examenes resueltos- primer orden B EXAMEN 1

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ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDENECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 
PROBLEMAS RESUELTOS - EXAMENES PASADOSPROBLEMAS RESUELTOS - EXAMENES PASADOS
 
homogeneas se reducen a variables separableshomogeneas se reducen a variables separables
Bernoulli y Riccati se reducen a una Ec. LinealBernoulli y Riccati se reducen a una Ec. Lineal
Factor integrante se transformaba en una Ec. ExactaFactor integrante se transformaba en una Ec. Exacta
Aplicaciones geométricasAplicaciones geométricas 
 
1. Hallar la ecuación diferencial 1. Hallar la ecuación diferencial en el punto en el punto == xx ++ yy ++ 11 -- 22
dydy
dxdx
(( ))22 00,, 11(( ))
Solución.Solución. esto es lo mismo que esto es lo mismo que == xx ++ yy ++ 11 -- 22
dydy
dxdx
(( ))22 y'y' == xx ++ yy ++ 11 -- 22(( ))22
 
la variable independiente es xla variable independiente es x
 
 La ec. de una recta , indicamos el cambio de variable es La ec. de una recta , indicamos el cambio de variable es 
 diferenciamos diferenciamos otra forma de escribir es : otra forma de escribir es : zz == xx ++ yy ++ 11 == 11 ++ == -- 11
dzdz 
dxdx
dydy
dxdx
→→
dydy
dxdx
dzdz
dxdx
 z'z' == 11 ++ y'y' y'y' == zz -- 11→→
esta ec. se va a transformar a una ec. de variables separables.esta ec. se va a transformar a una ec. de variables separables.
z'z' -- 11 == zz -- 2 2 z'z' == zz -- 1 1 == zz -- 1122 →→ 22 →→
dzdz
dxdx
22
== dxdx∫∫ dzdz
zz -- 1122
∫∫
== == ++
11
zz -- 1122
11
zz -- 11 zz ++ 11(( ))(( ))
AA
zz -- 11
BB
zz ++ 11
11 == AA zz ++ 11 ++ BB zz -- 11(( )) (( ))
asignamos valores: asignamos valores: : : zz == --11 11 == BB --22 BB == --(( )) →→
11
22
 
con con : : zz == 11 11 == 2A2A AA ==→→
11
22
== ++
11
zz -- 1122
11 // 22
zz -- 11
--11 // 22
zz ++ 11
 
++ dz dz == dx dx -- == xx ++ CC∫∫ 11 // 22
zz -- 11
--11 // 22
zz ++ 11
∫∫ →→ 11
22
∫∫ dzdz
zz -- 11
11
22
∫∫ dzdz
zz ++ 11
 
 ln ln zz -- 11 -- ln ln zz ++ 11 == x x ++ C C lnln == xx ++ CC
11
22
(( ))
11
22 
(( )) →→
11
22
zz -- 11
zz ++ 11
la condición es (0,1), el cambio de variable : la condición es (0,1), el cambio de variable : zz == xx ++ yy ++ 11 == 00 ++ 11 ++ 11 == 22
 
 ln ln == C C CC == lnln == -- ln ln 33 
11
22
22 -- 11
22 ++ 11
→→
11
22
11
33
11
22
(( ))
lnln == xx -- ln ln 33 ln ln == 2x2x -- ln ln 33 
11
22
zz -- 11
zz ++ 11
11
22
(( )) →→
xx ++ yy ++ 11 -- 11
xx ++ yy ++ 1 1 ++ 11
(( ))
 
 ln ln == 2x2x -- ln ln 33
xx ++ yy
xx ++ yy ++ 22
(( ))
aplicando antilogaritmos :aplicando antilogaritmos : 
== ee == ee ee == ee ee 
xx ++ yy
xx ++ yy ++ 22
2x-ln2x-ln 33(( ))
→→
xx ++ yy
xx ++ yy ++ 22
2x2x -ln-ln 33(( ))
→→
xx ++ yy
xx ++ yy ++ 22
2x2x lnln 33(( ))-1-1
tenemos : tenemos : == ee 3 3 xx ++ yy == ee xx ++ yy ++ 22
xx ++ yy
xx ++ yy ++ 22
11
33
2x2x
→→ (( )) 2x2x(( ))
la solución es : la solución es : )) 3 3 xx ++ yy == ee xx ++ yy ++ 22(( )) 2x2x((
 
2. Hallar el factor de integración y resolver la siguiente ecuación diferencial:2. Hallar el factor de integración y resolver la siguiente ecuación diferencial: 
 2y sinx2y sinx -- coscos xx dxdx ++ cosx dycosx dy == 0033
Solución. Solución. Debe cumplir la condición: Debe cumplir la condición: ==
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x
donde donde y y MM == 2y sinx2y sinx -- coscos xx33 NN == cosx cosx
 , , no es EXACTa no es EXACTa== 2 sinx 2 sinx 
∂M∂M
∂y∂y
== -- sinxsinx
∂N∂N
∂x∂x
≠≠
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x
 
 función de y función de y ==
--
--MM
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x 3 sinx3 sinx
-- 2y sinx2y sinx -- coscos xx33
 
 función de xfunción de x ==
--
NN
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x 3 sinx3 sinx
cos xcos x
el factor integrante es : el factor integrante es : 𝜇𝜇 == ee
dxdx∫∫
3 sinx3 sinx
cos xcos x
dxdx == -- 33 dxdx == -- 3 ln3 ln cosxcosx == lnln cosxcosx == lnln secxsecx∫∫3 sinx3 sinx
cos xcos x
∫∫--sinxsinx
cosxcosx
(( )) (( ))-3-3 (( ))33
𝜇𝜇 == ee == secsec xxlnln secxsecx(( ))
33 33
 secsec xx 2y sinx2y sinx -- coscos xx dxdx ++ secsec x cosx dyx cosx dy == secsec xx 00 == 0033 33 33 33 (( )) 2ysec2ysec x sinxx sinx -- 11 dxdx ++ secsec x dyx dy == 0033 22
donde donde y y MM == 2ysec2ysec x sinxx sinx -- 1133 NN == sec sec x x 22
 , , == 2sec2sec x sinx x sinx 
∂M∂M
∂y∂y
33
== 2 secx secx tanx2 secx secx tanx == 2 sec2 sec x tanxx tanx == 2 sec2 sec x x == 2 sec 2 sec x sinxx sinx
∂N∂N
∂x∂x
22 22 sinxsinx
cosxcosx
33
 es EXACTA recordemos que es EXACTA recordemos que ==
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x
MM == ,, N N ==
∂f∂f
∂x∂x
∂f∂f
∂y∂y
NN == sec sec xx == f f == secsec x dyx dy ++ h h xx == y sec y sec xx ++ h h xx22
∂f∂f
∂y∂y
→→ ∫∫ 22 (( )) 22 (( ))
== y 2 secx secx tanxy 2 secx secx tanx ++ h' h' xx == 2y sec2y sec x sinxx sinx ++ h' h' xx == M M 
∂f∂f
∂x∂x
(( )) 33 (( ))
2y sec2y sec x sinxx sinx ++ h' h' xx == 2ysec2ysec x sinxx sinx -- 1 1 h'h' xx == -- 11 hh xx == -- xx ++ CC33 (( )) 33 →→ (( )) →→ (( ))
 
 soluciones son de la forma soluciones son de la forma ff == y sec y sec xx -- xx ++ CC == 0022 ff xx,, yy == kk(( ))
donde donde la solución es : la solución es : kk == --CC y secy sec xx -- xx == kk22
 
 
 
