Radiación de Cuerpo Negro y sus Modelos Experimentales

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Formación para la Investigación 
Escuela de Física, Facultad de Ciencias 
Universidad Industrial de Santander 
Construimos Futuro 
 
RADIACIÓN DE CUERPO NEGRO Y SUS MODELOS 
EXPERIMENTALES 
 
Resumen 
El proyecto se enfoca en corroborar las relaciones experimentales de Wien y Stefan-
Boltzmann mediante la determinación de sus constantes. En la primera parte, para 
deducir la ley de desplazamiento de Wien será necesario obtener las longitudes de 
onda a las que ocurre el máximo de radiación de los espectros a diferentes 
temperaturas, y en la segunda parte se determinará la constante de Stefan-Boltzmann 
midiendo el área bajo la curva de los espectros a diferentes temperaturas. 
 
Planteamiento del problema 
Este proyecto de investigación es una parte importante de los temas finales del curso 
de Física III, porque sirve como introducción a la física moderna, partiendo del 
problema de la radiación emitida por cuerpos calientes. En este proyecto de 
investigación se usarán los simuladores SpectraPlot y Phet para obtener diferentes 
espectros de radiación en función de la longitud de onda. Luego se analizarán estos 
espectros desde la longitud de onda del máximo y el área bajo la curva, según los 
cambios producidos en ellos por la temperatura a la que se encuentra el cuerpo negro. 
Corroborando así las leyes de desplazamiento de Wien y de Stefan-Boltzmann. Luego 
en función de los resultados, el estudiante debe cuestionarse ¿a que llamaron la 
catástrofe del ultravioleta? ¿Qué método será el adecuado para ajustar los resultados 
experimentales que no son lineales? ¿Cómo obtener las constantes de Wien y de 
Stefan-Boltzmann? ¿Qué otros análisis diferentes a los planteados en este proyecto 
se les puede realizar a los espectros de radiación? 
 
Objetivo general 
Analizar curvas de radiancia espectral o densidad de potencia de diferentes cuerpos 
negros, a partir de los modelos experimentales de Wien y Stefan-Boltzmann. 
 
Objetivos específicos 
 Obtener curvas de radiancia espectral o densidad de potencia de cuerpos negros 
a diferentes temperaturas en función de la longitud de onda. 
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https://phet.colorado.edu/es/simulation/blackbody-spectrum
 
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 Comprobar la ley de desplazamiento de Wien a partir de las curvas de radiancia 
espectral o densidad de potencia. 
 Determinar la constante de Stefan-Boltzmann, de las curvas de radiancia espectral 
o densidad de potencia. 
 
Marco teórico 
La energía de una onda electromagnética se describe a través del vector de Poynting. 
A su vez, la intensidad de la onda electromagnética es proporcional a la amplitud de 
oscilación. Lo anterior es la descripción clásica que tenían los investigadores antes 
de 1900 para describir la radiación de cuerpo negro. Basados entonces en la 
descripción clásica J. W. Rayleigh y J. H. Jeans plantearon: 
i) El cuerpo negro y la radiación que este emite deben estar en equilibrio 
termodinámico. 
ii) Al aumentar la temperatura del cuerpo negro, sus electrones comienzan 
a oscilar alrededor de la posición de equilibrio y a emitir ondas 
electromagnéticas con frecuencia igual que su oscilación. 
iii) Según el teorema de equipartición, la energía promedio de los 
osciladores 𝜖 ̅que están en equilibrio térmico dentro del cuerpo negro es 
proporcional a la temperatura 𝑇. 
𝜖̅ = 𝐾𝐵𝑇 (1) 
Siendo 𝐾𝐵 = 1.38 ∗ 10
−23 [𝐽𝐾−1] la constante de Boltzmann. 
Luego de un riguroso análisis fisicomatemático Rayleigh-Jeans Encontraron que la 
radiancia espectral en función de la longitud de onda 𝜆, es como se muestra en la 
ecuación (2), siendo 𝑐 la velocidad de la luz. 
𝐿𝑒 =
2𝑐
𝜆4
 �̅� =
2𝑐
𝜆4
𝐾𝐵𝑇 (2) 
El modelo presentado en la ecuación (2) resulto en un problema para longitudes de 
onda bajas, a partir del ultravioleta. Se le conoció como la catástrofe del ultravioleta, 
ya que las predicciones teóricas no se ajustaban a los resultados experimentales. 
Finalmente en el año 1900 Max Planck solucionó el problema que se presentaba entre 
la teoría y los resultados experimentales para la radiación del cuerpo negro, 
introduciendo dos postulados: 
i) La energía de un oscilador 𝜖 debe ser un múltiplo entero de una mínima 
cantidad de energía 𝜖0. 
 
