pdfcoffee.com_la-manivela-ab-gira-a-una-velocidad-angular-constante-de-5-rad-s-2-pdf-free

Vista previa del material en texto

NOMBRE: CHRISTIAN CARRION 
EJERCICIOS DEL 16.41 AL 16.45 
16.41.- La manivela AB gira a una velocidad angular constante de 5 rad/s. Determine la velocidad del 
bloque C y la velocidad angular del eslabón BC cuando θ = 30°. 
 
 
 
 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
 
 
 
Posición de coordenadas la ecuación: De la geometría, 
x = 0.6 Cos θ + 0.3 Cos Ф [1] 
0.6 Sin θ = 0.15 + 0.3 Sin Ф [2] 
Eliminando Ф las ecuaciones. [1] y [2] da 
x = 0.6 Cos θ + 0.3 √2 𝑆𝑖𝑛 𝜃 − 4 𝑆𝑖𝑛2 𝜃 + 0.75 [3] 
Derivamos respecto al Tiempo: Tomando la derivada de la ecuación. [3], tenemos 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= [−0.6 𝑆𝑖𝑛 𝜃 +
0.15(2 cos 𝜃− 4 sin 2𝜃)
√2 sin 𝜃− 4 𝑆𝑖𝑛2 𝜃+0.75
 ] 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 [4] 
sin embargo 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 = vc y 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 = WAB , a continuación, a partir de la ecuación [4]. 
Vc = [−0.6 𝑆𝑖𝑛 𝜃 +
0.15(2 cos 𝜃− 4 sin 2𝜃)
√2 sin 𝜃− 4 𝑆𝑖𝑛2 𝜃+0.75
 ] WAB [5] 
Vc = [−0.6 𝑆𝑖𝑛 𝜃 +
0.15(2 cos 𝜃− 4 sin 2𝜃)
√2 sin 𝜃− 4 𝑆𝑖𝑛2 𝜃+0.75
 ] (5) = -3.00 m/s Ans . 
Tomando la derivada de la ecuación. [2], tenemos 
0.6 cos θ 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 = 0.3 cos Ф 
𝑑Ф 
𝑑𝑡
 [6] 
Sin embargo, 
𝑑Ф 
𝑑𝑡
 = WBC y 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 = WAB , a continuación, a partir de la ecuación [6]. 
WBC = (
2 cos 𝜃
cos Ф
)WAB [7] 
En el instante θ = 30°, de la ecuación. [2], Ф= 30.0°, De la ecuación [7]. 
WBC = (
2 cos 30°
cos 30.0°
) (5) = 10.0 rad/s 
Nota: El signo negativo Vc indica que se dirige en la dirección opuesta a la de los x positivas. 
 
16.42.- Los pasadores A y B sólo pueden moverse en los carriles vertical y horizontal. Si el brazo ranurado 
hace que A baje a VA, Determine la velocidad de B en función de θ. 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
Posición de coordenadas la ecuación: 
Tan θ = 
ℎ
𝑥
 = 
𝑑
𝑦
 
x = (
ℎ
𝑑
) 𝑦 
Derivados de tiempo: 
𝑥 ̇ = (
ℎ
𝑑
) �̇� 
VB = (
ℎ
𝑑
) VA Ans. 
16.43.- El extremo A de la barra se mueve a la izquierda a una velocidad constante VA . Determine 
la velocidad angular W y aceleración angular α en función de su posición x. 
 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
 
