Electromagnetismo__Cap_tulo_1__Tarea_2_parte_2_resnick

Vista previa del material en texto

60. En la figura 24-43, seis partículas cargadas rodean a una séptima a
distancias radiales d =1.00 cm o 2d, según se muestra en el diagrama. Las
cargas son q1 = +2e, q2 = +4e, q3 = +e, q4 = +4e, q5 = +2e, q6 = +8e
y q7 = +6e, donde e = 1.60× 10−19 C. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza
electrostática neta que se ejerce sobre la partícula 7?
SOLUCIÓN. Como puede observarse, la partícula número 7 se en-
cuentra en el origen del sistema coordenado xy, mientras que las partículas
1, 2, 3 y 5 se encuentran a una distancia radial d y las partículas 4 y 6
a una distancia 2d del origen. La ley de Coulomb que expresa la fuer-
za electrostática neta ~F7neta (de acuerdo al principio de superposición de
fuerzas) sobre la séptima partícula es
~F7neta =
6∑
i=1
1
4πε0
q7qi(~r7 − ~ri)
|~r7 − ~ri|3
=
q7
4πε0
6∑
i=1
qi(~r7 − ~ri)
|~r7 − ~ri|3
,
donde el subíndice i denota el número de la partícula señalada en el diagrama.
Se observa además que los vectores de posición ~ri están dados por: ~r1 = −d x̂+0 cm ŷ, ~r2 = 0 cm x̂+
d ŷ, ~r3 = d x̂+ 0 cm ŷ, ~r4 = 2d x̂+ 0 cm ŷ, ~r5 = 0 cm x̂− d ŷ, ~r6 = 0 cm x̂− 2d ŷ y ~r7 = 0 cm x̂+ 0 cm ŷ.
Con esto se procede a calcular los vectores ~r7 − ~ri y sus magnitudes:
~r7 − ~r1 = d x̂⇒ |~r7 − ~r1| =
√
(d x̂) · (d x̂) = d
~r7 − ~r2 = −d ŷ ⇒ |~r7 − ~r2| =
√
(−d ŷ) · (−d ŷ) = d
~r7 − ~r3 = −d x̂⇒ |~r7 − ~r3| =
√
(−d x̂) · (−d x̂) = d
~r7 − ~r4 = −2d x̂⇒ |~r7 − ~r4| =
√
(−2d x̂) · (−2d x̂) = 2d
~r7 − ~r5 = d ŷ ⇒ |~r7 − ~r5| =
√
(d ŷ) · (d ŷ) = d
~r7 − ~r6 = 2d ŷ ⇒ |~r7 − ~r6| =
√
(2d ŷ) · (2d ŷ) = 2d
Se ha usado que el producto punto de un vector consigo mismo es igual a 1 y que d es mayor que cero.
Por lo tanto, la fórmula tiene la expresión:
~F7neta =
q7
4πε0
[
2e(d x̂)
d3
+
4e(−d ŷ)
d3
+
e(−d x̂)
d3
+
4e(−2d x̂)
(2d)3
+
2e(d ŷ)
d3
+
8e(2d ŷ)
(2d)3
]
⇒ ~F7neta =
q7
4πε0
[(
2 e d
d3
− e d
d3
− 8 e d
8 d3
)
x̂+
(
2 e d
d3
− 4 e d
d3
+
82 e d
8 d3
)
ŷ
]
⇒ ~F7neta =
q7
4πε0
[(
2 e
d2
− e
d2
− e
d2
)
x̂+
(
2 e
d2
− 4 e
d2
+
2 e
d2
)
ŷ
]
⇒ ~F7neta =
q7 e
4d2πε0
[(2− 1− 1) x̂+ (−4 + 2 + 2) ŷ] = q7 e
4d2πε0
[0 x̂+ 0 ŷ] = ~0
El resultado anterior indica que el vector ~F7neta es idénticamente nulo, de donde se concluye que su
magnitud es |~F7neta| = 0N.