3. Resolver la siguiente EDO. ¿Cuál es el valor constante, en la solución de la ecuación diferencial , en el caso que la3. Resolver la siguiente EDO. ¿Cuál es el valor constante, en la solución de la ecuación diferencial , en el caso que la 
curva pase por curva pase por ??11,, 11(( ))
7x7x ++ 14y14y dxdx -- 14x14x -- 7y7y dydy == 00(( )) (( ))
Solución. Solución. 77 xx ++ 2y2y dx dx -- 77 2x2x -- yy dydy == 00 xx ++ 2y2y dx dx -- 2x2x -- yy dy dy == 00(( )) (( )) →→ (( )) (( ))
Ec. Homogénea :Ec. Homogénea : 
el cambio de variable es : el cambio de variable es : o o yy == uxux xx == uyuy
dydy == u dx u dx ++ x du x du
 xx ++ 2ux2ux dx dx -- 2x2x -- uxux udx udx ++ x dux du == 00(( )) (( )) (( ))
 x x 11 ++ 2u2u dx dx -- xx 22 -- uu udx udx ++ x dux du == 00(( )) (( )) (( ))
 11 ++ 2u2u dx dx -- 22 -- uu udx udx ++ x dux du == 00(( )) (( )) (( ))
 11 ++ 2u2u dx dx -- 22 -- uu udx udx -- 22 -- uu x dux du == 00(( )) (( )) (( ))
 11 ++ 2u2u dx dx -- 2u dx2u dx ++ uu dx dx -- 22 -- uu x dux du == 00(( )) 22 (( ))
 variables separables variables separables 11 ++ uu dx dx -- 22 -- uu x dux du == 0022 (( ))
 -- du du == 00
dxdx
xx
22 -- uu
11 ++ uu
(( ))
22
 -- du du == 00∫∫dxdx
xx
∫∫ 22 -- uu
11 ++ uu
(( ))
22
∫∫
 ln ln xx -- du du ++ du du == CC(( )) ∫∫ 22
11 ++ uu22
11
22
∫∫ 2u2u
11 ++ uu22
 ln ln xx -- 2 arctan2 arctan uu ++ lnln 11 ++ uu == CC(( )) (( ))
11
22
22
 pero pero 2ln 2ln xx -- 4 arctan4 arctan uu ++ lnln 11 ++ uu == 2C2C(( )) (( )) 22 yy == uxux uu ==→→
yy
xx
 2ln 2ln xx -- 4 arctan4 arctan ++ lnln 11 ++ == 2C2C(( ))
yy
xx
yy
xx
22
 ln ln xx -- 4 arctan4 arctan ++ lnln 11 ++ == 2C2C22
yy
xx
yy
xx22
22
 ln ln xx 11 ++ -- 4 arctan4 arctan == 2C2C22
yy
xx22
22 yy
xx
 en el punto (1,1) en el punto (1,1) ln ln xx ++ yy -- 4 arctan4 arctan == 2C2C22 22
yy
xx
lnln 11 ++ 11 -- 4 arctan4 arctan == 2C2C ln ln 22 -- 44 == 2C 2C 2C 2C == lnln 22 --𝜋𝜋22 22
11
11
→→ (( ))
𝜋𝜋
44
→→ (( ))
 ln ln xx ++ yy -- 4 arctan4 arctan == lnln 22 --𝜋𝜋22 22
yy
xx
(( ))
 
4. Hallar 4. Hallar si si ff xx (( )) ff axax da da == n f n f xx
11
00
∫∫ (( )) (( ))
Solución.Solución. Se trata de una ecuación integral, primero debemos realizar un cambio de variable: Se trata de una ecuación integral, primero debemos realizar un cambio de variable: 
 uu == ax ax du du == x dax da da da ==→→ →→
dudu
xx
También cambian los límites de integración :También cambian los límites de integración : 
cuando cuando ,, aa == 00 :: u u == 00
cuando cuando aa == 11 :: u u == xx
así : así : ff uu == n f n f xx ff uu du du == nx fnx f xx 
xx
00
∫∫ (( )) dudu
xx(( )) →→
xx
00
∫∫ (( )) (( ))
 
luego derivamos : luego derivamos : ff uu du du == nx fnx f xx
dd
dxdx
xx
00
∫∫ (( )) dd
dxdx
[[ (( ))]]
 
 
ff xx == n fn f xx ++ nxf'nxf' xx nxf' nxf' xx == 11 -- nn f f xx (( )) (( )) (( )) →→ (( )) (( )) (( ))
 
 nx df nx df == 11 -- nn f f xx dx dx == lnln ff == ln ln xx ++ ln ln CC→→ (( )) (( )) →→
dfdf
ff
11 -- nn
nn
dxdx
xx
→→ (( ))
11 -- nn
nn
(( )) (( ))
 
lnln ff == ln ln xx ++ ln ln CC lnln ff == ln ln C xC x f f xx == C x C x →→ (( ))
11--nn
nn (( )) →→ (( ))
11--nn
nn →→ (( ))
11--nn
nn
a solución es : a solución es : ff xx == C x C x(( ))
11--nn
nn
5. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia 5. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia yy -- xx == CxCx22 22
Solución.Solución.
Derivamos implicitamente la ecuación de las familias para obtener la ecuación diferencial:Derivamos implicitamente la ecuación de las familias para obtener la ecuación diferencial:
 de la ecuación original : de la ecuación original : 2y y'2y y' -- 2x2x == CC CC ==
yy -- xx
xx
22 22
 
tenemos la E.D.: tenemos la E.D.: 2y y'2y y' -- 2x2x == 2xy y'2xy y' -- 2x2x == yy -- xx 2xy y'2xy y' -- xx ++ yy == 00
yy -- xx
xx
22 22
→→
22 22 22
→→
22 22
 
ahora reemplazamos ahora reemplazamos en lugar de en lugar de -- 
11
y'y'
y'y' :: 2xy 2xy -- -- xx ++ yy == 00
11
y'y'
22 22
 
ordenando y escribiendo con los diferenciales:ordenando y escribiendo con los diferenciales:
--2xy dx2xy dx -- xx ++ yy dy dy == 00 2xy dx2xy dx ++ xx ++ yy dy dy == 0022 22 →→ 22 22
se trata de una ecuación diferencial homogénea para reducirse trata de una ecuación diferencial homogénea para reducir 
usamos el cambio: usamos el cambio: así así xx == uyuy dxdx == u dy u dy ++ y du y du
22 uyuy y y u dy u dy ++ y duy du ++ uyuy ++ yy dy dy == 00(( )) (( )) (( ))22 22
2uy2uy u dy u dy ++ y duy du ++ yy uu ++ 11 dy dy == 0022 (( )) 22 22
2u 2u u dy u dy ++ y duy du ++ uu ++ 11 dy dy == 00(( )) 22
2u2u dy dy ++ 2uy du2uy du ++ uu ++ 11 dy dy == 0022 22
 ec. diferencial de variables separables ec. diferencial de variables separables3u3u ++ 11 dy dy ++ 2uy du 2uy du == 0022
 ++ du du == 0 0 ++ du du == 0 0 
dydy 
yy
2u2u
3u3u ++ 1122
→→∫∫dydy 
yy
∫∫ 2u2u
3u3u ++ 1122
∫∫
 
lnln yy ++ lnln 3u3u ++ 11 == lnln kk 3 ln3 ln yy ++ lnln 3u3u ++ 11 == 3ln3ln kk (( ))
11
33
22 (( )) →→ (( )) 22 (( ))
 
lnln yy ++ lnln 3u3u ++ 11 == lnln kk lnln yy 3u3u ++ 11 == lnln kk33 22 33 →→ 33 22 33
 
 como como yy 3u3u ++ 11 == kk→→ 33 22 33 xx == uyuy uu ==→→
xx
yy
 
 hacemos hacemos yy 33 ++ 11 == kk yy 33 ++ 11 == kk→→ 33
xx
yy
22
33
→→
33
xx
yy
22
22
33 cc == kk33
 
 3x 3x yy ++ yy == cc→→ 22 33
la famiia de trayectorias ortogonales es : la famiia de trayectorias ortogonales es : yy ++ 3x 3x yy == cc33 22
6. Hallar la solución de la ecuación de Clairaut 6. Hallar la solución de la ecuación de Clairaut yy == pxpx ++
aa
pp22
Solución. Solución. derivar la e.d.: derivar la e.d.: pp == == y'y'
dydy
dxdx
y'y' == p'x p'x ++ pp ++
00 -- 2app'2app'
pp44
pp == p'x p'x ++ pp -- 0 0 == p'x p'x -- p'p' xx -- == 00
2ap'2ap'
pp33
→→
2ap'2ap'
pp33
→→
2a2a
pp33
 : : la solución general la solución general p'p' == 00 pp == CC→→ yy == CxCx ++
aa
CC22
 tenemos tenemos xx -- == 00 xx ==
2a2a
pp33
→→
2a2a
pp33
yy == pp ++ == ++ ==
2a2a
pp33
aa
pp22
2a2a
pp22
aa
pp22
3a3a
pp22
la solución singular : la solución singular : forma parámetrica forma parámetrica 
xx ==
2a2a
pp33
 
yy ==
3a3a
pp22
 
en forma cartesiana: en forma cartesiana: 
 p p ==33
2a2a
xx
 p p == 22
3a3a
yy
 == p p == →→
pp
 p p
33
22
2a2a
xx
3a3a
yy
→→
2y2y
3x3x
 
 y y == y p y p == 3a 3a y y == 3a3a 4y 4y == 27a x27a x 
3a3a
pp22
→→
22
→→
2y2y
3x3x
22
→→
33 22
 
Obs. El Teorema de Existencia y unicidad falla en el punto donde se encuentran ambas soluciones .Obs. El Teorema de Existencia y unicidad falla en el punto donde se encuentran ambas soluciones . 
 
7. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas 7. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia de curvas yy ln y ln y ++ xx == CyCy22 22 22
Solución.Solución.
 
8. Resuelva la ecuación: 8. Resuelva la ecuación: == 2y2y -- 3y3y
dydy
dxdx
22 -- 2y2y == -- 3y3y
dydy
dxdx
22
Solución. Solución. y'y' -- 2y2y == --3y3y22
 Ec. lineal : Ec. lineal : y'y' ++ PP xx yy == QQ xx(( )) (( ))
 Ec. Bernouli: Ec. Bernouli: y'y' ++ PP xx yy == QQ xx yy(( )) (( )) nn
 Ec. Riccati: Ec. Riccati: y'y' ++ PP xx yy == RR xx ++ Q Q xx yy(( )) (( )) (( )) 22
 dividir todo entre dividir todo entre y'y' -- 2y2y == --3y3y22 yy22
yy y'y' -- 2yy2yy == -- 3y3y y y-2-2 -2-2 22 -2-2
yy y'y' -- 2y2y == -- 33-2-2 -1-1
el cambio de variable es : el cambio de variable es : zz == yy z'z' == --yy y'y' yy y'y' == -- z'z'-1-1 →→ -2-2 →→ -2-2
 ec . lineal ec . lineal , , --z'z' -- 2z2z == --3 3 z' z' ++ 2z2z == 33→→ PP xx == 22(( )) QQ xx == 33(( ))
el factor integrante : el factor integrante : 𝜇𝜇 == ee == ee == eeP dxP dx∫∫ 2 dx2 dx∫∫ 2x2x
++ 2z2z == 33
dzdz
dxdx
dzdz ++ 2z dx 2z dx == 3 dx 3 dx 
 [a la izquierda siempre se tiene un ec. exacta.] [a la izquierda siempre se tiene un ec. exacta.]ee dz dz ++ 2ze2ze dx dx == 3 e3 e dx dx 2x2x 2x2x 2x2x
dd ee zz == 3 e3 e dx dx2x2x 2x2x
dd ee zz == 33 e e dx dx∫∫ 2x2x ∫∫ 2x2x
ee z z == 3 3 ++ CC z z == ++ Ce Ce ==2x2x
ee 
22
2x2x
→→
33
22
-2x-2x 33 ++ 2Ce2Ce
22
-2x-2x
 pero pero : : zz == yy-1-1 == yy yy == 
33 ++ 2Ce2Ce
22
-2x-2x
-1-1 →→
22
33 ++ 2Ce2Ce-2x-2x
 
9. Analice si tiene solución única dada la ecuación diferencial : 9. Analice si tiene solución única dada la ecuación diferencial : , , yy'yy' -- 4x4x == 00 yy 22 == --𝜋𝜋(( ))
Solución. Solución. Ordenando Ordenando : : yy'yy' -- 4x4x == 00 y'y' == == ff xx,, yy
4x4x
yy
(( ))
1. Existencia. 1. Existencia. , , ff xx,, yy ==(( ))
4x4x
yy
yy ≠≠ 00
 Dominio de Dominio de = = ff xx,, yy(( )) xx,, yy ∈∈ RR // yy ≠≠ 00(( )) 22
esto significa que se asegura la existencia de una solución excepto en esto significa que se asegura la existencia de una solución excepto en yy == 00
ff 22,, --𝜋𝜋 == == --(( ))
44 22
--𝜋𝜋
(( )) 88
𝜋𝜋
Garantizamos la existencia de la solución alrededor de Garantizamos la existencia de la solución alrededor de 22,, --𝜋𝜋(( ))
2. Unicidad de la solución. 2. Unicidad de la solución. , , == -- 
∂f∂f
∂y∂y
4x4x
yy22
yy ≠≠ 00
 Dominio de Dominio de = = 
∂f∂f
∂y∂y
xx,, yy ∈∈ RR // yy ≠≠ 00(( )) 22
22,, --𝜋𝜋 == -- 
∂f∂f
∂y∂y
(( ))
88
𝜋𝜋
22
Garantizamos la unicidad de la solución alrededor de Garantizamos la unicidad de la solución alrededor de 22,, --𝜋𝜋(( ))
 
10. Halle un factor de integración y resuelva la ecuación 10. Halle un factor de integración y resuelva la ecuación ..2y2y -- xx y'y' ++ 3x3x yy ++ yy == 0033 22 22
Solución.Solución.
Derivamos implicitamente la ecuación de las familias para obtener la ecuación diferencial:Derivamos implicitamente la ecuación de las familias para obtener la ecuación diferencial:
 2yy' ln y 2yy' ln y ++ yy y' y' ++ 2x2x == 2Cyy' 2Cyy' 2yy' ln y2yy' ln y ++ y y' y y' ++ 2x2x == 2Cyy' 2Cyy' 22
11
yy
→→
de la ecuación original : de la ecuación original : CC ==
yy ln y ln y ++ xx
yy
22 22
22
tenemos la E.D.:tenemos la E.D.: 
2yy' ln y2yy' ln y ++ y y' y y' ++ 2x2x == 22 yy'yy'→→
yy ln y ln y ++ xx
yy
22 22
22
 
2yy' ln y2yy' ln y ++ y y' y y' ++ 2x2x == 22 y'y'→→
yy ln y ln y ++ xx
yy
22 22
 
2y2y y' ln yy' ln y ++yy y' y' ++ 2xy2xy == 2y2y y'ln y y'ln y ++ 2x2x y'y'→→ 22 22 22 22
 
yy -- 2x2x y' y' ++ 2xy2xy == 00→→ 22 22
 
ahora reemplazamos ahora reemplazamos en lugar de en lugar de -- 
11
y'y'
y'y' :: yy -- 2x2x -- ++ 2xy2xy == 0022 22
11
y'y'
-- yy -- 2x2x ++ 2xyy'2xyy' == 00→→ 22 22
ordenando y escribiendo con los diferenciales:ordenando y escribiendo con los diferenciales:
2x2x -- yy dxdx ++ 2xy dy2xy dy == 00→→ 22 22
Si no es Exacta , debemos encontrar el factor integrante:Si no es Exacta , debemos encontrar el factor integrante: 
 NO NO es es EXACTAEXACTA
MM == 2x2x -- yy == -- 2y2y22 22 →→
∂M∂M
∂y∂y
NN == 2xy 2xy == 2y2y→→
∂N∂N
∂x∂x
≠≠
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x
 función de función de == == ==
--
--MM
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x --2y2y -- 2y2y
-- 2x2x -- yy22 22
--4y4y
-- 2x2x -- yy22 22
4y4y
2x2x -- yy22 22
yy
 
 función de función de == == == --
--
NN
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x --2y2y -- 2y2y
2xy2xy
--4y4y
2xy2xy
22
xx
xx
 
