Serie1_Cuánti

Vista previa del material en texto

Facultad de Ingeniería Física Cuántica
______________________________________________________________________________________________________________
Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ingeniería
Física Cuántica
Grupo: 01 - Semestre: 2023-2
Serie 1
Fecha de entrega: 21/03/2023
Profesor:
Mtro. Salvador Enrique Villalobos Pérez
Brigada 10:
Cruz Rangel Leonardo Said
García Zúñiga Luis Justo
Ríos Núñez Huberto
Téllez González Jorge Luis
1. Radiación de un cuerpo negro (Ley de desplazamiento de Wien)
Objetivo: Obtener la información necesaria que permita elaborar un modelo matemático
con el fin de:
1. Comprobar la Ley de desplazamiento de Wien.
2. Determinar y comparar la constante asociada con dicho modelo teórico.
Actividades:
1. Efectuar las lecturas necesarias que le permitan completar los datos de la siguiente tabla:
Figura 1. Temperatura vs Longitud de onda en el simulador PhET. 
	T[K] 
	 [] 
	3
	0.966
	3.5
	0.828
	4
	0.724
	4.5
	0.644
	5
	0.58
	5.5
	0.527
	6
	0.483
Tabla 1. Tabla con los valores calculados de longitud de onda por temperatura.
2. Con base en la información consignada en el apartado anterior construya, con ayuda de EXCEL, una gráfica que le permita predecir el comportamiento de las variables indicadas.
Figura 2. Gráfica en Excel con la ecuación de comportamiento.
3. Elija el tipo de dispersión adecuada que le permita conocer el modelo matemático para las variables de interés en el sistema internacional de unidades.
Para obtener el modelo anterior se elige una dispersión potencial y se presenta la ecuación en el gráfico:
Figura 3. Elección de línea de tendencia.
4. A partir de la actividad anterior identifique la constante asociada con la Ley de desplazamiento de Wien en el modelo matemático obtenido y compárela con el valor esperado citado en la literatura.
El modelo obtenido corresponde a la ecuación experimental de:
	En este caso particular, se busca obtener el valor de K, que corresponde a la constante de desplazamiento de Wien la cual tiene un valor teórico de . Para nuestro modelo experimental en el simulador se obtuvo un valor de . Con lo anterior, se calcula el porcentaje de error experimental:
 (100) = 0.07591%
5. Elabore conclusiones a partir del cumplimiento de los objetivos planteados para estas actividades calculando la exactitud o el error de exactitud asociado con el experimento simulado.
Por medio de la actividad realizada se ha podido comprobar experimentalmente que el pico de emisión de la radiación térmica de un cuerpo negro se desplaza hacia longitud de onda más cortas conforme aumenta su temperatura. A partir de los resultados obtenidos se obtuvo un modelo satisfactorio con un porcentaje de desviación de 0.07591% con respecto al valor teórico, por lo que es posible afirmar que este es válido y acorde al comportamiento del fenómeno estudiado. 
Referencias
Soto, R., Lopéz, E., Villalobos, S., Ortega, R. (2009). Radiación de cuerpo negro. Naturalis, No. 13.
PhET. Simulaciones interactivas PhET. Recuperado de: https://phet.colorado.edu/sims/html/blackbody-spectrum/latest/blackbody-spectrum_es_PE.html
2. Radiación de un cuerpo negro (Ley de Stefan-Boltzmann)
Objetivo: Obtener la información necesaria que le permita elaborar un modelo matemático
con el fin de:
1. Comprobar la Ley de Stefan-Boltzmann.
2. Determinar y comparar la constante asociada con dicho modelo teórico.
Actividades:
1. Efectuar las lecturas necesarias que le permitan completar los datos de la siguiente tabla:
Figura 4. Obteniendo irradiancia a partir de las mediciones del ejercicio anterior.
