Estatica_4

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1
ESTÁTICA
Propiedades 
Geométricas
Dr. Andrés Blanco Ortega
2
Centroides y centros de 
gravedad
Dr. Andrés Blanco Ortega
3Dr. Andrés Blanco Ortega
Introducción
La tierra ejerce una fuerza gravitacional en cada una de las
partículas que forman un cuerpo. Estas fuerzas pueden
reemplazarse por una fuerza equivalente igual al peso del
cuerpo y aplicado en el centro de gravedad del cuerpo.
El centroide de un área es análogo al centro de gravedad
del cuerpo. El concepto del primer momento de un área es
usado para localizar el centroide.
4Dr. Andrés Blanco Ortega
Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional
Centro de gravedad de una placa y de un alambre
1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
z n
y n n
x n n
F W W W W
M xW x W x W x W
x W x dW
M yW y W y W y W
y W y dW
 D  D  D
 D  D  D
 D 
 D  D  D
 D 


 

 



5Dr. Andrés Blanco Ortega
Centroides de áreas y primeros momentos de área 
   
xQ
QdAyAy
yQ
QdAxAx
dAtxAtx
dWxWx
x
x
y
y
 a respectocon momento primer 
 a respectocon momento primer 











Centroide de un área
placaladeespesort
específicoPeso
tAW
AtW
:
:



DD
6Dr. Andrés Blanco Ortega
Primeros momentos de un área
Son útiles en la mecánica de materiales
para determinar los esfuerzos de corte en
vigas sujetas a cargas transversales.
7Dr. Andrés Blanco Ortega
Primeros momentos de áreas
Un área es simétrica con respecto a un
eje BB’ si para cada punto P existe un
punto P’ tal que PP’ es perpendicular a
BB’ y es dividido en dos partes iguales
por BB’.
El primer momento de un área con
respecto a la línea de simetría es cero.
Si un área posee una línea de la
simetría, su centroide pasa por ese eje.
Si un área posee dos líneas de simetría,
su centroide se encuentra en su cruce.
Un área es simétrica con respecto a su
centro O si para cada elemento dA en
(x,y) existe un área igual dA’ en (-x,-y).
El centroide de área coincide con el
centro de simetría.
8Dr. Andrés Blanco Ortega
9Dr. Andrés Blanco Ortega
10Dr. Andrés Blanco Ortega
Centroides de líneas
11Dr. Andrés Blanco Ortega
Placas compuestas y áreas
Placas compuestas




WyWY
WxWX
Áreas compuestas




AyAY
AxAX
12Dr. Andrés Blanco Ortega
Ejemplo
Para el área plana mostrada en la
figura, determine a) los primeros
momentos con respecto a los eje
x y y b) la ubicación de su
centroide.
SOLUCIÓN:
Divida el área en un triángulo, un
rectángulo, y en el semicírculo con
un recorte circular. (circulo)
Calcule los primeros momentos de
cada área con respecto a los ejes.
Encuentre el área total y los
primeros momentos del triángulo,
del rectángulo, y del semicírculo.
Reste el área y el primero
momento del circulo.
Calcule las coordenadas del
centroide del área dividiendo los
primeros momentos por el área
total.
13Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
33
33
mm107.757
mm102.506


y
x
Q
Q
Primeros momentos de área:
14Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
23
33
mm1013.828
mm107.757





A
Ax
X
mm 8.54X
23
33
mm1013.828
mm102.506





A
Ay
Y
mm 6.36Y
15Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 5.3 y 5.7
Localice el centroide del área plana mostrada en
la figura.
16Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 5.5 y 5.6
Localice el centroide del área plana mostrada en
la figura.
Figura 5.5
Figura 5.6
17Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 5.13 (Beer & Jonhston)
Determine el centroide 
del área mostrada en la 
figura. 
18Dr. Andrés Blanco Ortega
Determinación de centroides por integración
 



ydxxAx
dAxAx el
 ydxyAy
dAyAy el




2




dAydydxydAyAy
dAxdydxxdAxAx
el
el
La integral doble para encontrar los primeros momentos se puede
evitar definiendo dA como un rectángulo delgado.
19Dr. Andrés Blanco Ortega
Determinación de centroides por integración
  





dyxa
xa
dAxAx el
2
  dyxay
dAyAy el




20Dr. Andrés Blanco Ortega
Ejercicio
Determine por integración directa
la localización del centroide de
una enjuta parabólica
SOLUCION:
Determine la constante k
Evalué el área total.
Utilizar elementos diferenciales
verticales u horizontales, realicé
una sola integración para encontrar
los primeros momentos.
Evalué las coordenadas del 
centroide.
21Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema ejemplo:
SOLUCION:
Determine la constante k
21
21
2
2
2
2
2
y
b
a
xorx
a
b
y
a
b
kakb
xky