entonces el factor integrante es : entonces el factor integrante es : 𝜇𝜇 == ee == e e == ee == xx
-- dxdx∫∫
 2 2
xx -2 lnx-2 lnx lnln xx
-2-2
-2-2
xx 2x2x -- yy dxdx ++ 2x2x xy dyxy dy == 00→→ -2-2 22 22 -2-2
22 -- xx yy dxdx ++ 2x2x y dyy dy == 00→→ -2-2 22 -1-1
 es es EXACTAEXACTA
MM == 22 -- xx yy == -- 2x2x yy-2-2 22 →→
∂M∂M
∂y∂y
-2-2
NN == 2x2x y y == -- 2x2x yy-1-1 →→
∂N∂N
∂x∂x
-2-2
==
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x
 
es un diferencial exacto: es un diferencial exacto: donde donde dfdf == dx dx ++ dy dy 
∂f∂f
∂x∂x
∂f∂f
∂y∂y
ff xx,, yy == CC(( ))
en nuestro caso en nuestro caso dfdf == M dxM dx ++ N dyN dy
== MM == 22 -- xx yy ff == 22 -- xx yy dxdx ++ gg yy
∂f∂f
∂x∂x
-2-2 22
→→ ∫∫ -2-2 22 (( ))
ff == 2x2x ++ xx yy ++ gg yy→→ -1-1 22 (( ))
== 2x2x yy ++ g'g' yy == NN == 2x2x y y g' g' yy == 0 0 g g yy == kk
∂f∂f
∂y∂y
-1-1 (( )) -1-1 →→ (( )) →→ (( ))
luego luego ff == 2x2x ++ xx yy ++ kk == 00→→ -1-1 22
 
 con con 2x 2x ++ yy ++ kxkx == 0 0 2x 2x ++ yy == -- kx kx →→ 22 22 →→ 22 22 CC == --kk
 2x 2x ++ yy == CxCx→→ 22 22
la familia de trayectorias ortogonales es: la familia de trayectorias ortogonales es: 2x2x ++ yy == CxCx22 22
11. Determine si existe solución única para el problema de valor inicial : 11. Determine si existe solución única para el problema de valor inicial : con las condiciones con las condiciones y'y' == 1616 -- xx -- yy22 22
 y y yy 00 == 11(( )) y y 44 == 33(( ))
Solución. Solución. Reemplazando el punto Reemplazando el punto 
y'y' == ff xx,, yy ==(( )) 1616 -- xx -- yy22 22
dominio: dominio: 1616 -- xx -- yy ≥≥ 00 xx ++ yy ≤≤ 161622 22 →→ 22 22
 es continua en todo es continua en todo donde donde xx,, yy(( )) 1616 -- xx -- yy ≥≥ 0 0 xx ++ yy ≤≤ 161622 22 →→ 22 22
esto significa que se asegura la existencia de la solución dentro de la circunferencia de centro en el origen y radio 4esto significa que se asegura la existencia de la solución dentro de la circunferencia de centro en el origen y radio 4
Dom f =Dom f = xx,, yy ∈∈ RR // xx ++ yy ≤≤ 16 16 (( )) 22 22 22
Con Con : : por tanto es continua alrededor del punto por tanto es continua alrededor del punto 00,, 11(( )) 00 ++ 11 ≤≤ 16 16 11 ≤≤ 16 16 22 22 →→ 00,, 11(( ))
Con Con : : por tanto NO es continua alrededor del punto por tanto NO es continua alrededor del punto 44,, 33(( )) 44 ++ 33 ≤≤ 16 16 99 ≤≤ 0 0 22 22 →→ 44,, 33(( ))
 
Para (0,1) : garantiza la existenciaPara (0,1) : garantiza la existencia 
Para (4,3) no se garantiza la existenciaPara (4,3) no se garantiza la existencia
para la unicidad : para la unicidad : == --2y2y == -- 
∂f∂f
∂y∂y
11
22
11
1616 -- xx -- yy22 22
(( ))
yy
1616 -- xx -- yy22 22
Dom =Dom = xx,, yy ∈∈ RR // xx ++ yy << 16 16 (( )) 22 22 22
Con Con : : por tanto es continua alrededor del punto por tanto es continua alrededor del punto 00,, 11(( )) 00 ++ 11 << 16 16 11 << 16 16 22 22 →→ 00,, 11(( ))
Con Con : : por tanto NO es continua alrededor del punto por tanto NO es continua alrededor del punto 44,, 33(( )) 44 ++ 33 << 16 16 99 << 0 0 22 22 →→ 44,, 33(( ))
Para (0,1) : garantiza la unicidadPara (0,1) : garantiza la unicidad
Para (4,3) no se garantiza la unicidadPara (4,3) no se garantiza la unicidad
 
-12.5 -10 -7.5 -5 -2.5 2.5 5 7.5 10 12.5 150
-2.5
2.5
5
12. Resolver 12. Resolver 2y sinx2y sinx -- coscos xx dxdx ++ cosx dycosx dy == 0033
Solución.Solución.
Verificamos si es exacta sino lo es , buscamos el factor integrante :Verificamos si es exacta sino lo es , buscamos el factor integrante : 
 NO NO es es EXACTAEXACTA
MM == 2y sinx2y sinx -- coscos xx == 2 sinx2 sinx33 →→
∂M∂M
∂y∂y
NN == cosx cosx == -- sinxsinx→→
∂N∂N
∂x∂x
≠≠
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x
 función de función de == ==
--
--MM
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x 2 sinx2 sinx -- --sinxsinx
-- 2y sinx2y sinx -- coscos xx
(( ))
33
3 sinx3 sinx
-- 2y sinx2y sinx -- coscos xx33
yy
 
 función de función de == ==
--
NN
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x 2 sinx2 sinx -- --sinxsinx
cosxcosx
(( )) 3 sinx3 sinx
cosxcosx
xx
 
entonces el factor integrante es : entonces el factor integrante es : 𝜇𝜇 == ee == e e == ee == cosxcosx
dxdx∫∫
3 sinx3 sinx
cosxcosx -3 ln-3 ln cosxcosx(( )) lnln cosxcosx(( ))
-3-3
(( ))-3-3
cosxcosx 2y sinx2y sinx -- coscos xx dxdx ++ cosxcosx cosx dycosx dy == 00→→ (( ))-3-3 33 (( ))-3-3
2y 2y cosxcosx sinxsinx -- 11 dxdx ++ cosxcosx dy dy == 00→→ (( ))-3-3 (( ))-2-2
 es es EXACTAEXACTA
MM == 2y 2y cosxcosx sinxsinx -- 11 == 2 2 cosxcosx sinxsinx(( ))-3-3 →→
∂M∂M
∂y∂y
(( ))-3-3
NN == cosxcosx == 2 2 cosxcosx sinxsinx(( ))-2-2 →→
∂N∂N
∂x∂x
(( ))-3-3
==
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x
 
es un diferencial exacto: es un diferencial exacto: donde donde dfdf == dx dx ++ dy dy 
∂f∂f
∂x∂x
∂f∂f
∂y∂y
ff xx,, yy == CC(( ))
en nuestro caso en nuestro caso dfdf == M dxM dx ++ N dyN dy
== NN == cosxcosx ff == cosxcosx dydy ++ gg xx
∂f∂f
∂y∂y
(( ))-2-2 →→ ∫∫(( ))-2-2 (( ))
ff == cosxcosx yy ++ gg xx→→ (( ))-2-2 (( ))
== 2y 2y cosxcosx sinx sinx ++ g'g' xx == MM == 2y 2y cosxcosx sinxsinx -- 1 1 g' g' xx == -- 1 1 g g xx == -- xx ++ kk
∂f∂f
∂x∂x
(( ))-3-3 (( )) (( ))-3-3 →→ (( )) →→ (( ))
luego luego ff == cosxcosx yy -- xx ++ k k == 0 0 y y == x x -- kk coscos xx→→ (( ))-2-2 →→ (( )) 22
la solución es : la solución es : y y == x x -- kk coscos xx(( )) 22
13. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia 13. Hallar las trayectorias ortogonales a la familia xx == cycy ++ yy22 22
Solución.Solución.
Derivando implícitamente: Derivando implícitamente: 2x2x == cy'cy' ++ 2yy'2yy'
de la ecuación: de la ecuación: cc ==
xx -- yy
yy
22 22
2x2x == y'y' ++ 2yy'2yy' 2xy 2xy == xx -- yy y'y' ++ 2y2y y'y' 2xy 2xy == xx ++ yy y' y' 
xx -- yy
yy
22 22
→→ 22 22 22 →→ 22 22
en lugar de en lugar de colocamos colocamos : : y'y' --
11
y'y'
2xy2xy == xx ++ yy -- 2xy dy2xy dy -- xx ++ yy dxdx == 0022 22
11
y'y'
→→
22 22
con el cambio ; con el cambio ; yy == uxux dy dy == u dxu dx ++ x dux du→→
2x2x uxux u dxu dx ++ x dux du -- xx ++ uxux dxdx == 00(( )) (( )) 22 (( ))22
2x2x u u u dxu dx ++ x dux du -- xx 11 ++ uu dxdx == 0022 (( )) 22 22
2u 2u u dxu dx ++ x dux du -- 11 ++ uu dxdx == 00(( )) 22
2u2u dx dx ++ 2ux du2ux du -- dxdx -- uu dxdx == 0022 22
 ec. de variables separables ec. de variables separablesuu -- 11 dx dx ++ 2ux du2ux du == 0022
 ++ du du == 00 ln ln xx ++ lnln uu -- 11 == lnln CC ln ln xx uu -- 11 == lnln CC 
dxdx
xx
2u2u
uu -- 1122
→→ (( )) 22 (( )) →→ 22 (( ))
 pero perox x uu -- 11 == CC→→ 22 uu ==
yy
xx
 
