llamada la matriz de Leslie. Un ejemplo sencillo recoge las ideas básicas y los modelos prácticos son versiones más elaboradas de lo mismo. Suponga...

llamada la matriz de Leslie. Un ejemplo sencillo recoge las ideas básicas y los modelos prácticos son versiones más elaboradas de lo mismo. Supongamos que modificamos la configuración de Fibonacci para permitir tres clases de edades de (parejas de) conejos: jóvenes, adultos y ancianos. Dejamos pasar el tiempo en pasos discretos: 1, 2, 3 y así sucesivamente, y asumimos que en cada paso las parejas jóvenes se hacen adultas, las adultas se hacen ancianas y las ancianas se mueren. Adicionalmente, cada pareja adulta engendra, de media, cierto número de parejas jóvenes (que podría ser una). Cambian en cada nueva etapa. De izquierda a derecha y de arriba abajo, las clases de edades son jóvenes, adultos, ancianos. La entrada en una fila y una columna dadas nos dice qué proporciones de parejas en esa columna se convierten en, o engendran, una pareja cuya clase de edad corresponde a la fila escogida. Por ejemplo, la fila de arriba (0, 0,5, 0) dice que obtenemos 0 parejas jóvenes de cada pareja joven, 0,5 parejas jóvenes de cada pareja adulta y 0 parejas jóvenes de cada pareja anciana. La matriz de Leslie codifica las reglas para todas las transiciones entre clases de edad, lo cual puede ser más complicado que el ejemplo que he escogido. Por ejemplo, podría haber diez clases de edad y la mayoría de ellas tendrían varias tasas de nacimiento distintas de cero. La fila superior sería una secuencia más larga de números concretos, normalmente diferentes. Entonces, una fórmula que incorpora esta matriz puede usarse para calcular cómo los números de parejas en tres clases de edad cambian a lo largo del tiempo. fuese mayor que 1, la población se dispararía. Esta pequeña transición en la tasa de natalidad 1 se da porque solo los adultos tienen crías. Con más clases de edad, hay varias tasas de natalidad y el cambio de desaparecer a dispararse es más complicado. Una aplicación importante de dicho modelo es el crecimiento de la población humana, actualmente estimado en poco menos de siete mil millones. Son necesarios modelos muy sofisticados para predecir el crecimiento futuro, porque este depende de la distribución de edades, los cambios sociales, inmigración y muchos otros factores sociales y políticos. Pero todos los modelos deben obedecer la ley básica de conservación de gente: pueden crearse personas a través de nacimientos, pueden destruirse por la muerte y pueden moverse de una nación a otra, pero no pueden (salvo los astronautas) desvanecerse en el aire. Esta ley puede fácilmente convertirse en ecuaciones matemáticas, pero la forma de las ecuaciones depende de la tasa de natalidad y la tasa de mortalidad, y cómo estas cambian cuando la población cambia. Los modelos de Leslie usan tasas de natalidad constantes para cada clase de edad y dividen la población en un número fijo de clases de edad. Otros modelos reemplazan estas suposiciones por otras más realistas; por ejemplo, la tasa de natalidad depende del tamaño total de la población o la gente puede permanecer en una clase de edad determinada durante un cierto tiempo antes de moverse a la siguiente. Un buen modelo requiere fórmulas realistas para todas las tasas de natalidad y mortalidad. Esto se puede obtener si se dispone de buenos datos, pero para la población mundial datos precisos existen solo desde 1950 hasta el presente. Este es un período de tiempo muy corto para determinar, con cierta seguridad, la forma específica que deben adoptar las ecuaciones, de manera que los expertos hacen conjeturas bien fundadas y escogen lo que parece más razonable. No sorprende que expertos diferentes prefieran modelos diferentes. Algunos usan modelos deterministas, otros usan modelos estadísticos. Algunos combinan los dos. Algunos son ortodoxos, otros no. FIGURA 71. Crecimiento de la población mundial a largo plazo, 1750-2050 (predicciones después de 2010). La curva muestra el tamaño de la población, las barras muestran el incremento del tamaño en intervalos de 2,5 años. En consecuencia, hay un gran desacuerdo sobre cuándo la población de la Tierra llegará a su máximo y lo grande que será cuando lo haga. El rango de predicciones va desde 7,5 mil millones a 14 mil millones. La figura muestra el crecimiento desde 1750, con una pequeña predicción en la mitad de ese rango. Las pruebas sugieren que la tasa de crecimiento ha sido bastante constante desde 1970, cuando la población alcanzó los cuatro mil millones, de modo que no hay evidencias claras de que la tasa de crecimiento esté ralentizándose, por no hablar de si se estabilizará o empezará a decrecer. Sin embargo, la población mundial está generalmente expectante a alcanzar el máximo en algún momento dentro de los próximos ciento cincuenta años. Las principales razones para estas expectativas son sociales y culturales. Una importante es la «transición demográfica», en la que la mejora de la educación y el nivel de vida causa una aguda caída en el tamaño de las familias. Pero en muchos países esto se compensa con una subida en las expectativas de vida, provocada por las mejoras en medicina y el nivel de vida. Es difícil incorporar estos efectos en los modelos de población porque dependen de los avances científicos, los cambios políticos y cambios culturales, y todos ellos son inherentemente impredecibles. Se usan con frecuencia métodos estadísticos, y como todas las estadísticas funcionan mejor para poblaciones grandes. De manera que, del mismo modo que resulta más fácil prever el clima global que predecir el tiempo local, es más fácil prever la tendencia general de la población global que predecir las poblaciones de cada nación. Pero incluso así, las incertidumbres son enormes. Los estados tradicionales vistos en sistemas dinámicos son estados estables (también llamados en equilibrio), donde nada cambia conforme el tiempo pasa, y estados periódicos, donde la misma secuencia de eventos se repite una y otra vez. Una roca está en un estado estable si no se está moviendo e ignoramos la erosión. El ciclo de las estaciones es periódico, con periodicidad anual. Pero en la década de los sesenta del siglo XX, los matemáticos se dieron cuenta de que la tradición había dado paso totalmente a otro tipo de comportamiento más enigmático: el caos. Este es un comportamiento tan