Calculando el área total
3
3
0
3
2
0
2
2
ab
A
x
a
b
dxx
a
b
dxyA
dAA
aa











22Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
Usando un elemento diferencial vertical, realice la 
integral para encontrar los primeros momentos.
1052
2
1
2
44
2
0
5
4
2
0
2
2
2
2
0
4
2
0
2
2
abx
a
b
dxx
a
b
dxy
y
dAyQ
bax
a
b
dxx
a
b
xdxxydAxQ
a
a
elx
a
a
ely






























23Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
O usando un elemento diferencial horizontal, evalué 
la integral para encontrar los primeros momentos.
 
 
10
42
1
22
2
0
23
21
21
21
2
0
2
2
0
22
ab
dyy
b
a
ay
dyy
b
a
aydyxaydAyQ
ba
dyy
b
a
a
dy
xa
dyxa
xa
dAxQ
b
elx
b
b
ely





























24Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
Encuentre las coordenadas del centroide.
43
2baab
x
QAx y


ax
4
3

103
2abab
y
QAy x


by
10
3

25Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 5.32 (Beer & Jonhston)
Determine por integración
el centroide del área
mostrada en la figura.







yxdydAyQ
xdy
x
dAxQ
dyy
h
a
xdydAA
y
h
a
x
a
h
k
ELx
ELy
h
2
0
3/1
3/1
3/1
3/13
dy
26Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 5.33 y 5.38 (Beer & Jonhston)
Determine por integración el centroide del 
área mostrada en la figura.
27Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 5.37 y 5.40 (Beer & Jonhston) 
Determine por integración el centroide del área
mostrada en la figura.
 



ydxxAx
dAxAx el
 ydxyAy
dAyAy el




2
28Dr. Andrés Blanco Ortega
Teorema de Pappus-Guldinus
Una superficie de revolución se genera mediante 
la rotación de una curva plana con respecto a un 
eje fijo.
Teorema 1: El área de una
superficie de revolución es igual a la
longitud de la curva generatriz
multiplicada por la distancia recorrida
por el centroide de dicha curva al
momento de generar la superficie.
LyA 2
29Dr. Andrés Blanco Ortega
Teorema de Pappus-Guldinus
Un cuerpo de revolución se genera mediante la 
rotación de un área plana alrededor de un eje fijo.
Teorema II: El volumen de un
cuerpo de revolución es igual al
área generatriz multiplicada por
la distancia recorrida por el
centroide del área al momento de
generar el cuerpo.
AyV 2
30Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema ejemplo:
El diámetro exterior de una polea es 0.8 m y la sección transversal de 
su corona es como se muestra en la figura. Se sabe que la polea esta 
hecha de acero y que la densidad de dicho material es
determine la masa y el peso de la corona.
33 mkg 1085.7 
SOLUCION:
Aplique el teorema de Pappus-
Guldinus para evaluar los
volúmenes o revolución para la
sección rectangular de borde y
la sección interior de recorte.
Multiplique por la densidad y por
aceleración para obtener la
masa y la aceleración.
31Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
   3393633 mmm10mm1065.7mkg1085.7  Vm  kg 0.60m
  2sm 81.9kg 0.60 mgW N 589W
Multiplique por la densidad y la aceleración
para obtener la masa y el peso.
32Dr. Andrés Blanco Ortega
Prolema 7.38 (Bedford)
Determine el centroide del área compuesta
mostrada en la figura.
y
x
33Dr. Andrés Blanco Ortega
ySolución
Componente Área (cm2) (cm) (cm) A (cm3) A (cm3)
Rectángulo 4800 40 30 192000 144000
Triangulo 1800 100 20 180000 36000
Sumatoria 6600 372000 180000
x y yx
cm
A
yA
ycm
A
xA
x 2727.27
6600180000
3636.56
6600
372000





34Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 7.40. Bedford
Determine el centroide
del área mostrada en la
figura.
La figura es simétrica
respecto al eje x; por
tanto su centroide debe
pasar por dicho eje,
esto es la coordenada
del centroide es Y = 0
pulg.
35Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución:
Componente Área (pulg2) x (pulg.) y 
(pg) (pg3) (pg3)
(pg) (pg)
Circulo 
mayor
½ πR2
(628.3185)
4R/3π
(8.4882)
0 5333.2930 0
9.9028 0Circulo 
menor
½ πr2
(-157.0796)
4r/3π
(4.2441)
0 -666.6615 0
Sumatoria 471.2389 4666.6315 0
Ax Ay
x y
36Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 5.47 (Beer & Jonhston)
Determine el volumen y el área de la superficie del
sólido que se obtiene al rotar el área de la figura
que se muestra con respecto a: a) el eje x y b) la
línea x=165mm.
37Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 5.48 (Beer & Jonhston)
Determine el volumen y el área de la superficie del
sólido que se obtiene al rotar el área de la figura
que se muestra con respecto a: a) la línea
y=22mm y b) la línea x=12mm.
Solución
b)
38Dr. Andrés Blanco Ortega
L (mm) �� (mm) A=2����(mm2) 
16 8 804.25 
�62 + 122 19 1601.7 
�62 + 92 19 1291.3 
16 8 804.25 
 �2���� 4501.5 
 
39Dr. Andrés Blanco Ortega
Centro de gravedad de un cuerpo 
tridimensional. Centroide de un volumen
Centro de gravedad G
  D jWjW

    
     jWrjWr
jWrjWr


D
D


  rdWWrdWW

Los resultados son independientes de la 
orientación del cuerpo,
  zdWWzydWWyxdWWx
  zdVVzydVVyxdVVx
dVdWVW   y 
Para cuerpos homogéneos:
40Dr. Andrés Blanco Ortega
Centroides de formas y volúmenes comunes
41Dr. Andrés Blanco Ortega
42Dr. Andrés Blanco Ortega
Cuerpos compuestos – 3D
El momento del peso total concentrado en
el centro de gravedad G es igual a la suma
de los momentos de los pesos de cada
componente.






WzWZ
WyWY
WxWX
Para cuerpos homogéneos:






VzVZ
VyVY
VxVX
43Dr. Andrés Blanco Ortega
Ejercicio
Localice el centro de gravedad del elemento de
una máquina hecho de acero que se muestra en la
figura. El diámetro de cada agujero es 1pg.
44Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
45Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
   34 in .2865in 048.3  VVxX
   34 in .2865in 5.047  VVyY
   34 in .2865in .5558  VVzZ
in. 577.0X
in.955.0Y
in. 618.1Z
46Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 5.98 (Beer & Jonhston)
Para la ménsula de tope que se muestra en la
figura, localice la coordenada x del centro de
gravedad.
47Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 5.91 (Beer & Jonhston)
Determine la coordenada y del centroide del
cuerpo mostrado en la figura.
48Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 5.101 (Beer & Jonhston)
Un soporte para componentes electrónicos se forma a
partir de una hoja de metal de espesor uniforme. Localice
el centro de gravedad del soporte.
NOTA: Para un cuerpo hecho de
varias placas que tienen el mismo
espesor (V=tA), las ecuaciones del
centroide de un volumen se expresan
como:






AzAZ
AyAY
AxAX
49
Momentos de Inercia
Dr. Andrés Blanco Ortega
50Dr. Andrés Blanco Ortega
Introducción
Las cantidades de momentos de inercia aparecen con
frecuencia en los análisis de problemas de ingeniería. Por
ejemplo, los momentos de inercia de áreas se utilizan en el
estudio de fuerzas distribuidas y en el cálculo de
deflexiones de vigas. En dinámica, los momentos de
inercia de masa se usan para calcular los movimientos
rotatorios de objetos.
51Dr. Andrés Blanco Ortega
Momentos de Inercia
Los momentos de inercia de un área son integrales de
forma similar a las usadas para determinar el centroide de
un área.
Momento de inercia respecto al eje x:
Momento de inercia respecto al eje y
Producto de inercia
Momento Polar de Inercia
 dAyI x
2
 dAxI y
2
 xydAI xy
 dArJ
2
0
  yx IIJyxr  0222
52Dr. Andrés Blanco Ortega
Introducción
Considere una viga de sección
transversal uniforme, la cual está
sometida a dos pares iguales y
opuestos que están aplicados en
cada uno de los extremos de la
viga.
La magnitud de la resultante R de
las fuerzas elementales DF que
actúan sobre toda sección es:
La magnitud M del momento
flector debe ser igual a la suma
de los momentos Mx=yDF=ky
2DA
de las fuerzas elementales. Al
integrar sobre toda la sección se
tiene:
momentoPrimer 
0