 Posición de coordenadas la ecuación: De la geometría. 
x = 
𝑟
𝑠𝑖𝑛 𝜃
 [1] 
Derivamos respecto al Tiempo: Tomando la derivada de la ecuación [1], que tenemos. 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 
𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃
𝑟 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑑𝑡
 [2] 
Dado Vo que se dirige hacia el positivo x, entonces 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 = VA . Además 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 = W . 
desde la geometría, sinθ = 
𝑟
𝑥
 y cosθ = 
√𝑥2− 𝑟2
𝑥
 Sustituir estos valores en la ecuación. [2], 
tenemos: 
VA = - (
𝑅(√𝑥2− 𝑟2 /𝑥)
(𝑟/𝑥)2
 )W 
W = - (
𝑟
𝑥√𝑥2− 𝑟2 
)VA Ans. 
Tomando la derivada de la ecuación. [2], tenemos: 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
=
𝑟
 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
 = [(
1+ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝑠𝑖𝑛 𝜃
) (
𝑑𝜃
𝑑𝑡
)
2
− 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
] [3] 
Aquí, 
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
 = a = 0 y 
𝑑2𝜃
𝑑𝑡2
 = α. Sustituir en la ecuación. [3], tenemos: 
0 = 
𝑟
 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
[(
1+ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝑠𝑖𝑛 𝜃
) (𝑊)2 − 𝛼 𝑐𝑜𝑠 𝜃] 
α = (
1+ 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃
) (𝑊)2 [4] 
sin embargo, sin θ = = 
𝑟
𝑥
 , y cosθ = 
√𝑥2− 𝑟2
𝑥
 y W = - (
𝑟
𝑥√𝑥2− 𝑟2 
)VA sustituir 
estos valores en la ecuación. [4] da: 
α = [
𝑟 (2𝑥2− 𝑟2)
𝑥2(𝑥2− 𝑟2)3/2
]V2A Ans. 
 
16.44.- Determine la velocidad y aceleración de la placa cuando θ = 30°, si en este instante la 
leva circular gira alrededor del punto fijo O a una velocidad angular W = 4 rad/s y a una 
aceleración angular α = 2 rad/s
2
. 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
 
 
Posición de coordenadas la ecuación: De la geometría, 
x= 0.12 Sin θ + 0.15 [1] 
Derivamos respecto al Tiempo: Tomando la derivada de la ecuación. [1], tenemos 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 = 0.12 cos θ 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 [2] 
 
Sin embargo, v = 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 y W = 
𝑑𝜃
𝑑𝑡
 De la ecuación. [2], 
v =0.12 W cosθ [3] 
Sin embargo En en el instante θ = 30°, w = 4 rad/s, luego sustituir estos valores en la ecuación. [3] da 
v = 0.12(4) cos 30° = 0.416 m/s Ans. 
Tomando la derivada de la ecuación. [3], tenemos: 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
= 0.12 [𝑤(−𝑠𝑖𝑛 𝜃)
𝑑𝜃
𝑑𝑡
+ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝑑𝑤
𝑑𝑡
] 
= 0.12(𝑐𝑜𝑠 𝜃 
𝑑𝑤
𝑑𝑡
 – 𝑤2 𝑠𝑖𝑛𝜃) [4] 
Sin embargo a = 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 y α 0 
𝑑𝑤
𝑑𝑡
, De la ecuación [4]. 
a = 0.12 (α cos θ - w
2 sinθ) [5] 
Sin embargo en el instante θ = 30°, w = 4 rad/s, y α= 2 rad/s
2,luego sustituir estos valores en la 
ecuación. [5] da: 
a = 0.12 (2 cos 30° - 4
2 𝑠𝑖𝑛30°) = -0.752 m/s
2 
 Ans. 
Nota: El signo negativo indica que una se dirige en la dirección opuesta a la de los x positivas. 
 
 
16.45.- Cuando θ = 30°, la manivela AB gira a una velocidad y aceleración angulares de w = 10 
rad/s y 𝜶 = 2 rad/s, respectivamente. Determine la velocidad y la aceleración del bloque 
deslizante C en este instante. Considere a = b = 0.3 m. 
 
SOLUCIÓN: 
 
 
 Posición Coordenadas: Debido a la simetría = 0. Por lo tanto, a partir de la geometría se muestra en 
la figura a, 
Xc = 2[0.3 cos θ]m = 0.6 cos θ m 
Tiempo de derivada: Tomando la derivada temporal, 
Vc = 𝑋�̇� = (-0.6 sin𝜃�̇� ) m/s [1] 
luego θ = 30°, �̇� = w = 10 rad/s Por lo tanto, 
Vc = -0.6 sin 30° (10) = -3 m/s = 3 m/s ← Ans. 
La derivada en el tiempo de la ecuación. (1) se obtiene 
ac = �̈�c = -0.6(sin θ�̈� + 𝑐𝑜𝑠 𝜃�̇�2) m/s2 
 
luego θ = 30°, �̈� = α = 2 rad/s
2
 , y °, �̇� = w = 10 rad/s Por lo tanto, 
ac = -0.6 [sin 30° (2) + cos 30° (10
2
)] 
= -52.6 m/s
2
 = 52.6 m/s
2
 ← Ans. 
El signo negativo indica que Vc ac y son en el sentido negativo de Xc.