	T[K] 
	 [] 
	3
	4.59
	3.5
	8.51
	4
	14.5
	4.5
	23.3
	5
	35.4
	5.5
	51.9
	6
	73.5
Tabla 2. Tabla con los valores calculados de longitud de onda por temperatura.
2. Con base en la información consignada en el apartado anterior construya, con ayuda de EXCEL, una gráfica que le permita predecir el comportamiento de las variables indicadas.
Figura 5. Gráfica en Excel con la ecuación de comportamiento.
3. Elija el tipo de dispersión adecuada que le permita conocer el modelo matemático para las variables de interés en el sistema internacional de unidades.
Para obtener el modelo anterior se elige una dispersión potencial y se presenta la ecuación en el gráfico como el ejercicio anterior.
4. A partir de la actividad anterior identifique la constante asociada con la Ley de desplazamiento de Wien en el modelo matemático obtenido y compárela con el valor esperado citado en la literatura.
El modelo obtenido corresponde a la ecuación experimental de:
	En este caso particular, se busca obtener el valor de , que corresponde a la constante de Stefan-Boltzmann la cual tiene un valor teórico de . Para nuestro modelo experimental en el simulador se obtuvo un valor de = Con lo anterior, se calcula el porcentaje de error experimental:
 (100) = 0.17636%
5. Elabore conclusiones a partir del cumplimiento de los objetivos planteados para estas actividades calculando la exactitud o el error de exactitud asociado con el experimento simulado.
Por medio de la actividad realizada se ha podido comprobar experimentalmente el valor de la constante de Stefan-Boltzmann como constante de proporcionalidad involucrada en la cantidad total de energía radiada por un cuerpo negro en función de su temperatura. A partir de los resultados obtenidos se obtuvo un modelo satisfactorio con un porcentaje de desviación de 0.17636% con respecto al valor teórico. Si bien este valor resulta ligeramente elevado, resulta adecuado para los propósitos del experimento y se puede atribuir a los decimales que despliega Excel en la ecuación de la gráfica.
Referencias
Soto, R., Lopéz, E., Villalobos, S., Ortega, R. (2009). Radiación de cuerpo negro. Naturalis, No. 13.
PhET. Simulaciones interactivas PhET. Recuperado de: https://phet.colorado.edu/sims/html/blackbody-spectrum/latest/blackbody-spectrum_es_PE.html
3. El Efecto Fotoeléctrico
Objetivos:
1. Conocer los parámetros que identifican el estudio del efecto fotoeléctrico.
2. Determinar la constante de Planck, la función de trabajo y la frecuencia umbral del metal seleccionado.
Actividades:
1. Elabore una tabla donde aparezcan los valores de las variables dependiente e
independiente del experimento a simular.
Se escogió el Calcio (Ca):
	V [V]
	W[J]
	f[1/s]
	λ[m]
	-5.3
	8.48
	2
	1.5
	-3.3
	5.28
	1.5
	2
	-2.1
	3.36
	1.2
	2.5
	-1.2
	1.92
	1
	3
	-0.64
	1.024
	0.857143
	3.5
	-0.1
	0.32
	0.75
	4
2. Mediante el uso de Excel, construir una gráfica W vs F (energía contra frecuencia) y el modelo matemático que permita identificar los valores de: la constante de planck, la función de trabajo y la frecuencia umbral en las unidades correspondientes del sistema internacional.
3. Comparar los resultados obtenidos con los disponibles en la red para el material seleccionado y validar la exactitud del experimento simulado.
Resultados obtenidos:
Constante de planck:
Función de trabajo:
Frecuencia Umbral:
4. Elabore sus conclusiones en función de los objetivos planteados.
Se logró simular el experimento del efecto fotoeléctrico para el Calcio, tomando
lecturas y elaborando una tabla con su respectiva gráfica. Donde se obtuvo el
modelo matemático y al compararlo con los valores teóricos se obtuvo un error de
exactitud de 1.18019% de la constante de planck, siendo un valor lo suficientemente
exacto.