DD


xQdAy
dAykR
AkyF

momento Segundo 2
2




dAy
dAykM
53Dr. Andrés Blanco Ortega
Momento de inercia de un área por 
integración
Los momentos de inercia del área A con respecto al eje x y
y, se escriben:
Estas integrales son conocidas como los momentos
rectangulares de inercia del área A.
  dAxIdAyI yx
22
54Dr. Andrés Blanco Ortega
Momento de inercia de un área por 
integración
Considerando una tira rectangular paralela al eje y, los
momentos de inercia están dados por:
dxyxdAxdIdxydI yx
223
3
1 
55Dr. Andrés Blanco Ortega
Momentos de inercia de un área
El momento de inercia de un rectángulo con respecto a su
base se obtiene dividiendo el rectángulo en tiras paralelas
al eje x:
3
3
1
0
22
2
bhbdyydAyI
bdyydI
bdydA
h
x
x




56Dr. Andrés Blanco Ortega
Momento polar de inercia
El momento polar de inercia es un parámetro importante
en los problemas relacionados con la torsión de flechas
cilíndricas y en los problemas relacionados con la rotación
de placas, y está dado por:
El momento polar de inercia puede calcularse a partir de
los momentos rectangulares de inercia:
 dArJ
2
0
 
xy IIJ
dAydAxdAyxdArJ

 
0
22222
0
57Dr. Andrés Blanco Ortega
Radio de giro de un área
Considere un área que tiene
un momento de inercia Ix con
respecto al eje x
Imagine que se ha
concentrado esta área en una
tira delgada paralela al eje x.
Si el área A, concentrada de
esta forma, debe tener el
mismo momento de inercia
con respecto al eje x
kx se conoce como el radio de
giro del área con respecto al
eje x.
A
I
kAkI xxxx 
2
58Dr. Andrés Blanco Ortega
Radio de giro de un área
En forma similar, se pueden definir los
radios de giro ky y k0:
A
J
kAkJ
A
I
kAkI
O
OOO
y
yyy


2
2
222
yxO kkk 
59Dr. Andrés Blanco Ortega
Ejercicio
Determine el momento de
inercia de un triángulo
con respecto a su base.
SOLUCIÓN:
Se selecciona dA como una tira diferencial paralela 
al eje x.
dyldAdAydI x 
2
De triángulos semejantes
dy
h
yh
bdA
h
yh
bl
h
yh
b
l 





Integrando dIx desde y = 0 hasta y = h,
 
h
x
hh
x
yy
h
h
b
I
dyyhy
h
b
dy
h
yh
bydAyI
0
43
0
32
0
22
43 







 
12
3bh
I x
60Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 9.1 y 9.2 (Beer & Johnston)
Para el área sombreada mostrada en la figura, determine
por integración directa los momentos de inercia con
respecto al eje y.
61Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 9.15 y 9.16 (Beer & Johnston)
Para el área sombreada mostrada en la figura,
determine el momento de inercia y el radio de giro
con respecto al eje x.
62Dr. Andrés Blanco Ortega
Teorema de los ejes paralelos
Considere el momento de
inercia I de un área con
respecto a un eje AA’. Si se
representa con y la
distancia desde un
elemento de área dA hasta
AA’, se escribe:
Ahora se dibuja a través del
centroide C del área un eje
BB’ que es paralelo a AA’,
llamando eje centroidal.
 dAyI
2
 




dAddAyddAyI
dAdydAyI
22
22
2
2AdII 
63Dr. Andrés Blanco Ortega
Teorema de los ejes paralelos
64Dr. Andrés Blanco Ortega
Teorema de ejes paralelos
Momento de inercia IT de un área circular con
respecto a una tangente al círculo.
 
4
4
5
224
4
12
rI
rrrAdII
T
T




Momento de inercia de un triángulo con respecto 
a un eje centroidal.
 
