De igual manera, el total de permutaciones para un conjunto de 5 números enteros es : 5( ) 4( ) 3( ) 2( ) 1( ) 120= 5( )= Se puede demostrar p...

De igual manera, el total de permutaciones para un conjunto de 5 números enteros es : 5( ) 4( ) 3( ) 2( ) 1( ) 120= 5( )= Se puede demostrar por inducción , que el total de permutaciones posibles para un conjunto de n objetos es el factorial n( ) de tal número. Se dice también que en una permutación hay una inversión cuando un entero mayor precede a un entero menor y una permutación es par o impar si el número de inversiones en ella es respectivamente par o impar. Para determinar ésto simplemente se cuentan las inversiones de cada elemento en la permutación , por ejemplo en . . . 4 2 1 3( ) el 4 tiene tres inversiones porque 4 3 , 4 2 , 4 1 el 2 tiene una inversión porque 2 1 el 1 tiene cero inversiones porque a la derecha no hay enteros menores que él. total de inversiones: 3 1 0( ) 4= , por lo tanto, ésta permutación es par. 3 4 2 1( ) el 3 tiene dos inversiones porque 3 2 , 3 1 el 4 tiene dos inversiones porque 4 2 , 4 1 el 2 tiene una inversión porque 2 1 total de inversiones: 2 2 1( ) 5= , por lo tanto, ésta permutación es impar. 7.2 Determinantes Definición : Toda matriz cuadrada A tiene asociado un número denotado por A que se llama determinante el cual se calcula como : A = ± k j a1 k1  a2 k2  a3 k3  ................. an kn   donde el simbolo . . significa que se deben sumar estos productos sobre todas las permutaciones posibles del conjunto { k1 , k2 , k3 , . . . , kn } los cuales representan el número de columnas de la matriz A , es decir cada uno de los productos a1 k1  a2 k2  a3 k3  ............ an kn  contiene un solo elemento de cada columna de la matriz A . Se selecciona el signo + ó el signo  si la permutación es par ó impar respectivamente. Observemos la suma está formada por términos que son el producto de las componentes aij de la matriz A ; pero que cada uno de ellos tiene un solo elemento de cada columna y de cada renglón es decir, una vez que se escoge una factor aij para el producto, ya no se puede escoger otro componente que esté en el renglón i ó en la columna j. De acuerdo con ésta definición, en el determinante de una matriz [2 2 ] , dado que sólo hay dos columnas , las posibles permutaciones de los números 1 y 2 son : 1 2( ) que es par y 2 1( ) que es impar por lo tanto los únicos productos permitidos para formar el determinante de la matriz : A a11 a21 a12 a22       = son a11 a22 y a12 a21 , éste último producto es negativo porque la permutación de sus segundos índices es impar. De éste modo el determinante es . . . A a11 a21 a12 a22       = = ± k j a1 k1  a2 k2   = a11 a22 a12 a21 Ejemplo 1. Calcular los determinantes de las matrices : A 4 3 2 1     = , B 1 5 0 0     = y C 1 2 3 4  2 3 5 2           = Solución : De la expresión general para el determinante de una matriz [ 2 2 ] : A a11 a21 a12 a22       = a11 a22 a12 a21= queda : A 4 3 2 1     = = 4( ) 1( ) 3( ) 2( ) 2 B 1 5 0 0     = = 1( ) 0( ) 5( ) 0( ) 0 C 1 2 3 4  2 3 5 2       