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ii) Cada oscilador tiene una energía mínima 𝜖0 proporcional a la frecuencia 𝑓 
de la radiación que emite o absorbe, 𝜖0 = ℎ𝑓 =
ℎ𝑐
𝜆
, ℎ = 6.63𝑥10−34 [𝐽𝑠] es 
conocida como la constante de Planck. 
A partir de los dos postulados Planck obtiene una energía promedio 𝜖 ̅ como se 
muestra en la ecuación (3). 
𝜖̅ =
𝜖0
𝑒𝜖0/𝐾𝐵𝑇−1
 (3) 
Por lo tanto, en la ecuación (4) se presenta la radiancia espectral en términos de la 
longitud de onda. 
𝐿𝑒 =
2𝑐
𝜆4
𝜖̅ =
2ℎ𝑐2
𝜆5
1
𝑒
ℎ𝑐
𝐾𝐵𝑇𝜆−1
 (4) 
Con el modelo planteado por Planck se puede deducir la ley de desplazamiento de 
Wien, al igual que puede ser deducida de las curvas experimentales de radiancia 
espectral. Debido a que un aumento en la temperatura 𝑇 produce una disminución de 
la longitud de onda 𝜆𝑚𝑎𝑥 a la que ocurre el máximo de radiancia espectral (ver figura 
1), como se muestra en la ecuación (5). 
𝜆𝑚𝑎𝑥𝑇 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (5) 
Siendo la 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 2.898𝑥10−3 [𝑚𝐾]. 
 
Figura 1. Densidad de potencia de un cuerpo negro a diferentes temperaturas. 
 
 
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Por otra parte, antes del descubrimiento de Planck, en 1878 J. Stefan y L.E. 
Boltzmann, a partir de resultados experimentales del espectro de radiación de cuerpo 
negro, establecieron la ecuación (6) para calcular la potencial total 𝑃 radiada por un 
cuerpo negro que se encuentra a una temperatura 𝑇, por unidad de área 𝐴. 
𝑅 =
𝑃
𝐴
= 𝜎𝑇4 (6) 
Siendo 𝜎 = 5.67𝑥10−8 [
𝑊
𝑚2𝐾4
] la constante de Stefan-Boltzmann y 𝑅 la radiancia, en 
ocasiones llamada intensidad, área bajo la curva de la radiancia espectral o densidad 
de potencia. 
 
Metodología 
El proyecto de investigación titulado “Radiación de cuerpo negro y sus modelos 
experimentales” está dividido en cuatro fases metodológicas. Para cumplir con los 
objetivos propuestos se tiene a disposición dos simuladores: SpectraPlot y Phet para 
la radiación de cuerpo negro. 
Es importante resaltar que a criterio del docente se podrá usar cualquiera de los dos 
simuladores teniendo en cuenta: 
a) Con el simulador SpectraPlot se obtiene la radiancia espectral y su área 
bajo la curva llamada radiancia. 
b) Con el simulador Phet se obtiene la densidad de potencia espectral y su 
área bajo la curva llamada flujo radiante o intensidad. 
c) Los simuladores difieren en las unidades en que ofrecen los datos aunque 
las cantidades físicas radiancia espectral y densidad de potencia espectral 
tienen la misma connotación, al igual que la radiancia y el flujo radiante o 
intensidad. 
En la fase 1 se medirá la radiancia espectral o densidad de potencia de cuerpos 
negros a diferentes temperaturas. Durante la fase 2 se medirán las longitudes de onda 
a las que ocurre el máximo de radiancia espectral o densidad de potencia, para los 
diferentes cuerpos. A continuación, en la fase 3 se medirá la radiancia (área bajo la 
curva de la radiancia espectral) o flujo radiante (intensidad; área bajo la curva de la 
densidad de potencia) para cada uno de los espectros medidos en durante la fase 1. 
Finalmente, durante la fase 4 se realizará el reporte de la investigación donde se debe 
evidenciar el cumplimiento de las leyes de desplazamiento de Wien y de Stefan-
Boltzmann. 
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https://phet.colorado.edu/es/simulation/blackbody-spectrumhttp://www.spectraplot.com/blackbody
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Fase 1. Medición de la radiancia espectral o densidad de potencia con simuladores. 
Haciendo uso de los simuladores SpectraPlot o Phet (ver figura 2). Se obtendrán las 
curvas de radiancia espectral a diferentes temperaturas. 
 