 x x -- 11 == CC y y -- xx == CxCx→→
yy
xx
22
→→
22 22
La familia de trayectorias ortogonales es : La familia de trayectorias ortogonales es : yy -- xx == CxCx22 22
 
14. Hallar un factor de integración y resolver la ecuación diferencial :14. Hallar un factor de integración y resolver la ecuación diferencial :
22 3y3y ++ 2y2y ++ 3x3x sinx sinx dxdx -- 3x3x xx ++ 11 ++ 2y2y dydy == 0033 44 22 22
Solución. Solución. Determinamos si es función de Determinamos si es función de o de o de :: xx yy
 NO NO es es EXACTAEXACTA
MM == 22 3y3y ++ 2y2y ++ 3x3x sinx sinx == 66 ++ 12y12y33 44 →→
∂M∂M
∂y∂y
22
NN == --3x3x xx ++ 11 ++ 2y2y == -- 9x9x -- 33 -- 6y6y22 22 →→
∂N∂N
∂x∂x
22 22
≠≠
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x
 función de función de == ==
--
--MM
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x
66 ++ 12y12y -- --9x9x -- 33 -- 6y6y
--22 3y3y ++ 2y2y ++ 3x3x sinx sinx
22 22 22
33 44
99 11 ++ 2y2y ++ xx
--22 3y3y ++ 2y2y ++ 3x3x sinx sinx
22 22
33 44
yy
 
 función de función de == == == --
--
NN
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x
66 ++ 12y12y -- --9x9x -- 33 -- 6y6y
--3x3x xx ++ 11 ++ 2y2y
22 22 22
22 22
99 11 ++ 2y2y ++ xx
--3x3x xx ++ 11 ++ 2y2y
22 22
22 22
33
xx
xx
 
entonces el factor integrante es : entonces el factor integrante es : 𝜇𝜇 == ee == e e == ee == xx
-- dxdx∫∫
 3 3
xx -3 lnx-3 lnx lnln xx
-3-3
-3-3
2x2x 3y3y ++ 2y2y ++ 3x3x sinx sinx dxdx -- 3x3x xx xx ++ 11 ++ 2y2y dydy == 00→→ -3-3 33 44 -3-3 22 22
6x6x yy ++ 4x4x yy ++ 6x sinx6x sinx dxdx -- 33 ++ 3x3x ++ 6x6x yy dydy == 00→→ -3-3 -3-3 33 -2-2 -2-2 22
 es es EXACTAEXACTA
MM == 6x6x yy ++ 4x4x yy ++ 6x sinx 6x sinx == 6x6x ++ 12x12x yy-3-3 -3-3 33 →→
∂M∂M
∂y∂y
-3-3 -3-3 22
NN == -- 33 ++ 3x3x ++ 6x6x yy == 6x6x ++ 12x12x yy-2-2 -2-2 22 →→
∂N∂N
∂x∂x
-3-3 -3-3 22
==
∂M∂M
∂y∂y
∂N∂N
∂x∂x
es un diferencial exacto: es un diferencial exacto: donde donde dfdf == dx dx ++ dy dy 
∂f∂f
∂x∂x
∂f∂f
∂y∂y
ff xx,, yy == CC(( ))
en nuestro caso en nuestro caso dfdf == M dxM dx ++ N dyN dy
== NN == -- 33 -- 3x3x -- 6x6x yy ff == --33 -- 3x3x -- 6x6x yy dydy ++ gg xx
∂f∂f
∂y∂y
-2-2 -2-2 22
→→ ∫∫ -2-2 -2-2 22 (( ))
ff == --3y3y -- 3yx3yx -- 2x2x yy ++ gg xx→→ -2-2 -2-2 33 (( ))
== 6yx6yx ++ 4x4x yy ++ g'g' xx == MM == 6x6x yy ++ 4x4x yy ++ 6x sinx 6x sinx g' g' xx == 6x sinx 6x sinx 
∂f∂f
∂x∂x
-3-3 -3-3 33 (( )) -3-3 -3-3 33 →→ (( ))
 
gg xx == -- 6x cosx6x cosx ++ 6 cosx6 cosx ++ kk(( ))
luego luego ff == --3y3y -- 3yx3yx -- 2x2x yy -- 6x cosx6x cosx ++ 6 cosx6 cosx ++ kk == 00→→ -2-2 -2-2 33
--3x3x yy -- 3y3y -- 2y2y -- 6x6x cosx cosx ++ 6 x6 x cosxcosx ++ kxkx == 0022 33 33 22 22
la solución es : la solución es : 3x3x yy ++ 3y3y ++ 2y2y ++ 6x6x cosx cosx == 6 x6 x cosxcosx ++ kxkx22 33 33 22 22
15. Encontrar los valores de n para que la expresión 15. Encontrar los valores de n para que la expresión sea un diferencial exacto. sea un diferencial exacto.xx ++ tt txtx dt dt -- tt x dxx dx22 22
nn 22 22
SoluciónSolución.. 
Ordenamos el diferencial: Ordenamos el diferencial: xx ++ tt txtx dt dt -- xx ++ tt tt x dxx dx22 22
nn 22 22 22 nn 22
MM == xx ++ tt txtx == 2nx2nx tt xx ++ tt ++ 2xt2xt xx ++ tt 22 22
nn
22
→→
∂M∂M
∂x∂x
33 22 22
n-1n-1
22 22
nn
 == 2xt2xt xx ++ tt nxnx ++ xx ++ tt == 2xt2xt xx ++ tt nn ++ 11 xx ++ tt →→
∂M∂M
∂x∂x
22 22
n-1n-1
22 22 22 22 22
n-1n-1
(( )) 22 22
NN == -- xx ++ tt tt x x == -- 2nt2nt xx xx ++ tt -- 2tx2tx xx ++ tt22 22
nn
22
→→
∂N∂N
∂t∂t
33 22 22
n-1n-1
22 22
nn
 == -- 2tx2tx xx ++ tt ntnt ++ xx ++ tt == -- 2tx2tx xx ++ tt nn ++ 11 tt ++ xx→→
∂N∂N
∂t∂t
22 22
n-1n-1
22 22 22 22 22
n-1n-1
(( )) 22 22
 tiene que ser tiene que ser EXACTAEXACTA==
∂M∂M
∂x∂x
∂N∂N
∂t∂t
 
2xt2xt xx ++ tt nn ++ 11 xx ++ tt == -- 2tx2tx xx ++ tt nn ++ 11 tt ++ xx 22 22
n-1n-1
(( )) 22 22 22 22
n-1n-1
(( )) 22 22
nn ++ 11 xx ++ tt == -- nn ++ 11 tt -- xx(( )) 22 22 (( )) 22 22
comparando coeficientes : comparando coeficientes : en ambos casos vemos que en ambos casos vemos que nn ++ 11 == --11 
11 == --nn -- 11 
nn == --22
por tanto el valor de n=2 para que sea un diferencial exactopor tanto el valor de n=2 para que sea un diferencial exacto
verificando:verificando: 
xx ++ tt txtx dt dt -- xx ++ tt tt x dxx dx22 22
-2-2
22 22 22
-2-2
22
 
