y 17 en 2012, Italia con 57 en 2011 y 46 en 2012 y Portugal con 37 en 2011 y 15 en 2012. En el año 2011, dentro de las empresas situadas en países con mayor PIB per cápita de Europa, los indicadores más publicados corresponden a la parte económica, EC1 (84,2%); a la parte medioambiental, EN16 (81,7%); y a la parte laboral, LA1 (89,4%): Lo