 
 (a) (b) 
Figura 2. Simuladores de espectros de cuerpo negro (a) SpectraPlot y (b) Phet. 
 
El simulador SpectraPlot permite descargar un archivo de extensión “.csv” con los 
datos de radiancia espectral y longitud de onda, presionando el botón 
, esto en caso que el usuario quiera representar el espectro, o 
analizar los datos en otra herramienta software. En el panel de opciones (ver figura 
3) el estudiante puede modificar los parámetros de temperatura en Kelvin, emisividad, 
longitudes de onda inicial y final en micrómetros o frecuencias final e inicial en 
centímetros a la menos uno. Luego de seleccionar los parámetros el estudiante 
procederá a presionar el botón para obtener el espectro de 
radiancia. Se recomienda mantener la emisividad 𝜀 = 1 y seleccionar una longitud de 
onda final 𝜆𝑒𝑛𝑑 teniendo en cuenta la temperatura seleccionada, es decir, para 
temperaturas muy bajas (300 ºK) ingresar 𝜆𝑒𝑛𝑑 hasta 40 𝜇𝑚 y para temperaturas muy 
altas (11000 ºK) ingresar 𝜆𝑒𝑛𝑑 hasta 1 𝜇𝑚. El simulador también cuenta con botones 
para borrar los espectros ya graficados , ayuda 
 y guardar gráfico en archivo imagen con extensión “.png” 
. 
 
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Figura 3. Panel de opciones para ingresar parámetros del cuerpo negro. 
 
En un gráfico (ver figura 2a) se representarán los datos de radiancia espectral en el 
eje vertical con unidad de potencia sobre: ángulo sólido, nanómetro y metro cuadrado 
[
𝑊
𝑠𝑟∗𝑛𝑚∗𝑚2
]. La longitud de onda se representa en la parte baja de la gráfica (eje 
horizontal) en micrómetros 𝜇𝑚 y la frecuencia en la parte alta de la gráfica (eje 
horizontal) en centímetros a la menos uno 𝑐𝑚−1. En el mismo gráfico se pueden 
construir hasta cuatro curvas de radiancia espectral. 
Con el simulador Phet el estudiante puede obtener curvas de densidad de potencia 
espectral variando la temperatura desde 200 ºK hasta 11000 ºK con intervalo 
de temperatura de 50 ºK. Además, el simulador cuenta con opciones: 
i) Mostrar en la curva los valores de coordenadas (longitud de onda, densidad de 
potencia) seleccionando . A continuación, presionando el 
botón derecho del ratón sobre el punto y desplazando el cursor es 
posible recorrer las coordenadas. 
ii) Presentar etiquetas con nombres de los rangos del espectro electromagnético 
. 
iii) Determinar el área bajo la curva de la curva de densidad de potencia espectral 
. 
iv) Tomar captura de hasta tres curvas de densidad de potencia espectral. 
v) Borrar las curvas de densidad de potencia espectral capturadas. 
vi) Disminuir o aumentar la escala de los ejes vertical y horizontal. En 
cada eje hay un par de estos botones. 
Fase 2. Medida de los máximos de radiancia espectral o densidad de potencia 
espectral y sus longitudes de onda. Una vez obtenida la curva en el simulador 
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SpectraPlot se debe mover el puntero sobre la curva, allí aparece un cursor de color 
negro, en la parte inferior derecha de la curva se muestra la coordenada longitud de 
onda en [𝜇𝑚] y en la parte superior derecha la coordenada radiancia espectral en 
[
𝑊
𝑠𝑟∗𝑛𝑚∗𝑚2
] (ver figura 4). Las coordenadas del máximo de la curva junto con la 
temperatura se deben consignar en la tabla 1. 
 
 
Figura 4. Curva de radiancia espectral obtenida con el simulador SpectraPlot. 
 