Nota: Considere los valores siguientes de constantes C=3x10^8 [m/s] velocidad de la luz y e=-1.6x10^-19 [As] carga del electrón.
Bibliografía.
- Soto, R., Lopéz, E., Villalobos, S., Ortega, R. (febrero 2012). Efecto Fotoeléctrico.
Naturalis, No. 18, 4-7.
- PHET, University of colorado
Filtro - Simulaciones interactivas PhET (colorado.edu)
https://phet.colorado.edu/es_PE/simulations/filter?subjects=physics&type=html,protot
ype
- VaxaSoftware. (s. f.). Recursos educativos de Matemáticas, Física,Química,
Astronomía y Geofísica. Recuperado 18 de septiembre de 2022, de
http://www.vaxasoftware.com/doc_edu/fis.html
4. Difracción de Electrones
Objetivos:
1. Verificar la hipótesis de Broglie.
2. Emplear la constante asociada con dicho modelo con el fin de determinar la masa de
un electrón.
Actividades:
1. Elabore una tabla donde aparezcan los valores de las variables dependiente e independiente del experimento a simular.
Se utilizó la siguiente configuración para el experimento:
Como se puede observar se asignó una separación atómica de 0.6mm con un radio atómico de 0.5mm.
Una vez realizada la configuración se generó el siguiente diagrama de intensidad:
A partir de este diagrama se realizaron las mediciones realizadas en la tabla siguiente:
2. Con base en la información consignada en el apartado anterior construya, con ayuda de EXCEL, una gráfica que le permita predecir el comportamiento de las variables indicadas.
Con estos datos se obtuvo la siguiente gráfica.
3. Elija el tipo de dispersión adecuada que le permita conocer el modelo matemático para las variables de interés en el sistema internacional de unidades.
Para la gráfica se utilizó una línea de tendencia de tipo potencial y se obtuvo su pendiente, dato que usaremos para proponer un modelo matemático que nos permita obtener la masa de un electrón.
4. A partir de las actividad anterior identifique la constante asociada con la longitud de onda de De Broglie en el modelo matemático obtenido y utilicela para determinar el valor de la masa del electrón.
Sustituyendo la masa tenemos que:
Sustituyendo:
Ahora sacando el error porcentual
5. Elabora conclusiones a partir del cumplimiento de los objetivos planteados para estas actividades calculando la exactitud o el error de exactitud asociado con el experimento simulado. 
Utilizando la constante de la masa de un electrón podemos concluir que la hipótesis de De Broglie es correcta ya que la luz puede puede comportarse como una onda ya que esta posee la propiedad de tener dualidad en su onda.
Referencias
Experimento Davisson-Germer. (s. f.). PhET. 
https://phet.colorado.edu/es/simulations/davisson-germer
5. Emplear la Ley de Radiación de Planck para obtener la ley de Wien
La ley de desplazamiento de Wien se obtiene a partir de determinar el máximo de la ley de Planck a partir de su derivada parcial respecto a . Escribiendo la expresión inicial se tiene que:
	Derivando con regla de producto e igualando a 0 se obtiene que:
	Se obtiene un 0 en la ecuación cuando el término en paréntesis también se vuelve 0, esto es:
Entonces, sea , realizamos el siguiente cambio de variable para simplificar la ecuación:
	Para obtener el resultado, es posible utilizar el método de Newton-Raphson para obtener el valor numérico de aproximado dado por la expresión algorítmica:
	Empleando Wolfram-Alpha, se obtiene el siguiente resultado:
	Con este valor, entonces es posible reescribir la expresión anterior como:
Referencias
Tec-Science (2020). Planck’s law and Wien’s displacement law. Consultado el 4 de marzo de 2023 desde: https://www.tec-science.com/thermodynamics/temperature/plancks-law-of-blackbody-radiation/
Tatum, J. (2022). 2.10: Derivation of Wien's and Stefan's Laws. Consultado el 4 de marzo de 2023 desde: https://phys.libretexts.org/Bookshelves/Astronomy__Cosmology/Stellar_Atmospheres_(Tatum)/02%3A_Blackbody_Radiation/2.10%3A_Derivation_of_Wien's_and_Stefan's_Laws
6. Emplear la ley de Radiación de Planck para obtener la ley de Stefan y Boltzmann.
La potencia total radiada por unidad de área a través de todas las longitudes de onda de un cuerpo negro se puede obtener integrando la fórmula de radiación de Planck. Por lo tanto, la potencia radiada por unidad de área en función de la longitud de onda es:
	En donde: 
· P es la potencia radiada.