62. En la figura 21-44, ¿cuáles son (a) la magnitud y (b) la dirección de la fuerza electrostática neta
sobre la partícula 4 debido a las otras tres partículas? Las cuatro partículas están fijadas en el plano
xy, y q1 = −3.20 × 10−19 C, q2 = +3.20 × 10−19 C, q3 = +6.40 × 10−19 C y q4 = +3.20 × 10−19 C,
α = 215◦, d1 = 3.00 cm, y d2 = d3 = 2.00 cm.
SOLUCIÓN. Obtengamos la magnitud de la fuerza electrostática neta sobre la partícula 4 debido a
las partículas 1, 2 y 3. Los vectores de posición de las tres partículas de acuerdo a nuestro sistema de
referencia son:
~r1 = d1 cosα x̂+ d1 sinα ŷ
~r2 = 0 cm x̂+ d2 ŷ
~r3 = d3 x̂+ 0 cm ŷ
~r4 = 0 cm x̂+ 0 cm ŷ
Por el principio de superposición, tenemos que
~F4neta = ~F41 + ~F42 + ~F43
Y, por la ley de Coulomb
~F4neta =
1
4πε0
q4q1(~r4 − ~r1)
|~r4 − ~r1|3
+
1
4πε0
q4q2(~r4 − ~r2)
|~r4 − ~r2|3
+
1
4πε0
q4q3(~r4 − ~r3)
|~r4 − ~r3|3
Ahora calculemos:
~r4 − ~r1 = 0 x̂+ 0 ŷ − (d1 cosα x̂+ d1 sinα ŷ) = −(d1 cosα x̂+ d1 sinα ŷ)
~r4 − ~r2 = 0 x̂+ 0 ŷ − (0 x̂+ d2 ŷ) = −d2 ŷ
~r4 − ~r3 = 0 x̂+ 0 ŷ − (d3 x̂+ 0 ŷ) = −d3 x̂
|~r4 − ~r1| =
√
−(d1 cosα x̂+ d1 sinα ŷ) · (−(d1 cosα x̂+ d1 sinα ŷ)) =
√
d1
2 cos2 α x̂ · x̂+ d12 sin2 α ŷ · ŷ
=
√
d1
2 = d1
|~r4 − ~r2| =
√
(−d2ŷ) · (−d2ŷ) =
√
d2
2 ŷ · ŷ =
√
d2
2 = d2
|~r4 − ~r3| =
√
(−d3x̂) · (−d3x̂) =
√
d3
2 x̂ · x̂ =
√
d3
2 = d3
Continuemos sustituyendo estos valores para obtener ~F41, ~F42 y ~F43, quedando de la siguiente manera:
~F41 =
1
4πε0
q4q1(~r4 − ~r1)
|~r4 − ~r1|3
=
1
4πε0
q4q1(−(d1 cosα x̂+ d1 sinα ŷ))
d1
3 = −
1
4πε0
q4q1( cosα x̂+ sinα ŷ)
d1
2
~F42 =
1
4πε0
q4q2(~r4 − ~r2)
|~r4 − ~r2|3
=
1
4πε0
q4q2(−d2 ŷ)
d2
3 =
1
4πε0
q4q2(−ŷ)
d2
2 = −
1
4πε0
q4q2ŷ
d2
2
~F43 =
1
4πε0
q4q3(~r4 − ~r3)
|~r4 − ~r3|3
=
1
4πε0
q4q3(−x̂)
d3
2 = −
1
4πε0
q4q3x̂
d3
2
Por lo que la fuerza electrostática neta sobre la partícula 4 estará dada como:
~F4neta = −
1
4πε0
q4q1( cosα x̂+ sinα ŷ)
d1
2 −
1
4πε0
q4q2ŷ
d2
2 −
1
4πε0
q4q3x̂
d3
2
= − q4
4πε0
[(
q1 cosα
d1
2 +
q3
d3
2
)
x̂+
(
q1 sinα
d1
2 +
q2
d2
2
)
ŷ
]
Tenemos que la magnitud de ~F4neta está dada por:
|~F4neta| =
√
− q4
4πε0
[(
q1 cosα
d1
2 +
q3
d3
2