Por otra parte, en el simulador Phet luego de seleccionar la temperatura y obtener el 
espectro, con la opción i) explicada en la fase 1. El estudiante 
obtendrá las coordenadas: longitud de onda y densidad de potencia, estos datos se 
pueden consignar en la tabla 1. 
Con cualquiera de los dos simuladores (o ambos a criterio del docente) se deben 
registrar datos con 6 valores diferentes de temperatura. 
Fase 3. Obtención de la radiancia o flujo radiante. El área bajo la curva de la radiancia 
espectral (radiancia), se encuentra en la parte superior derecha de la gráfica del el 
simulador SpectraPlot (ver en la figura 4), su unidad es [
𝑘𝑊
𝑠𝑟∗𝑚2
]. 
Y en el simulador phet marcando la opción iii) aparecerá justo debajo 
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del recuadro anterior el valor de intensidad o flujo radiante en 
𝑊
𝑚2
. Estos datos se 
deben registrar en la tabla 2 para 6 temperaturas diferentes. 
Fase 4. Comprobación de las leyes de desplazamiento de Wien y Stefan-Boltzmann. 
Con los datos de la tabla 1 se realizará un curva de 𝜆𝑚𝑎𝑥
−1 contra 𝑇 la cual se debe 
ajustar con una regresión lineal para encontrar la constante de la ley de 
desplazamiento de Wien. Luego, haciendo una regresión lineal de 𝑅 o 𝐼 contra 𝑇4 (ver 
tabla 2) se puede encontrar la constante de Stefan-Boltzmann y corroborar el 
cumplimento de su ley. Las relaciones entre las cantidades físicas presentes en las 
leyes de desplazamiento de Wien y de Stefan-Boltzmann no son directamente lineales 
y las curvas sugeridas en esta fase no son necesariamente los únicos ajustes para 
obtener las constantes de ambas leyes. Así que, estudiante o profesor pueden sugerir 
otros tipos de ajustes a las curvas para obtener las constantes. 
 
Resultados Esperados 
Se espera que los estudiantes analicen los espectros de cuerpos negros a diferentes 
temperaturas y a partir de ellos corroboren las leyes experimentales de 
desplazamiento de Wien y de Stefan-Boltzmann. Además, es pertinente para el 
entendimiento de este proyecto cuestionarse sobre ¿Cómo cambia la longitud de 
onda del máximo de radiancia espectral o densidad de potencia al aumentar o 
disminuir la temperatura del cuerpo negro? ¿Qué ocurre con el máximo de radiancia 
espectral o densidad de potencia cuando la temperatura del cuerpo negro aumenta? 
Las constantes de las leyes experimentales ¿se pueden deducir a partir de la ley de 
Planck para la radiación de un cuerpo negro? 
 
Bibliografía 
 Garcia Castañeda M., (2003). Introducción a la física moderna (3r ed., pp. 43–47), 
Bogotá, Colombia, Universidad Nacional de Colombia UNILIBROS. 
 Serway, R. A., Jewett, J. W (2010). Física para ciencias e ingeniería. Ed. 8, 
Brooks/Cole, 20 Davis Drive, Belmont CA 94002-3098, USA. 
 Rayleigh-Jeans Law (Wikipedia), 
https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh%E2%80%93Jeans_law#:~:text=In%201900%2C%20the%20British%2
0physicist,physical%20arguments%20and%20empirical%20facts.&text=The%20law%20predicted%20an%2
0energy,as%20frequency%20tends%20to%20infinity). (Recuperada: Junio 8 de 2020). 
 Radiancia (Wikipedia), https://en.wikipedia.org/wiki/Radiance (Recuperada: Junio 8 de 
2020). 
 
https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh%E2%80%93Jeans_law#:~:text=In%201900%2C%20the%20British%20physicist,physical%20arguments%20and%20empirical%20facts.&text=The%20law%20predicted%20an%20energy,as%20frequency%20tends%20to%20infinity).https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh%E2%80%93Jeans_law#:~:text=In%201900%2C%20the%20British%20physicist,physical%20arguments%20and%20empirical%20facts.&text=The%20law%20predicted%20an%20energy,as%20frequency%20tends%20to%20infinity).
https://en.wikipedia.org/wiki/Rayleigh%E2%80%93Jeans_law#:~:text=In%201900%2C%20the%20British%20physicist,physical%20arguments%20and%20empirical%20facts.&text=The%20law%20predicted%20an%20energy,as%20frequency%20tends%20to%20infinity).
https://en.wikipedia.org/wiki/Radiance
 
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Este material fue desarrollado por: Ana M. Forero Pinto, Daniel A. Triana Camacho, Karen L. Cristiano Rodríguez, 
Melba J. Sánchez Soledad, Yuber A. Galeano; con el apoyo de: David A. Miranda Mercado, Jorge H. Quintero 
Orozco, Raúl F. Valdivieso Bohorquez, Rogelio Ospina Ospina; las autoriades académicas: Hernán Porras Díaz 
(Rector), Orlando Pardo Martínez (Vicerrector Académico), Jose David Sanabria Gómez (Decano de la Facultad 
de Ciencias) y Jorge Humberto Martínez Téllez (Director de la Escuela de Física). Un agradecimiento especial a 
la Universidad Industrial de Santander. 
Junio 10 de 2020.