MM == xx ++ tt txtx == -- 4x4x tt xx ++ tt ++ 2xt2xt xx ++ tt 22 22
-2-2 22
→→
∂M∂M
∂x∂x
33 22 22 -3-3 22 22 -2-2
 == 2xt2xt xx ++ tt --2x2x ++ xx ++ tt == 2xt2xt xx ++ tt --xx ++ tt →→
∂M∂M
∂x∂x
22 22 -3-3 22 22 22 22 22 -3-3 22 22
NN == -- xx ++ tt tt x x == 4t4t xx xx ++ tt -- 2tx2tx xx ++ tt22 22
-2-2 22
→→
∂N∂N
∂t∂t
33 22 22 -3-3 22 22 -2-2
 == 2tx2tx xx ++ tt 2t2t -- xx ++ tt == 2tx2tx xx ++ tt tt -- xx→→
∂N∂N
∂t∂t
22 22 -3-3 22 22 22 22 22 -3-3 22 22
 ==
∂M∂M
∂x∂x
∂N∂N
∂t∂t
es un diferencial exacto: es un diferencial exacto: donde donde dfdf == dt dt ++ dx dx 
∂f∂f
∂t∂t
∂f∂f
∂x∂x
ff tt,, xx == CC(( ))
15. Considera el Problema de Valores Iniciales 15. Considera el Problema de Valores Iniciales x'x' == tt xx -- tt ++
33(( ))22
xx
tt
 
xx 11 == 00(( )) 
Determine la solución y calcula Determine la solución y calcula . Sugerencia: Puedes usar Riccati o el caso de una edo. homogénea.. Sugerencia: Puedes usar Riccati o el caso de una edo. homogénea.xx 22(( ))
SoluciónSolución. . (1) (1)x'x' == tt xx -- tt ++33(( ))22
xx
tt
Para resolver como una ecuación de Riccati, buscamos una solución primicial: Para resolver como una ecuación de Riccati, buscamos una solución primicial: xx == tt x'x' == 1111 →→ 11
En (1): En (1): verifica verifica11 == tt tt -- tt ++ 11 == 00 ++ 11 11 == 1133(( ))22
tt
tt
→→ →→
El cambio de varibale es : El cambio de varibale es : (2) derivando (2) derivando xx == tt ++
11
zz
x'x' == 11 --
z'z'
zz22
En (1): En (1): 11 -- == tt tt ++ -- tt ++ tt ++
z'z'
zz22
33 11
zz
22
11
tt
11
zz
11 -- == tt ++ tt ++
z'z'
zz22
33 11
zz
22
11
tt
11
tztz
11 -- == tt ++ 11 ++ -- == tt ++ --z'z' == tt ++ 
z'z'
zz22
33 11
zz22
11
tztz
→→
z'z'
zz22
33 11
zz22
11
tztz
→→
33 zz
tt
la ec. lineal es: la ec. lineal es: el factor integrante es : el factor integrante es : z'z' ++ z z == -- tt
11
tt
33 𝜇𝜇 == ee == e e == tt
 dt dt∫∫
11
tt lnln tt(( ))
expresando con sus diferenciales : expresando con sus diferenciales : dzdz ++ z dt z dt == -- tt dt dt
11
tt
33
multipicando por el factor integrante : multipicando por el factor integrante : t dz t dz ++ zdt zdt == --tt dt dt d d zt zt == -- tt dt dt44 →→ (( )) 44
integrando: integrando: dd zt zt == -- tt dt dt zt zt == -- ++ C C zt zt == == ∫∫ (( )) ∫∫ 44 →→ tt
55
55
→→
5C5C -- tt
55
55
→→
11
zz
5t5t
5C5C -- tt55
reemplazando en (2): reemplazando en (2): con la condición con la condición : : xx tt == tt ++(( ))
5t5t
5C5C -- tt55
11,, 00(( )) 00 == 11 ++ 5C 5C -- 11 == --55 5C5C == --44
55 11
5C5C -- 11
(( ))
55
→→ →→
de esa forma : de esa forma : xx tt == tt ++ x x tt == tt --(( ))
5t5t
--44 -- tt55
→→ (( ))
5t5t
44 ++ tt55
Para encontrar Para encontrar xx 22 ::(( )) xx 22 == 22 -- == 22 -- == 22 -- ==(( ))
55 22
44 ++ 22
(( ))
55
1010
3636
55
1818
3131
1818
así el valor buscado es así el valor buscado es xx 22 ==(( ))
3131
1818
 
16. Para la ecuación diferencial 16. Para la ecuación diferencial Calcula el valor de Calcula el valor de para que la ecuación sea exacta, para ese para que la ecuación sea exacta, para ese y'y' ==
3t3t yy -- 2y e2y e
ee -- 2y t 2y t
22 22 atat
atat 33
aa
valor de valor de halla la solución halla la solución que pasa por el punto que pasa por el punto y determina el valor de y determina el valor de ..aa yy == yy tt(( ))11,, 00(( )) yy 22(( ))
SoluciónSolución. Ordenando la ecuación diferencial: . Ordenando la ecuación diferencial: 3t3t yy -- 2y e2y e dt dt -- ee -- 2y t 2y t dydy == 0022 22 atat atat 33
== 6t6t yy -- 2e2e == -- aeae ++ 6t6t y y aa == 2 2 
PP == 3t3t yy -- 2y e2y e22 22 atat == 6t6t yy -- 2e2e→→
∂P∂P
∂y∂y
22 atat
QQ == -- ee -- 2y t 2y tatat 33 == -- aeae ++ 6t6t yy→→
∂Q∂Q
∂t∂t
atat 22
→→
∂P∂P
∂y∂y
∂Q∂Q 
∂t∂t
→→
22 atat atat 22
→→
luego la Ec. Dif. es : luego la Ec. Dif. es : 3t3t yy -- 2y e2y e dt dt -- ee -- 2y t 2y t dydy == 0022 22 2t2t 2t2t 33
donde donde PP == 3t3t yy -- 2y e2y e == ff == 3t3t yy -- 2y e2y e dt dt ++ g g yy == tt yy -- yeye ++ gg yy22 22 2t2t
∂f∂f
∂t∂t
→→ ∫∫ 22 22 2t2t (( )) 33 22 2t2t (( ))
derivando parcialmente con respecto a derivando parcialmente con respecto a : : yy == 2t2t yy -- ee ++ g'g' yy == QQ == -- ee -- 2y t 2y t g'g' yy == 00
∂f∂f
∂y∂y
33 2t2t (( )) atat 33 →→ (( ))
entonces entonces g'g' yy == 00 g g yy == CC(( )) →→ (( ))
ff == tt yy -- yeye ++ CC == 0 0 t t yy -- yeye ++ CC == 0033 22 2t2t →→ 33 22 2t2t
con la condición con la condición : : 11,, 00(( )) 1 1 00 -- 00 ee ++ CC == 00 00 ++ CC == 00 CC == 0033(( ))22 (( )) 22 11(( )) →→ →→
la solución tiene la forma: la solución tiene la forma: tt yy -- yeye == 00 yy tt yy -- ee == 00 yy == 00,, y y ==33 22 2t2t →→ 33 2t2t →→
ee
tt
2t2t
33
Posibles valores para Posibles valores para : : yy 22(( )) yy == 00,, y y ==
ee
88
44
 
17. Hallar la ecuación de la curva para la cual, el segmento interceptado por la tangente en el eje de las abscisas es igual17. Hallar la ecuación de la curva para la cual, el segmento interceptado por la tangente en el eje de las abscisas es igual 
al cuadrado de la ordenada del punto de contacto.al cuadrado de la ordenada del punto de contacto. 
 