· A es el área superficial de un cuerpo negro.
· λ es la longitud de onda de la radiación emitida.
· h es la constante de Planck.
· c es la velocidad de la luz.
· k es la constante de Boltzmann.
· T es la temperatura.
Simplificando la ecuación de Stefan-Boltzmann, se obtiene que:
Integrando ambos lados con respecto a λ y aplicando los límites, obtenemos:
(1)
Esto se puede resolver analíticamente sustituyendo:
Por lo tanto:
Como resultado de sustituirlos en la ecuación (1):
La ecuación anterior se puede comparar con la forma estándar de la integral:
Por lo tanto, sustituyendo el resultado anterior, obtenemos que:
Simplificando aún más, obtenemos:
Así, llegamos a una forma matemática de la ley de Stefan-Boltzmann:
Referencias
Nave, R. (s.f.). The Stefan-Boltzmann Law. Consultado el 4 de marzo de 2023 desde: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/thermo/stefan2.html
Aakash. (s.f.). What is Stefan Boltzmann Law? Consultado el 4 de marzo de 2023 desde: https://byjus.com/jee/stefan-boltzmann-law/
7. Encuentra la función de trabajo del sodio sabiendo que su frecuencia Umbral
es 5.71x10^14 Hertz.
Considerando la ecuación de la recta:
	Se desea buscar la frecuencia umbral dada por la ordenada al origen. Entonces:
 ; Constante de Planck
	Expresando la ecuación de la recta en términos de longitud de onda:
	Si , entonces necesariamente que corresponde al valor de la ordenada al alcanzar la frecuencia umbral. De este modo, es posible sustituir de la forma:
8. Encuentra la frecuencia Umbral del Litio sabiendo que su función de trabajo es
4.69x10^-19 Joules.
A partir del ejercicio anteriores, tenemos la forma de la ecuación:
	Conociendo la función de trabajo, es posible obtener la frecuencia umbral con el siguiente despeje:
	
Y como en la frecuencia umbral:
9. Con base en las Ecuaciones Maxwell en el vacío, sin considerar fuente alguna
de los campos; encuentre la Ecuación de Onda correspondiente al Campo
Magnético.
Partiendo de las 4 ecuaciones elementales de Maxwell tenemos que:
	
Para calcular la ecuación de onda para el campo magnético consideramos la segunda derivada de la forma:
	
 
Finalmente:
 = 
10. Determine la longitud de onda de un haz de protones que se emite, desde una fuente, con una energía de 1 Mev (mp = 1.673x10^-27 kg)
Sea , sabiendo que el vector puede despejarse a partir de la ecuación de la energía cinética:
	Con esto, se calcula como:
Ejercicios propuestos
1. Determine la longitud de onda máxima con que el Sol emite radiación, como estrella, si la temperatura promedio en su superficie es de 5778[K]; comente a qué región del espectro visible corresponde. 
Se requiere calcular de la siguiente forma:
 Al estar cercano a los 500 [nm], les corresponde el espectro del color verde. 
Fuente: Wikipedia. Espectro visible.
2. Los valores de la Función de Trabajo y la Frecuencia Umbral para el Potasio son: =3.67 X 10-19[J] y = 5.54 X 1014[s-1]; respectivamente. A partir de ellos determine la constante de Planck.
