Decir, del vértice de la parábola) a un punto dado x0 y0  , esto es . . . y a x 2= se transforma en . . . y y0  a x x0 2= y se obtiene : y a x x0 2 y0= que representa un desplazamiento de la curva sobre el plano hacia : la derecha si la constante x0 es positiva .  la izquierda si la constante x0 es negativa . arriba si la constante y0 es positiva. abajo si la constante y0 es negativa. Desarrollando la ecuación anterior e igualando con y a x 2 b x c= se obtiene : a x x0 2 y0 a x 2 b x c= a x 2 2 a x x0 a x0 2 y0 a x 2 b x c= los coeficientes para x 2, x y el término constante deben ser los mismos en ambas expresiones, asi que . . . 2 a x0 b= a x0 2 y0 c= cuya solución es . . . x0 b 2 a= ; y0 b 2 4 a c= ( 3.5 ) De modo que la recta vertical x0 b 2 a= es ahora el nuevo eje de simetría para la gráfica de la parábola, la cual además tiene su nuevo vértice en el punto x0 y0  . Ejemplo 3. Graficar el polinomio de 2º grado : P x( ) 3 x 2 18 x 32= Solución : Se trata de escribir esta función cuadrática en la forma : P x( ) a x x0 2 y0= , para lo cual se completa el trinomio cuadrado perfecto de la función cuadrática dada : Pedro Ferreira Herrejón 125 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH 1° Factorizando el coeficiente de x 2 : 3 x 2 18 x 32 3 x 2 6 x 32= 2° Sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente de x : 3 x 2 18 x 32 3 x 6 x 6 2     2  6 2     2      32= 3° Los primeros tres términos del parénteis recto son el cuadrado perfecto de un binomio . . . 3 x 2 18 x 32 3 x 3( ) 2 6 2     2      32= 4° y finalmente : 3 x 2 18 x 32 3 x 3( ) 2 3 3( ) 2 32= = 3 x 3( ) 2 5 Si ahora comparamos esta ecuación con la función básica g x( ) 3 x 2= , concluimos que la gráfica de f x( ) 3 x 3( ) 2 5= es idéntica a la gráfica de la parábola g x( ) excepto que . . . 2 1 0 1 2 3 4 5 6 2 2 4 6 8 10 12 55 3 está desplazada hacia la derecha 3 unidades porque  a 3= . (es decir tiene su eje de simetría en x = 3 ) está desplazada hacia arriba en 5 unidades porque  b 5= ( por lo tanto tiene su vértice en el punto 3 5( ) como el coeficiente líder 3( ) es positivo, se concluye  también que la parábola desplazada se extiende "hacia arriba" y no corta al eje X en ningún punto es decir, no tiene raices reales . la gráfica de f x( ) está "alargada" en la dirección  vertical, debido al valor del coeficiente líder. g Ejemplo 4. Graficar el polinomio de 2º grado : P x( ) 4 x 2 40 x 97= Solución : Reescribamos ésta función cuadrática en la forma : P x( ) a x x0 2 y0= completando el trinomio cuadrado perfecto en la ecuación cuadrática dada : Pedro Ferreira Herrejón 126 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH 1° Factorizando el coeficiente de x 2 : 4 x 2 40 x 97 4 x 2 10 x 97= 2° Sumando y restando el cuadrado de la mitad del coeficiente de x : 4 x 2 40 x 97 4 x 10 x 10 2     2  10 2     2      97= 3° Los primeros tres términos del parénteis recto son el cuadrado perfecto de un binomio . . . 4 x 2 40 x 97 4 x 5( ) 2 5( ) 2  97= 4° y finalmente : 4 x 2 40 x 97 4 x 5( ) 2 4 25( ) 97= = 4 x 5( )[ ] 2 3 Si ahora comparamos esta ecuación con la función básica g x( ) 4 x 2= , concluimos que la gráfica de f x( ) 4 x 5( ) 2 3= es idéntica a la gráfica de la parábola g x( ) excepto que . . . 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 6 4 2 2 4se extiende hacia abajo, porque el  coeficiente líder es negativo: an 4= tiene su eje de simetría en x 5= , la  parábola está desplazada hacia la izquierda porque x0 5= . tiene su vértice en el punto 5 3( ) ,  porque la parábola está desplazada hacia arriba y0 3= . La parábola desplazada corta al eje X en  dos puntos es decir, tiene dos raices reales. Ejemplo 5. Si P x( ) es una función cuadrática y se sabe además que P 0( ) 9= , P 1( ) 0= y P 2( ) 3= , hallar su ecuación . Solución : El problema consiste en determinar los coeficientes a0 , a1 y a2 en la expresión general para un polinomio de grado dos P x( ) a0 a1 x a2 x 2= . Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH