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2 parciales Prácticos 2 parciales Teóricos 1 recuperatorio Para regularizar se deben aprobar los dos parciales prácticos Para promocionar aprobar los dos parciales prácticos y teóricos Matemática I Clases • Lunes de 14 a 17hs práctica profesores J. Manzur y E. Zamudio • Martes 18hs consulta prof. E. Zamudio • Miércoles 8hs Teoría Prof. Marta Rivero LOGICA PROPOSICIONAL La lógica es la disciplina que estudia los métodos de formalización del conocimiento humano. En lógica se estudian, por tanto, métodos de formalización de frases declarativas. Para ello existen dos niveles de abstracción según el grado de detalle que se quiera formalizar: Lógica proposicional y Lógica de predicados. La lógica proposicional o lógica de enunciados toma como elemento básico las frases declarativas simples o proposiciones que son aquellos elementos de una frase que constituyen por si solos unidad de comunicación de conocimientos y pueden ser considerados verdaderos o falsos. La lógica de predicados estudia las frases declarativas con mayor grado de detalle, considerando la estructura interna de las proposiciones . Se tomarán como elemento básico los objetos y las relaciones entre dichos objetos. Proposición • Es un enunciado al cual se le puede asociar el concepto de verdadero o falso, pero no ambos. Es una oración declarativa Ejemplos: • La luna es cuadrada • 7 es un número primo • Las arañas son mamíferos ¿Son proposiciones? • ¿Qué hora es? • Por favor, cierre la puerta • El 6 de abril de 1876 fue sábado Lógica Proposicional • Conocido el valor de verdad de ciertas proposiciones, la lógica establece el valor de verdad de otras relacionadas con éstas. • A éstas últimas se les conoce como proposiciones compuestas Los enunciados se denotaran por letras p ,q, r La regla fundamental de la Lógica es: La ley del Medio excluido ¨Toda proposición debe ser verdadera o Falsa, pero no puede ser ambas cosas, ni puede ser ninguna de las dos cosas Lógica Proposicional Lógica Proposicional • Si las proposiciones p, q, r se combinan para formar la proposición z, diremos que z es una proposición compuesta • En un enunciado compuesto su valor de verdad depende del valor de verdad de los enunciados ¨Él es inteligente o estudia todos los días¨ es una proposición compuesta por dos proposiciones : ¨Él es inteligente ¨y ¨él estudia todos los días¨ Tabla de Verdad La tabla de verdad de una proposición compuesta P enumera todas las posibles combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones p,q r….t Ejemplo : si Q es una proposición compuesta por las proposiciones simples p, q y r entonces la tabla de verdad de P deberá recoger los siguientes valores de verdad p q r V V V V V F V F V V F F F V V F V F F F V F F F 822 3n Conexión entre proposiciones: Conjunción • Para construir la tabla de p q, debemos considerar las diferentes alternativas de valores de verdad para p y para q: • ¿Cuáles son ? Ambas verdaderas una V y la otra F p q p q V V V V F F F V F F F F ambas falsas Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos conjunción de ambas a la proposición compuesta ¨p¨ y ¨q¨. Esta proposición será verdadera únicamente en el caso de que ambas proposiciones lo sean. La notación qp Conjunción • Ejemplos: p: Hoy es Lunes q: La luna es cuadrada r: mañana es martes p q :Hoy es lunes y la luna es cuadrada p r :Hoy es lunes y mañana es martes • Si p y q son proposiciones, se llama conjunción de p y q a la proposición compuesta “p y q “ y se denota por: p q Conjunción Se toman como “sinónimos” de la conjunción: • Además • Pero • Sin embargo • Aunque • También • Aún • A la vez • No obstante Conjunción: p ^ q • Luís estudia ,además de trabajar • Luís estudió pero no aprobó • Luís canta, sin embargo no baila • Luís jugó al futbol aunque estaba lesionado • Luís juega al futbol , también José • Luís salió, aún no llega • Luís cocina a la vez que canta • Luís viajará no obstante esté sin visa • Luís canta , no baila. Conexión entre proposiciones: Disyunción Ejemplo: sea p ¨estudio inglés en la facultad¨ o el vivió en ËEUU Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q , llamaremos disyunción de ambas a la proposición compuesta ¨p o q¨ y la denotaremos p v q. Esta proposición es verdadera si al menos una de las dos p ó q lo es La palabra ó¨ se usa en el lenguaje ordinario de dos formas distintas . A veces se utiliza en el sentido de ̈ p o q¨, o ambos¨, es decir, al menos una de las dos alternativas ocurre y , a veces es usada en el sentido de ¨p o q, pero no ambos¨ es decir, ocurre exactamente una de las dos alternativas. Conexión entre proposiciones: Disyunción exclusiva o Diferencia simétrica Ejemplo: Juan fue a estudiar o a jugar al futbol Dadas dos proposiciones cualesquiera p y q, llamaremos disyunción exclusiva de ambas a la proposición compuesta ̈ p ó q pero no ambas¨. Esta proposición será verdadero si uno u otro, pero no ambas son verdaderas. La notaremos qp Conexión entre proposiciones: Negación • Dado un enunciado p se puede formar otro enunciado, que se llama negación de p, escribiendo es ¨es falso que..¨ antes de p, o cuando es posible, insertando la palabra ̈ no¨. • Dada una proposición cualquiera ,p; llamaremos ̈ negación de p¨ a la proposición ¨no p¨. Será verdadera cuando p sea falsa y falsa cuando p sea verdadera. La notación es p p1: Octave es un software libre p2: es falso que Octave es un software libre P3 . Octave no es un software libre Negación • Esto lo podemos escribir de una manera “compacta”, utilizando una tabla • A esta tabla se le llama “tabla de certeza de la negación” p ~ p V F F V Posibilidades para la proposición p Negación Como sinónimos de no, se utilizan las siguientes expresiones: • No es cierto que …….. • No es el caso que……… • Es falso que………… • No sucede que……………. Conexión entre proposiciones: condicional Dadas dos proposiciones p y q, a la proposición compuesta ¨si p, entonces q¨ se llama ¨proposicional condicional¨ A la proposición ¨p¨ se llama hipótesis, antecedente, premisa o condición suficiente y a la ¨q¨ tesis, consecuente, conclusión o condición necesaria del condicional. Una proposición condicional es falsa únicamente cuando siendo verdad la hipótesis, la conclusión es falsa. Se notara qp Condicional • Ejemplos: • Si no llueve (entonces) iremos a la playa • Si me gano la lotería (entonces) me voy de viaje • Si no estudio (entonces) no aprobaré Lógica Formas derivadas del condicional • Dado el condicional directo: p q, el condicional ~ q ~p se llama contrarrecíproco y lo expresaríamos: “ si no q, entonces no p” Algunas expresiones del lenguaje que indican la presencia de un condicional (p → q), son las siguientes: p es condición suficiente para ¨q Si p, q Q si p Que p supone que q Cuando p, q q es condición necesaria para p En caso de que p entonces q q sólo si p El condicional es muy importante en matemáticas, porque los Teoremas se expresan en forma condicional. Un Teorema será un condicional verdadero con hipótesis verdadera p q p q V V V Condicional p q p q V V V V F F F V V F F V • Veamos la tabla del condicional: p q • El condicional es falso, sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso; es decir, cuando la “promesa” no se cumple
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