3
36
1
2
3
1
2
13
12
12
2
bhI
hbhbhAdII
AdII
BB
AABB
BBAA






65Dr. Andrés Blanco Ortega
Momentos de áreas compuestas
El momento de inercia de A con respecto a un eje dadose
obtiene sumando los momentos de áreas A1, A2, A3, …,
con respecto al mismo eje.
66Dr. Andrés Blanco Ortega
Momentos de inercia 
67Dr. Andrés Blanco Ortega
Ejercicio
Determine el
momento de inercia
del área sombreada
con respecto al eje x.
SOLUCIÓN:
El momento de inercia
del área sombreada se
obtienen al substraer el
momento de inercia del
semicírculo al momento
de inercia del
rectángulo.
68Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
Calcular el momento del rectángulo y del 
semicírculo con respecto al eje x.
Rectángulo:
   46
3
13
3
1 mm102.138120240  bhIx
Semicírculo: 
momento de inercia con respecto a AA’,
  464
8
14
8
1 mm1076.2590  rI AA
  
 
23
2
2
12
2
1
mm1072.12
90
mm 81.8a-120b
mm 2.38
3
904
3
4






rA
r
a
momento de inercia con respecto a x’,
  
46
362
mm1020.7
1072.121076.25

  AaII AAx
momento de inercia con respecto a x,
  
46
2362
mm103.92
8.811072.121020.7

  AbII xx
69Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
El momento de inercia del área sombreada se
obtienen al substraer el momento de inercia del
semicírculo al momento de inercia del rectángulo.
46 mm109.45 xI
xI46 mm102.138   46 mm103.92 
70Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 9.32 (Beer & Johnston)
Para el área sombreada
mostrada en la figura,
determine el momento
de inercia y el radio de
giro del área con
respecto al eje x.
Solución
71Dr. Andrés Blanco Ortega
I1  112 bh
3
I1  112 0.10.12
3
I1  1. 44  105 m4
I2  112 bh
3  Ad2
I2  112 0.080.04
3  0.08  0.040.042
I2  5. 546 7  106 m4
I3  112 bh
3  Ad2
I3  112 0.080.02
3  0.08  0.020.032
I3  1. 4933  106 m4
IT  I1  I2  I3
IT  7. 36  106 m4
1I 3I2I
72Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 9.36 (Beer & Johnston)
Para el área sombreada
mostrada en la figura,
determine los
momentos de inercia
con respecto a los ejes
x y y.
73Dr. Andrés Blanco Ortega
Momentos de inercia de masas
Una pequeña masa Δm gira alrededor del eje
AA’ con una aceleración angular debido a la
aplicación de un par, la velocidad de rotación es
proporcional a r2Dm.
r2Dm = momento de inercia de la masa Dm
con respecto al eje AA’
Para un cuerpo de masa m la resistencia a la
rotación respecto al eje AA’ es
masa de inercia de momento2
2
3
2
2
2
1

DDD
 dmr
mrmrmrI 
El radio de giro k del cuerpo con respecto al eje
AA´ esta dado por la relación.
m
I
kmkI  2
74Dr. Andrés Blanco Ortega
Momento de inercia de masas
El momento de inercia con respecto al eje y es:
   dmxzdmrI y 222
De manera similar el momento de inercia con
respecto a los ejes x y z son,
 
 



dmyxI
dmzyI
z
x
22
22
En unidades del SI
 22 mkg   dmrI
En unidades del Sistema ingles
   22
2
2 sftlbft
ft
slb
ftslugI 







 

75Dr. Andrés Blanco Ortega
Teorema de los ejes paralelos
Para ejes coordenados con origen en O y ejes 
centroidales paralelos,
      
   



dmzydmzzdmyydmzy
dmzzyydmzyI x
2222
2222
22
 22 zymII xx  
 
 22
22
yxmII
xzmII
zz
yy




Generalizando para cualquier eje AA’ y para un eje 
centroidal paralelo,
2mdII 
76Dr. Andrés Blanco Ortega
Momentos de inercia de geometrías comunes
77Dr. Andrés Blanco Ortega
Ejemplo
Determine los
momentos de inercia
de la pieza de acero,
mostrada en la figura,
con respecto a los ejes
x, y y z, si el peso
especifico del acero es
de 490 lb/ft3.
78Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
  
  
ftslb0829.0
sft2.32ftin1728
in31lb/ft490
cilindro cada
2
233
323



m
g
V
m

 
         
