El tiempo de descarga de un barco que transporta cereal se distribuye uniformemente entre a y b horas, T ∼ U(a, b), siempre que dicha descarga se l...

El tiempo de descarga de un barco que transporta cereal se distribuye uniformemente entre a y b horas, T ∼ U(a, b), siempre que dicha descarga se lleve a cabo sin interrupciones. La grúa que efectúa la descarga es poco fiable y propensa a las averías. Éstas ocurren según una distribución de Poisson con media λ averías por hora. Cuando la grúa está estropeada se requieren d horas para arreglarla. Con todas estas circunstancias, queremos conocer el tiempo real medio de descarga del barco. Si designamos por TR el tiempo real de descarga del barco, lo que se nos pide es E(TR). Observemos que sobre dicho tiempo influyen, tanto la variable T , que nos proporciona el tiempo de descarga sin tener en cuenta las posibles interrupciones, como las horas que haya que añadir debido a la averías de la grúa durante el período T , averías cuyo número en dicho lapso de tiempo será NT ∼ Po(λT ). Sabemos que E(TR) = E[E(TR|T )]. Para calcular la esperanza condicionada hemos de tener en cuenta las posibles averías, lo que equivale a decir que hemos de condicionar a los posibles valores de NT . Así, E(TR|T ) = E {E [E(TR|T )|NT ]} = ∑ n≥0 E(TR|T,NT = n)P (NT = n) = ∑ n≥0 (T + nd)P (NT = n) = T ∑ n≥0 P (NT = n) + d ∑ n≥0 nP (NT = n) = T (1 + dλ). Por último E(TR) = E[E(TR|T )] = (1 + dλ)E(T ) = (a+ b)(1 + dλ) 2.