Igualando los coeficientes correspondientes a las mismas potencias de x se obtiene el sistema de ecuaciones : Coeficientes de x 3 : 3 3 A 2 C= (I) Coeficientes de x 2 : 3 3 B 2 A 2 D 4 C= (II) Coeficientes de x 1 : 5 2 B 2 A 4 D C= (III) Coeficientes de x 0 : 0 2 B D= (IV) La solución de éste sistema de ecuaciones conduce a los valores de los coeficientes buscados. Empleando por ejemplo los métodos elementales : suma resta, substitución e igualación queda : A 1= , B 1= , C 3= y D 2= y la expansión en fracciones parciales para G x( ) es : 3 x 3 3 x 2 5 x 2 x 2 4 x 1  3 x 2 2 x 2  1 x 2 x 2 4 x 1  2 3 x 3 x 2 2 x 2  = 4.4.6 Caso IV : Factores cuadráticos repetidos . Solución por igualación. Si algunos factores cuadráticos irreducibles aparecen repetidos en el denominador de una función racional, el método más sencillo para desarrollar ésta función en una suma de fracciones parciales es la igualación de los coeficientes de iguales potencias de x en la ecuación básica . Ejemplo 12. Desarrollar en fracciones parciales : f x( ) x 5 2 x 4 5 x 3 4 x 2 8 x 8 x 2 x 3 3 = Solución : f x( ) es una función racional propia y tiene un factor cuadrático de orden 3 en el denominador, el cual no es irreducible en los reales, dado que se puede factorizar como : . . . x 2 x 3 x 1 13 2     x 1 13 2     = sin embargo, por ser éstas raices irracionales y por sencillez para el desarrollo del cálculo, es conveniente considerarlos como cuadráticos, por lo cual se propone que : Pedro Ferreira Herrejón 228 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH f x( ) A x B x 2 x 3 C x D x 2 x 3 2  E x F x 2 x 3 3 = sumando las fracciones en el miembro derecho e igualando los numeradores de ambos miembros se obtiene la ecuación básica : x 5 2 x 4 5 x 3 4 x 2 8 x 8 = = A x 5 2 A B( ) x 4 5 A 2 B C( ) x 3 6 A 5 B C D( ) x 2 9 A 6 B C D E( ) x 9 B 3 D F( )  Igualando los coeficientes correspondientes a las mismas potencias de x se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales simultáneas: Coeficientes de x 5 : 1 A= (I) Coeficientes de x 4 : 2 2 A B= (II) Coeficientes de x 3 : 5 5 A 2 B C= (III) Coeficientes de x 2 : 4 6 A 5 B C D= (IV) Coeficientes de x 1 : 8 9 A 6 B C D E= (III) Coeficientes de x 2 : 8 9 B 3 D F= (IV) cuya solución por substitución es. . . 1 A= A 1= 2 2 A B= 2 1( ) B 2= B 0= 5 5 A 2 B C=  5 1( ) 2 0( ) C 5= C 0= 4 6 A 5 B C D=  6 1( ) 5 0( ) 0( ) D 4= D 2= 8 9 A 6 B C D E= 9 1( ) 6 0( ) 0( ) 2( ) E 8= E 3= 8 9 B 3 D F=  9 0( ) 3 2( ) F 8= F 2= y la expansión en fracciones parciales para G x( ) es : x 5 2 x 4 5 x 3 4 x 2 8 x 8 x 2 x 3 3 1( ) x 0 x 2 x 3  0( ) x 2 x 2 x 3 2  3 x 2( ) x 2 x 3 3 = = x x 2 x 3  2 x 2 x 3 2  3 x 2 x 2 x 3 3  Pedro Ferreira Herrejón 229 Álgebra Superior Facultad de Ingeniería Eléctrica UMSNH Ejemplo 13. Desarrollar en fracciones parciales : g x( ) 6 x 4 11 x 3 18 x 2 14 x 6 x 1( ) x 2 x 1 2  = Solución : g x( ) es una función racional propia y tiene un factor cuadrático irreducible de orden 2 y un facor lineal no repet