23
2
12
5.22
12
32
12
1
12
1
222
12
1
sftlb1017.4
0829.030829.0
3




y
y
y
I
I
xmLamI
   
             
23
2
12
22
12
5.22
12
32
12
1
12
1
2222
12
1
sftlb1048.6
0829.030829.0
3




z
z
z
I
I
yxmLamI
     
23
2
12
22
12
1
2
1
22
2
1
sftlb1059.2
0829.00829.0




x
x
x
I
I
ymmaI
cilindros   :in.2.,in5.2.,in3,.in1  yxLaCalcular los momento de
inercia de cada una de las
partes que constituyen la
pieza con respecto a los ejes
x, y y z
79Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
  
  
ftslb211.0
sft2.32ftin1728
in622lb/ft490
 :prisma
2
233
33



m
g
V
m

prisma (a = 2 in., b = 6 in., c = 2 in.):
        
23
2
12
22
12
6
12
122
12
1
sftlb 1088.4
211.0



x
zx
I
cbmII
        
23
2
12
22
12
2
12
122
12
1
sftlb 10977.0
211.0



y
y
I
acmI
Sumar los momentos de inercia de los
componentes para determinar los momentos de
inercia totales.
 33 1059.221088.4  xI
23 sftlb1006.10  xI
 33 1017.4210977.0  yI
23 sftlb1032.9  yI
 33 1048.621088.4  zI
23 sftlb1084.17  zI
80Dr. Andrés Blanco Ortega
Ejercicio
Determine el momento de
inercia del cilindro, en torno
al eje z.
donde:
y, por lo tanto,
   
lRdz
R
I
dzRRdzRdmRdI
l
l
z
z
4
2/
2/
4
4222
22
2
1
2
1
2
1





lRm 2
2
2
1
mRIz 
81Dr. Andrés Blanco Ortega
Ejercicio
Determine el momento de inercia
del cilindro, en torno al eje z, eje
que se encuentra en uno de los
extremos de la barra.
Aplicando el teorema de ejes
paralelos:
y, por lo tanto,
2mdII Czz 
3212
222 mLL
m
mL
I z 






82Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 9.116 (Beer & Johnston)
En la figura se muestra un componente de máquina que
fue cortado de una placa delgada uniforme.
Representando con m la masa del componente, determine
su momento de inercia de masa con respecto a: a) el eje
centroidal BB’ y b) el eje centroidal CC’ perpendicular al
plano que contiene al componente.
83Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 9.122 (Beer & Johnston)
Suponga que el cilindro circular recto mostrado en
la figura tiene densidad uniforme y una masa m,
determine por integración directa su momento de
inercia de masa con respecto al eje z.
84Dr. Andrés Blanco Ortega
Solución
Para el cilindro:
Para un elemento de
disco delgado:
Aplicando el teorema de
ejes paralelos:
Considerando el momento de
inercia de un disco delgado:laVm 2 
dx
L
m
dxadm  2
dmxIddI zz
2























 
32
0
32
0
22
3
1
4
1
3
1
4
1
4
1
LLa
L
m
xxa
L
m
I
dx
L
m
xadII
L
z
L
zz
 22 43
12
La
m
I z 
85Dr. Andrés Blanco Ortega
Problema 9.144 (Beer & Johnston)
Para el elemento de máquina de acero mostrado en la
figura. determine el momento de inercia de masa con
respecto al eje y. (La densidad del acero es de 7850kg/m3.)
Bilbliografía
1. Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática, Beer,
Johnston, Elisenberg
México, 2005. Séptima edición. Mc Graw Hill. ISBN:
970-10-4469-X.
2. Mecánica Vectorial para Ingenieros – Estática, Russel
Hibbeler, México, 2004. Decimal edición, Pearson
Education - Prentice Hall. ISBN: 970-26-0501-6.
3. Estática - Mecánica para Ingeniería, Bedford/Fowler
México, 2000. Prentice Hall – Addison Wesley. ISBN:
968-444-398-6.
4. Engineering Mechanics – Statics, Merian/Kraige
Fifth edition, 2002. John Wiley & Sons, Inc. ISBN: 0-471-
40645-5.
86Dr. Andrés Blanco Ortega