9.1.1. Ecuaciones de Cauchy-Riemann El siguiente resultado pone de manifiesto que la derivabilidad compleja es mucho más res-trictiva de lo que pue...

9.1.1. Ecuaciones de Cauchy-Riemann
El siguiente resultado pone de manifiesto que la derivabilidad compleja es mucho más res-trictiva de lo que puede parecer a primera vista.
9.2 Teorema (Relación ente la derivabilidad compleja y la diferenciabilidad real). Sea Ω ⊂ Cun conjunto abierto, a un punto de Ω y f : Ω → C una función de Ω en C. Notemos a = α + iβ,u(x,y) = Re f (x + iy), v(x,y) = Im f (x + iy). Equivalen las siguientes afirmaciones:i) f es derivable (en sentido complejo) en a = α+ iβ.ii) Las funciones u(x,y) = Re f (x + iy), v(x,y) = Im f (x + iy) son diferenciables en (α,β) y además∂u∂x(α,β) =∂v∂y(α,β)∂u∂y(α,β) = −∂v∂x(α,β)Ecuaciones de Cauchy–RiemannEn caso de que se cumplan i) y ii) se tienef ′(a) = f ′(α+ iβ) =∂u∂x(α,β)+ i∂v∂x(α,β)Este resultado explica porqué si defines, sin pensarlo mucho, una función compleja en laforma f (x+ iy) = u(x,y)+ iv(x,y) lo más probable es que, a pesar de lo buenas que puedan ser lasfunciones u y v, la función así definida no sea derivable. Pues las funciones u y v no tienen porqué verificar las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Esto indica (aunque esta es una idea difícilde precisar) que las funciones complejas derivables son “auténticas funciones complejas” en elsentido de que si la función f (x+ iy) = u(x,y)+ iv(x,y) es derivable entonces la expresión u(x,y)+iv(x,y) debe depender únicamente de la variable z. Los siguientes ejemplos son ilustrativos.