)
x̂+
(
q1 sinα
d1
2 +
q2
d2
2
)
ŷ
]
· − q4
4πε0
[(
q1 cosα
d1
2 +
q3
d3
2
)
x̂+
(
q1 sinα
d1
2 +
q2
d2
2
)
ŷ
]
=
√√√√( q4
4πε0
)2 [(
q1 cosα
d1
2 +
q3
d3
2
)2
x̂ · x̂+
(
q1 sinα
d1
2 +
q2
d2
2
)2
ŷ · ŷ
]
=
q4
4πε0
√(
q1 cosα
d1
2 +
q3
d3
2
)2
+
(
q1 sinα
d1
2 +
q2
d2
2
)2
Como d2 = d3, remplazamos d2 por d3, obteniendo:
|~F4neta| =
q4
4πε0d1
2d3
2
√(
d3
2q1 cosα+ d1
2q3
)2
+
(
d3
2q1 sinα+ d1
2q2
)2
= 0.00799
N
m2C
√
(6.808× 10−22 m2C)2 + (3.614× 10−22 m2C)2
= 0.00799
N
m2C
(
7.707× 10−22 m2C
)
Resultado:
|~F4neta| = 6.158× 10−24N
La dirección de vector ~F4neta está dado por:
F̂4neta =
~F4neta
|F4neta|
=
− q44πε0
[(
q1 cosα
d12
+ q3
d32
)
x̂+
(
q1 sinα
d12
+ q2
d22
)
ŷ
]
q4
4πε0
√(
q1 cosα
d12
+ q3
d32
)2
+
(
q1 sinα
d12
+ q2
d22
)2
=
−
[(
q1 cosα
d12
+ q3
d32
)
x̂+
(
q1 sinα
d12
+ q2
d22
)
ŷ
]
√(
q1 cosα
d12
+ q3
d32
)2
+
(
q1 sinα
d12
+ q2
d22
)2
Como d2 = d3, remplazamos d2 por d3, obteniendo:
F̂4neta =
−
(
1
d12d32
) [(
d3
2q1 cosα+ d1
2q3
)
x̂+
(
d3
2q1 sinα+ d1
2q2
)
ŷ
]
(
1
d12d32
)√(
d3
2q1 cosα+ d21q3
)2
+
(
d3
2q1 sinα+ d1
2q2
)2
=
−
[(
d3
2q1 cosα+ d1
2q3
)
x̂+
(
d3
2q1 sinα+ d1
2q2
)
ŷ
]√(
d3
2q1 cosα+ d1
2q3
)2
+
(
d3
2q1 sinα+ d1
2q2
)2
sustituyendo valores en las siguientes expresiones obtenemos que:
d3
2q1 cosα+ d1
2q3x̂ = (0.02m)
2
(−3.20× 10−19 C) cos(215◦) + (0.03m)26.40× 10−19 C)
= 6.808× 10−22m2C
d3
2q1 sinα+ d1
2q3x̂ = (0.02m)
2
(−3.20× 10−19 C) sin(215◦) + (0.03m)2(3.20× 10−19 C)
= 3.614× 10−22m2C
entonces:
F̂4neta =
−
(
6.808× 10−22m2C
)
x̂−
(
3.614× 10−22m2C
)
ŷ√
(6.808× 10−22m2C)2 + (3.614× 10−22m2C)2
=
−
(
6.808× 10−22m2C
)
x̂−
(
3.614× 10−22m2C
)
ŷ
7.707× 10−22m2C
Resultado:
F̂4neta = −0.883 x̂− 0.468 ŷ
También podemos calcular el ángulo de ~F4neta a partir de las componentes de su vector unitario:
tan θ =
cateto opuesto
cateto adyacente
=
−0.468
−0.883
θ = arctan
(
−0.468
−0.883
)
= 27.92◦
Este ángulo es respecto al eje x negativo, en contra de las manecillas del reloj.
∴ |~F4neta| = 6.158×10−24 N y F̂4neta = −0.883 x̂−0.468 ŷ (el ángulo de ~F4neta es de 207.92◦ respecto
al eje x positivo en contra de las manecillas del reloj)