La constante de Planck se determina a partir de la pendiente de la ecuación lineal que relaciona a la función de trabajo y la frecuencia umbral: 
; Donde W= 0
3. Determine la longitud de onda asociada a un Protón (mp=1.6726 X 10-27[Kg]) que se mueve en el LHC con una velocidad Vp= 2.95 X 108[m/s].
Para este problema únicamente se utiliza la ecuación de longitud de onda de la forma:
4. A partir del modelo de Stefan y Boltzmann, determine el Flujo que se recibe en las partes altas de la atmosfera terrestre procedente del Sol; cuya temperatura promedio en su superficie es 5778[K]. Considere en este caso la radiación de un Cuerpo Negro ideal.
Para resolver este problema se aplica directamente el modelo de Stefan-Boltzmann simplificado en sustitución directa:
5. Hallar la Función de Trabajo, en electrón-volts, para el Platino si se sabe que su Frecuencia Umbral es f0= 1.43 X 10^15[s-1].
La función de trabajo es la energía mínima necesaria para liberar un electrón de la superficie de un metal. La frecuencia umbral es la frecuencia mínima de la luz que puede liberarun electrón de la superficie de un metal. La relación entre la función de trabajo y la frecuencia umbral se puede expresar como:
Considerando la ecuación de la recta:
	Se desea buscar la frecuencia umbral dada por la ordenada al origen. Entonces:
 ; Constante de Planck
	Expresando la ecuación de la recta en términos de longitud de onda:
	Si , entonces necesariamente que corresponde al valor de la ordenada al alcanzar la frecuencia umbral. De este modo, es posible sustituir de la forma :
6. Hallar la Longitud de Onda Umbral, en nanómetros, para el Cobre si se sabe que su Función de Trabajo, en electrón-volts, es W0 = 4.7 [eV].
Dado que ya conocemos la función de trabajo, la transformamos a Joules y despejamos a partir de la expresión del problema anterior:
L = 
7. Determine el valor del Campo Eléctrico máximo medido a una distancia de 1.1 [Km] de una radiodifusora que emite con una Potencia de 10 000[W]; suponga un frente de onda semiesférico.
Para resolver este problema se debe considerar la ecuación del flujo dada por:
	
Dado que estamos considerando un frente de onda semiesférico, es posible considerar el área de la esfera como . Con la potencia de y el radio proporcionado por la distancia brindada de , es posible plantear la siguiente ecuación:
8. Determine la Longitud de Onda que deberá tener un electrón, me = 9.1 X 10-31[Kg], que se mueve en el LHC con una velocidad Vp= 2.95 X 108[m/s]; compare este resultado con el obtenido en el problema tres para el Protón.
La longitud de onda de De Broglie se puede calcular utilizando la relación:
Donde λ es la longitud de onda, h es la constante de Planck y p es el momento lineal. El momento lineal se puede calcular como:
Donde es la masa del electrón y Vp es la velocidad del electrón. 
Si se sabe que la masa del electrón es de
y la velocidad del electrón es 
, 
entonces el momento lineal se puede calcular como:
Por lo tanto, la longitud de onda del electrón se puede calcular como:
 
Para el protón, si se sabe que la masa del protón es 
 
y la velocidad del protón es 
, entonces el momento lineal se puede calcular como:
Por lo tanto, la longitud de onda del protón se puede calcular como:
Por lo tanto, la longitud de onda del electrón es de 2.47 pm y la longitud de onda del protón es de 1.32 fm.
9. En el espectro del Sodio existe una Longitud de Onda predominante cuando λNa= 5.89 X 10-7[m]; determine la Temperatura a la que esto ocurre suponiendo el modelo para la radiación de un Cuerpo Negro.
A partir de la expresión , es posible despejar la temperatura de la forma:
10. Hallar una expresión para el Flujo (S) que dependa del cuadrado del valor máximo del Campo Eléctrico.
Considerando la expresión base para el flujo de energía electromagnética: 
	Luego, sabiendo que:
 ; 
Sustituyendo en la expresión del flujo: