(ρ,θ) = f (ρcosθ,ρsenθ) con lo que la igualdad anterior se
escribe mejor en la forma

∇ f (ρcosθ,ρsenθ) =
∂h
∂ρ
(ρ,θ)eρ +
1
ρ
∂h
∂θ
(ρ,θ)eθ (4.12)

Observa que en esta igualdad a la izquierda tenemos el gradiente de f calculado en la expresión
de f en coordenadas cartesianas y evaluado en el punto (ρcosθ,ρsenθ), y a la derecha lo que te-
nemos son las derivadas parciales de la función compuesta h(ρ,θ) = f (ρcosθ,ρsen θ) evaluadas
en el punto (ρ,θ). En los textos de Física es frecuente que no se distinga entre la función f y la
función h (pues, en definitiva, son la misma función expresada en distintas coordenadas) y que
escriban la igualdad (4.11) en la forma

∇ f =
∂ f
∂ρ
eρ +
1
ρ
∂ f
∂θ
eθ (4.13)

igualdad que constituye la expresión del gradiente en polares.

Observa que en la expresión anterior del gradiente aparecen los inversos de los factores de
escala multiplicando a las derivadas parciales a las que está asociado cada uno de ellos. Como
sabes, los factores de escala son {1,ρ}; el primero de ellos, 1, está asociado a la primera columna
de la matriz jacobiana del cambio de coordenadas que corresponde a la derivación parcial res-
pecto a la primera variable, ρ; el segundo de ellos, ρ, está asociado a la segunda columna de la
matriz jacobiana del cambio de coordenadas que corresponde a la derivación parcial respecto
a la segunda variable, θ.

4.1.4. Significado de los factores de escala

Consideremos la matriz jacobiana de la función que introduce las coordenadas polares.

A =
(
cosθ −ρsinθ
sinθ ρcosθ
)

Esta matriz define una aplicación lineal de R2 en R2 que a cada vector (x,y) hace corresponder
el vector A .(x,y). Un cálculo fácil proporciona
‖A .(x,y)‖ =
√
x2 + ρ2y2
Deducimos que para vectores situados en el eje de abscisas, es decir, de la forma (x,0), se verifi-
ca que ‖A .(x,0)‖ = ‖(x,0)‖ y, por la linealidad, se sigue que ‖A .(x,0)−A .(z,0)‖ = ‖(x,0)− (z,0)‖,
esto es, la aplicación (x,y) 7→ A .(x,y) conserva distancias en el eje X . Pues bien, este es el signi-
ficado de que el factor de escala asociado a la primera variable sea igual a 1.

Deducimos también que para vectores situados a lo largo del eje de ordenadas, es decir,
de la forma (0,y), se verifica que ‖A .(0,y)‖ = ρ‖(0,y)‖ y, teniendo en cuenta la linealidad, se
sigue que ‖A .(0,y)−A .(0,z)‖ = ‖(0,y)− (0,z)‖, esto es, la aplicación (x,y) 7→ A .(x,y) multiplica

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Significado de los factores de escala 45
distancias por ρ en el eje Y . Pues bien, este es el significado de que el factor de escala asociado
a la segunda variable sea igual a ρ.

En resumen, los factores de escala indican las dilataciones a lo largo de los ejes que hace la
aplicación lineal asociada a la matriz jacobiana de la aplicación g(ρ,θ) = (ρcosθ,ρsenθ). Suele
decirse que la aplicación g es la que, a escala infinitesimal, produce esas dilataciones. La expre-
sión “escala infinitesimal” se entiende de la siguiente forma. Supongamos que fijamos valores
ρ = ρ0 y θ = θ0 y sea δ un número muy pequeño (lo que en los siglos XVII y XVIII se llamaba un
infinitésimo; terminología que todavía usan algunos textos de Física). Entonces, por la defini-
ción de derivada, tenemos que
‖g(ρ0 + δ,θ0)−g(ρ0,θ0)‖ ≃ δ
∥∥∥∥
∂g
∂ρ
(ρ0,θ0)
∥∥∥∥= δ
‖g(ρ0,θ0 + δ)−g(ρ0,θ0)‖ ≃ δ
∥∥∥∥
∂g
∂θ
(ρ0,θ0)
∥∥∥∥= δρ0

La primera igualdad nos dice que si efectuamos “incrementos infinitesimales” en la primera
variable la aplicación g conserva distancias y la segunda igualdad nos dice que si efectuamos
“incrementos infinitesimales” en la segunda variable la aplicación g multiplica las distancias
por el correspondiente valor de la primera variable.

La expresión (4.4) del elemento diferencial de longitud en coordenadas polares tiene en

Naturalmente, para calcular la longitud de una curva dada por sus ecuaciones paramétricas
polares r(t) = (ρ(t)cosθ(t),ρ(t)sen θ(t)), a 6 t 6 b, lo que se hace es integrar la rapidez con que
dicha curva se recorre:
‖r ′(t)‖=
√
(ρ ′(t)cosθ(t)−ρ(t)θ ′(t)sen θ(t))2 +(ρ ′(t)senθ(t)+ ρ(t)θ ′(t)cosθ(t))2 =
√
ρ ′(t)2 + ρ(t)2θ ′(t)2
en consecuencia, la longitud de r viene dada por
bw
a
‖r ′(t)‖ dt =
bw
a
√
ρ ′(t)2 + ρ(t)2θ ′(t)2 dt
Observa que el valor obtenido para ‖r ′(t)‖ podíamos haberlo calculado directamente usando
la igualdad (4.3) y recordando que la norma euclídea es invariante por cambios de base orto-
normales.

Al igual que cada factor de escala mide la dilatación infinitesimal a lo largo de un eje, el pro-
ducto de los factores de escala, en nuestro caso ρ, mide el cambio en el área de un rectángulo a
escala infinitesimal. El producto de los factores de escala es justamente el determinante jaco-
biano. Recuerda que la fórmula del cambio de variables a coordenadas polares en una integral
doble afirma que si f es un campo escalar continuo en un conjunto A ⊂ R2 se verifica que
"
A
f (x,y)d(x,y) =
"
B
f (ρcosθ,ρsenθ)ρd(ρ,θ)
donde B = {(ρ,θ) : (ρcosθ,ρsenθ)∈A}. Observa que B es la expresión del conjunto A en coorde-
nadas polares, es decir A = g(B), y que en la segunda integral se multiplica por ρ. Si particulari-
zamos la igualdad anterior para la función constante f (x,y) = 1 obtenemos
Área(g(B)) =
"
A
1d(x,y) =
"
B
ρd(ρ,θ)
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Coordenadas esféricas 46
Si B es un rectángulo muy pequeño (un rectángulo infinitesimal) se verifica que
"
B
ρd(ρ,θ) ≃ ρ
"
B
d(ρ,θ) = ρÁrea(B)
Deducimos que Área(g(B)) ≃ ρÁrea(B). En los libros de física se dice que ρdρ dθ es el elemento
diferencial de área en coordenadas polares.

4.2. Coordenadas esféricas

La función g(r,θ,φ) = (r sen θcosφ,r sen θsenφ,r cosθ) es una biyección de Ω = R+ × [0,π]×]−
π,π] sobre R3 \{(0,0,0)}. Los números (r,θ,φ) dados por x = r senθcosφ, y = r sen θsenφ, z = r cosθ
donde r > 0, 0 6 θ6 π, -π < φ 6 π, se llaman las coordenadas esféricas del punto de coordenadas
cartesianas (x,y,z).

z=rcosΘ

r=
�!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
x2 + y2 + z2

rsenΘx=rsenΘcosΦ

y=rsenΘsenΦ

Θ

Φ

P

X

Z

Y

er

eΦ

eΘ

Nota. La notación y el orden en que se escriben las coordenadas esféricas varía de unos textos a
otros. En muchos textos los papeles de φ y θ están intercambiados con respecto a los nuestros.
Por lo que se refiere al intervalo ]− π,π] elegido para medir en radianes el ángulo φ, podemos
hacer las mismas observaciones que las hechas para las coordenadas polares. Con frecuen-
cia dicho intervalo se sustituye por [0,2π[ lo que, dicho sea de paso, complica las fórmulas del
cambio de cartesianas