SoluciónSolución.. 
Sea Sea el punto +g'de tangencia, donde el punto +g'de tangencia, donde es la abscisa y es la abscisa y es la ordenada. es la ordenada.PP xx ,, yy(( 00 00)) xx 00 yy00
La Ecuación de la recta tangente es : La Ecuación de la recta tangente es : LL :: y y -- yy == y' y' xx -- xxTT 00 (( 00))
Hallemos el punto Hallemos el punto , con , con , intersecta al eje , intersecta al eje : : CC yy == 0 0 OXOX --yy == y' y' xx -- xx xx == xx --00 (( 00)) →→ 00
yy
y'y'
00
así así CC == xx -- ,, 0000
yy
y'y'
00
la longitud del segmento : la longitud del segmento : OCOC == == xx -- || || xx -- -- 00 ++ 00 -- 0000
yy
y'y'
00
22
(( ))22 00
yy
y'y'
00
la propiedad que cumple: "el segmento interceptado por la tangente en el eje de las abscisas es igual al cuadrado de lala propiedad que cumple: "el segmento interceptado por la tangente en el eje de las abscisas es igual al cuadrado de la 
ordenada del punto de contacto" : ordenada del punto de contacto" : xx -- == yy00
yy
y'y'
00 22
00
generalizando tenemos : generalizando tenemos : xx -- == yy
yy
y'y'
22
ordenando la ecuación diferencial : ordenando la ecuación diferencial : xx -- yy == yy y y -- xx == -- yy 
dxdx
dydy
22
→→
dxdx
dydy
22
YY
XX
LLNN
LLTT
xx ,, yy(( 00 00))
AA BB CC
PP
 :: Normal NormalAPAP⏨⏨⏨⏨
 :: Tangente TangenteCPCP⏨⏨⏨⏨
 :: Subnormal SubnormalABAB⏨⏨⏨⏨
 :: Subtangente SubtangenteBCBC⏨⏨⏨⏨
yy == ff xx(( ))
EE
FF
OO
 ecuación diferencial lineal de la forma ecuación diferencial lineal de la forma -- == -- yy→→
dxdx
dydy
xx
yy
 ++ PP yy xx == QQ yy
dxdx
dydy
(( )) (( ))
El factor integrante es : El factor integrante es : 𝜇𝜇 == ee == ee == ee == ee == yyPP yy dydy∫∫ (( ))
-- dydy∫∫
11
yy -ln-ln yy(( )) lnln yy
-1-1
-1-1
yy -- yy == -- yy yy→→ -1-1
dxdx
dydy
-1-1 xx
yy
-1-1
yy -- yy xx == -- 11→→ -1-1
dxdx
dydy
-2-2
yy dx dx -- yy x dyx dy == -- dydy→→ -1-1 -2-2
dd yy xx == -- dydy→→ -1-1
dd yy xx == -- dydy ++ CC→→∫∫ -1-1 ∫∫
 
yy xx == -- yy ++ CC→→ -1-1
xx == --yy ++ CyCy→→ 22
 con con xx ++ yy -- CyCy == 00→→ 22 aa == --CC
la curva que cumple esa propiedad: la curva que cumple esa propiedad: xx ++ yy ++ ayay == 0022
18. La suma de las longitudes de la normal y de la subnormal es igual a la unidad. Hallar la ecuación de la curva,18. La suma de las longitudes de la normal y de la subnormal es igual a la unidad. Hallar la ecuación de la curva, 
sabiendo que ésta pasa por el origen de coordenadas.sabiendo que ésta pasa por el origen de coordenadas. 
SoluciónSolución. Sea . Sea el punto de tangencia, donde el punto de tangencia, donde es la abscisa y es la abscisa y es la ordenada. es la ordenada.PP xx ,, yy(( 00 00)) xx 00 yy00
La Ecuación de la recta normal es : La Ecuación de la recta normal es : LL :: y y -- yy == -- xx -- xxNN 00
11
y'y'
(( 00))
Para hallar Para hallar : hacemos que : hacemos que así que así que AA yy == 00 00 -- yy == -- xx -- xx x x == x x ++ yy y'y'00
11
y'y'
(( 00)) →→ 00 0 0 
AA == xx ++ yy y'y',, 00(( 00 0 0 ))
 
ahora veamos las longitudes de la normal y la subnormal:ahora veamos las longitudes de la normal y la subnormal:
normal: normal: == == == yy||APAP⏨⏨⏨⏨|| xx -- xx -- yy y'y' ++ yy -- 00(( 00 00 0 0 ))22 (( 0 0 ))22 yy y'y' ++ yy(( 0 0 ))22 (( 0 0 ))22 0 0 y'y' ++ 11(( ))22
 
subnormal: subnormal: == == == yy == yy y' y'||ABAB⏨⏨⏨⏨|| xx -- xx -- yy y'y' ++ 00 -- 00(( 00 00 0 0 ))22 (( ))22 yy y'y'(( 0 0 ))22 0 0 y'y'(( ))22 0 0 
 
 es positivo ya que esta en el primer cuadrante, es positivo ya que esta en el primer cuadrante, es positiva cuando esta inclinada a la derecha es positiva cuando esta inclinada a la derechayy0 0 y'y'
propiedad: " La suma de las longitudes de la normal y de la subnormal es igual a la unidad."propiedad: " La suma de las longitudes de la normal y de la subnormal es igual a la unidad."
YY
XX
LLNN
LLTT
xx ,, yy(( 00 00))
AABBCC
PP
 :: Normal NormalAPAP⏨⏨⏨⏨
 :: Tangente TangenteCPCP⏨⏨⏨⏨
 :: Subnormal SubnormalABAB⏨⏨⏨⏨
 :: Subtangente SubtangenteBCBC⏨⏨⏨⏨
yy == ff xx(( ))
EE
FF
OO
++ == 11||APAP⏨⏨⏨⏨|| ||ABAB⏨⏨⏨⏨||
yy ++ yy y' y' == 110 0 y'y' ++ 11(( ))22 0 0 
generalizando: generalizando: yy ++ y y'y y' == 1 1 y y == 1 1 -- y y' y y' y'y' ++ 11(( ))22 →→ y'y' ++ 11(( ))22
elevando al cuadrado:elevando al cuadrado: 
 y y y'y' ++ 11 == 11 -- y y'y y' y y y'y' ++ yy == 11 -- 2y y'2y y' ++ yy y'y' →→ 22 (( ))22 (( ))22 →→ 22(( ))22 22 22(( ))22
 y y == 11 -- 2y y' 2y y' 2y y' 2y y' == 1 1 -- yy →→ 22 →→ 22
ordenando: ordenando: == dxdx == dx dx --lnln 11 -- yy == xx ++ KK
2y dy2y dy
11 -- yy22
→→ ∫∫ 2y dy2y dy
11 -- yy22
∫∫ →→ 22
 
lnln 11 -- yy == -- xx -- KK 1 1 -- yy == ee 22 →→ 22 -x-K-x-K
condición: pasa por el origen condición: pasa por el origen :: 00,, 00(( ))
11 -- 00 == ee ee == 1 1 == ee --KK == 00 K K == 0 0 22 -0-K-0-K →→ -K-K 00 →→ →→
 
11 -- yy == ee →→ 22 -x-x
la curva que cumple esa propiedad es : la curva que cumple esa propiedad es : yy == 11 -- ee22 -x-x
 
19. Si el producto de las distancias de los puntos 19. Si el producto de las distancias de los puntos y y a la tangente de una curva en cualquier punto es una a la tangente de una curva en cualquier punto es una --aa,, 00(( )) aa,, 00(( ))
constante igual a constante igual a . Hallar la ecuación de dicha curva.. Hallar la ecuación de dicha curva.kk
Solución .Solución . Previo recordamos la distancia de un punto P Previo recordamos la distancia de un punto P a una recta a una recta ::hh,, kk(( )) LL :: AxAx ++ ByBy ++ CC == 00
dd PP,, LL ==(( ))
AxAx ++ ByBy ++ CC|| ||
AA ++ BB22 22
Sea Sea el punto de tangencia, donde el punto de tangencia, donde es la abscisa y es la abscisa y es la ordenada. es la ordenada.PP xx ,, yy(( 00 00)) xx 00 yy00
La Ecuación de la recta tangente es : La Ecuación de la recta tangente es : LL :: y y -- yy == y' y' xx -- xx xy'xy' -- yy -- y'xy'x ++ yy == 00TT 00 (( 00)) →→ 00 00
Tomando Tomando y y donde donde PP == --aa,, 0011 (( ))LL :: xy' xy' -- yy -- y'xy'x ++ yy == 0000 00 A A == y'y',, B B == --11
dd == dd PP ,, LL ==11 (( 11 ))
--ay'ay' -- y'xy'x ++ yy|| 00 00 ||
y'y' ++ 11(( ))22
Tomando Tomando y y donde donde PP == aa,, 0022 (( )) LL :: xy' xy' -- yy -- y'xy'x ++ yy == 0000 00 A A == y'y',, B B == --11
dd == dd PP ,, LL ==22 (( 22 ))
ay'ay' -- y'xy'x ++ yy|| 00 00 ||
y'y' ++ 11(( ))22
 
