La solución de la ecuación lineal : a1 x1 a2 x2 ............ an xn b= es una sucesión de n números : P k1 k2 k3 ................. kn = ...

La solución de la ecuación lineal : a1 x1 a2 x2 ............ an xn b= es una sucesión de n números : P k1 k2 k3 ................. kn = tal que al substituir las variables por éstos valores : x1 k1= , x2 k1= , x1 k1= , . . . . . , x1 k1= , la ecuación se satisface, es decir la suma de los números . . . a1 k1  a2 k2  ............ an kn  es igual efectivamente al número b . La unión de todas las posibles soluciones de una ecuación lineal se llama conjunto solución . El conjunto solución de una ecuación lineal de dos variables : a1 x1 a2 x2 b= se puede interpretar geométricamente como el conjunto de puntos x1 x2  de una línea recta sobre un plano de 2 dimensiones. El conjunto solución de una ecuación lineal de tres variables : a1 x1 a2 x2 a3 x3 b= se interpreta geométricamente como todos los puntos x1 x2 x3  que están sobre un plano en el espacio rectangular de 3 dimensiones, como se ilustra en las siguientes figuras : x3 x2 P P x1 O O x2 x1 La ecuación de una linea recta en el plano x1 , x2 tiene la forma general : a1 x1 a2 x2 b= ( una ecuación lineal en dos variables ) , cuyo conjunto solución está formado por todos los puntos P = (x1 , x2 ) del plano que están sobre la recta La ecuación de un plano infinito en el espacio tridimensional tiene la forma general : a1 x1 a2 x2 a3 x3 b= ( una ecuación lineal en tres variables ) , cuyo conjunto solución está formado por todos los puntos P = (x1 , x2 , x3 ) del espacio que están sobre el plano Por analogía con los casos anteriores de 2 y 3 dimensiones, se induce ahora que el conjunto solución de una ecuación lineal de n variables debe ser el conjunto de puntos sobre una superficie plana en el hiperespacio de n dimensiones . La solución de una ecuación lineal se clasifica en general, en uno de los siguientes tres casos : Caso I : Al menos uno de los coeficientes ak de la ecuación lineal a1 x1 a2 x2 ............ an xn b= es distinto de cero . En éste caso se resuelve la ecuación para la variable correspondiente a tal coeficiente, por ejemplo si a1 0 , entonces : x1 1 a1 b a2 x2 a3 x3 .......... an xn = (5.2 ) Se asignan ahora valores (ó parámetros) numéricos arbitrarios al resto de las variables, digamos . . . x2 c2= , x3 c3= , x4 c4= , . . . , xn cn= y se calcula mediante la ecuación 5.2 el valor de x1 . Se habrá obtenido asi una solución numérica particular : P c1 c2 ......... cn = ( o una solución paramétrica general) para la ecuación lineal . Caso II : Todos los coeficientes ak de la ecuación lineal son cero , excepto el término constante b : 0( ) x1 0( ) x2 ............ 0( ) xn b= en éste caso, la ecuación no tiene solución , ( se dice que es inconsistente ) , pues establece una contradicción :. 0 b= ( 5.3 ) siendo b 0 Caso III : Todos los coeficientes ak de la ecuación lineal son cero y también el término constante b : 0( ) x1 0( ) x2 ............ 0( ) xn 0= en éste caso, cualquier n-ada de números k1 k2 ........ kn  satisface la condición :. 0 0= ( 5.4 ) y se dice que la ecuación tiene un número infinito de soluciones . Ejemplo 1. Hallar el conjunto solución de las ecuaciones lineales : a) 4 x 2 y 1= b) x1 4 x2 7 x3 5= Solución : a) Es posible resolver la ecuación para la variable y (dado que su coeficiente es distinto de cero) y luego asignar un valor paramétrico arbitrario a la variable x . Ó se puede también despejar x y elegir un valor paramétrico arbitrario para la variable y . Despejando y queda. . . y 1 2 1 4 x( )= Asignando a x el valor paramétrico x t= resulta. . . y 1 2 1 4 t( )= En términos del parámetro t , el conjunto solución de la ecuación lineal es : P t 2 t 1 2     de la cual es posible obtener soluciones numéricas particulares al substituir el parámetro t por valores numéricos específicos, por ejemplo : con t 1= resulta . . . P 1 2 1 2         es decir . . . x 1= , y 3 2 = con t 2= resulta . . . P 2 4 1 2         es decir . . . x 2= , y 9 2 = con t 1 4 = resulta . . . P 1 4 2 4 1 2         es decir . . . x 1 4 = , y 0= etc. Despejando en cambio x queda. . . x 1 4 1 2 x( )= Asignando a y el valor paramétrico y s= resulta. . . x 1 4 1 2 s( )= En términos de s , el conjunto solución de la ecuación lineal es : P 1 4 s 2   s  de la cual es posible obtener las mismas soluciones numéricas particulares que con la otra parametrización. Por ejemplo . . . con s 3 2 = resulta . . . P 1 4 1 2 3 2     3 2     es decir : x 1= , y 3 2 = con s 9 2 = resulta . . . P 1 4 1 2 9 2     9 2     es decir: x 2= , y