El producto de distancias es igual a una constante k :El producto de distancias es igual a una constante k :
dd dd == == kk11 22
--ay'ay' -- y'xy'x ++ yy|| 00 00 ||
y'y' ++ 11(( ))22
ay'ay' -- y'xy'x ++ yy|| 00 00 ||
y'y' ++ 11(( ))22
== == kk
yy -- y'xy'x -- ay'ay' yy -- y'xy'x ++ ayay||(( 00 00)) || ||(( 00 00)) ||
y'y' ++ 11(( ))22
22
yy -- y'xy'x -- ay'ay'
y'y' ++ 11
||(( 00 00))
22 (( ))22 ||
(( ))22
 
generalizando y además considerando que generalizando y además considerando que ::kk >> 00
YY
XX
dd 11
LLTT
xx ,, yy(( 00 00))
CC
PP00
OO aa,, 00(( ))--aa,, 00(( ))
dd 22
(*}(*}== kk yy -- y'xy'x == kk y'y' ++ 11 ++ ay'ay' yy == xy'xy' ±± 
yy -- y'xy'x -- ay'ay'
y'y' ++ 11
(( ))22 (( ))22
(( ))22
→→ (( ))22 (( ))22 (( ))22 →→ kk ++ aa y'y' ++ kk22 (( ))22
al tratarse de una ecuación de Clairaut, hacemos que al tratarse de una ecuación de Clairaut, hacemos que pp == y'y'
yy == xpxp ±± kk ++ aa pp ++ kk22 22
derivando :derivando :
y'y' == pp ++ xp'xp' ±± p p == pp ++ xp'xp' ±± p'p' xx ±± == 00
11
22
22 kk ++ aa pp'pp'22
kk ++ aa pp ++ kk22 22
→→
kk ++ aa pp'pp'22
kk ++ aa pp ++ kk22 22
→→
kk ++ aa pp22
kk ++ aa pp ++ kk22 22
de donde de donde (1) (1)xx == ∓∓
kk ++ aa pp22
kk ++ aa pp ++ kk22 22
sustituyendo en (*):sustituyendo en (*):
yy == ∓∓ pp ±±
kk ++ aa pp22
kk ++ aa pp ++ kk22 22
kk ++ aa pp ++ kk22 22
 (2) (2)yy == yy == ±±→→
∓∓ kk ++ aa pp ±± kk ++ aa pp ++ kk22 22 22 22
kk ++ aa pp ++ kk22 22
→→
kk
kk ++ aa pp ++ kk22 22
 
relacionando (1) y (2): relacionando (1) y (2): == -- p p == -- 
xx
yy
kk ++ aa pp
kk
22
→→
kxkx
kk ++ aa yy22
 
kk ++ aa pp ++ kk == kk ++ aa -- ++ kk == kk ++ aa ++ kk == ++ kk22 22 22
kxkx
kk ++ aa yy22
22
22 kk xx
kk ++ aa yy
22 22
22
22
22
kk xx
kk ++ aa yy
22 22
22 22
 
kk ++ aa pp ++ kk == ==22 22
kk xx ++ kk kk ++ aa yy
kk ++ aa yy
22 22 22 22
22 22
→→ kk ++ aa pp ++ kk22 22
kk xx ++ kk kk ++ aa yy
kk ++ aa yy
22 22 22 22
22 22
 
en (2): en (2): y y == ±± kk yy == ±± k k kk ++ aa pp ++ kk22 22 →→
kk xx ++ kk kk ++ aa yy
kk ++ aa yy
22 22 22 22
22 22
 
yy == kk kk xx ++ kk kk ++ aa yy == kk ++ aa kk ++ == 1122
kk xx ++ kk kk ++ aa yy
kk ++ aa yy
22 22 22 22
22 22
22
→→
22 22 22 22 22 22
→→
xx
kk ++ aa
22
22
yy
kk
22
la curva que cumple esa propiedad es la familia de elipses : la curva que cumple esa propiedad es la familia de elipses : ++ == 11
xx
kk ++ aa
22
22
yy
kk
22
20. Hallar la ecuación de la curva cuya subtangente es igual a la media aritmética de las coordenadas del punto de20. Hallar la ecuación de la curva cuya subtangente es igual a la media aritmética de las coordenadas del punto de 
contacto (Graficar)contacto (Graficar)
Solución.Solución.
 Sea Sea el punto de tangencia, donde el punto de tangencia, donde es la abscisa y es la abscisa y es la ordenada. es la ordenada.PP xx ,, yy(( 00 00)) xx 00 yy00
YY
XX
LLNN
LLTT
xx ,, yy(( 00 00))
AA BB CC
PP
 :: Normal NormalAPAP⏨⏨⏨⏨
 :: Tangente TangenteCPCP⏨⏨⏨⏨
 :: Subnormal SubnormalABAB⏨⏨⏨⏨
 :: Subtangente SubtangenteBCBC⏨⏨⏨⏨
yy == ff xx(( ))
EE
FF
OO
La Ecuación de la recta tangentel es : La Ecuación de la recta tangentel es : LL :: y y -- yy == y' y' xx -- xxTT 00 (( 00))
Hallemos el punto Hallemos el punto , con , con : : CC yy == 00 --yy == y' y' xx -- xx xx == xx --00 (( 00)) →→ 00
yy
y'y'
00
así así CC == xx -- ,, 0000
yy
y'y'
00
la longitud del segmento de la subtangente: la longitud del segmento de la subtangente: BCBC == == == || || xx -- -- xx ++ 00 -- 0000
yy
y'y'
00
00
22
(( ))22
yy
y'y'
00
22
yy
y'y'
00
la propiedad que cumple: "la longitud de la subtangente es la media aritmética de las coordenadas del punto de contacto:la propiedad que cumple: "la longitud de la subtangente es la media aritmética de las coordenadas del punto de contacto: 
==
yy
y'y'
00 xx ++ yy
22
00 00
generalizando : generalizando : == 2y 2y == y'y' xx ++ yy 
yy
y'y'
xx ++ yy
22
→→ (( ))
2ydx2ydx -- xx ++ yy dydy == 00→→ (( ))
es una ecuación diferencial homogenea con es una ecuación diferencial homogenea con xx == uy uy dx dx == u dy u dy ++ y duy du→→
 
2y2y u dyu dy ++ y duy du -- uyuy ++ yy dydy == 00→→ (( )) (( ))
2y2y u dyu dy ++ y duy du -- yy uu ++ 11 dydy == 00→→ (( )) (( ))
22 u dyu dy ++ y duy du -- uu ++ 11 dydy == 00→→ (( )) (( ))
2u dy2u dy ++ 2y du2y du -- u dy u dy -- dydy == 00→→
 ecuación de variables separables ecuación de variables separables u u -- 11 dydy ++ 2y du2y du == 00→→ (( ))
 con con ++ == 00 ln ln yy ++ 2ln2ln uu -- 11 == lnln CC ln ln yy uu -- 11 == lnln CC→→
dydy
yy
2 du2 du
uu -- 11
→→ (( )) (( )) (( )) →→ (( ))22 (( )) uu ==
xx
yy
 y y uu -- 11 == CC(( ))22
 y y -- 11 == CC xx -- yy == CyCy
xx
yy
22
→→ (( ))22
la curva que cumple esa propiedad es : la curva que cumple esa propiedad es : xx -- yy == CyCy(( ))22