Determinar centros de gravedad, centros de masa y centroides de volúmenes, áreas y líneas.

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MECÁNICA I 
UNIDAD 2 
 
 
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Introducción 
La fuerza más corriente que actúa sobre un cuerpo es su propio peso. En todo cuerpo, 
por irregular que sea existe un punto en el que puede considerarse concentrado todo su 
peso, este punto es considerado el centro de gravedad G. Puede ser un punto interior o 
exterior del cuerpo que se considere. 
El conocimiento de la posición del centro de gravedad es de suma importancia en la 
resolución de problemas de equilibrio porque son los puntos de aplicación de los vecto-
res representativos de los respectivos pesos. 
Objetivos 
General 
− Determinar centros de gravedad, centros de masa y centroides de volúmenes, 
áreas y líneas. 
Específicos 
− Determinar el centro de gravedad de un cuerpo tridimensional. 
− Determinar el centro de gravedad de una figura. 
− Aplicar el momento estático de un área en la solución de situaciones problémi-
cas. 
− Identificar similitudes y diferencias entre centro de gravedad, centro estatico y 
centroide. 
 
 
 
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2.1. Introducción. 
Hasta ahora se ha supuesto que la atracción ejercida por la Tierra sobre un cuerpo rígido 
podía representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada fuerza de grave-
dad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo. De hecho, 
la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. 
En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un 
gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. (Beer et al, 2010). 
2.2 Centro de gravedad 
El centro de gravedad G es el punto donde se ubica la fuerza resultante denominada 
peso de un cuerpo que está compuesto por un número enorme de partículas. 
Es el punto respecto al cual las fuerzas que la gravedad ejerce sobre las diferentes 
partículas que constituyen un cuerpo producen un momento resultante nulo (dicho punto 
no necesariamente corresponde a un punto material del cuerpo, ya que puede estar 
situado fuera de él. En el caso de una esfera hueca, G está situado en el centro de la 
esfera que, obviamente, no pertenece al cuerpo). 
En otras palabras, el centro de gravedad de un cuerpo es el punto de aplicación de la 
resultante de todas las fuerzas que la gravedad ejerce sobre las diferentes partículas 
que constituyen el cuerpo. 
2.2.1 Centro de gravedad de un cuerpo 
Figura 1: Centro de gravedad de un cuerpo tridimensional. 
 
Fuente: Beer, F. P. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. 
El centro de gravedad G de un cuerpo tridimensional se obtiene dividiendo el cuerpo en 
pequeños elementos y expresando que el peso W del cuerpo actuando en G es equiva-
lente al sistema de fuerzas distribuidas W que representan a los pesos de los elementos 
pequeños. 
Al seleccionar al eje y vertical con un sentido positivo hacia arriba y representar con 𝑟 al 
vector de posición de G, se escribe que W es igual a la suma de los pesos elementales 
 
 
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W y que su momento con respecto a O es igual a la su ma de los momentos con respecto 
a O de los pesos elementales. 
 
 
Se observa que el peso W del cuerpo es equivalente al sistema de pesos elementales 
W si se cumplen las siguientes condiciones: 
 
Si se incrementa el número de elementos y al mismo tiempo se disminuye el tamaño de 
cada uno de ellos, se obtiene en el límite 
 
Descomponiendo los vectores 𝑟 y r en sus componentes rectangulares, se observa que 
la relación 
 
Es equivalente a las tres ecuaciones escalares que se presentan a continuación 
 
Si el cuerpo está hecho de un material homogéneo de peso específico, la magnitud dW 
del peso de un elemento infinitesimal se puede expresar en términos del volumen dV de 
dicho elemento y la magnitud W del peso total puede expresarse en términos del volu-
men total V. Así, se escribe 
 
Sustituyendo a dW y a W en la relación 
 
Se escribe 
 
O, en forma escalar, 
 
El punto cuyas coordenadas son 𝑥, �⃗� y 𝑧 también se conoce como el centroide C del 
volumen V del cuerpo. Si el cuerpo no es homogéneo, las ecuaciones no pueden utili-
zarse para determinar el centro de gravedad del mismo; sin embargo, aún definen al 
centroide de su volumen. 
 
 
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La integral ∫x dV se conoce como el primer momento del volumen con respecto al plano 
yz. De manera análoga, las integrales ∫y dV y ∫z dV definen, respectivamente, los prime-
ros momentos del volumen con respecto al plano zx y al plano xy. A partir de las ecua-
ciones anteriores se observa que si el centroide de un volumen está localizado en un 
plano coordenado, el primer momento del volumen con respecto a dicho plano es igual 
a cero. (Beer et al, 2010). 
Figura 2: Centroides de formas y volúmenes comunes. 
 
 
 
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Fuente: Beer, F. P. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. 
2.2.2 Centro de gravedad de un cuerpo bi-
dimensional. 
Considere una placa plana horizontal. La placa puede dividirse en n elementos peque-
ños. 
Figura 3: Centro de gravedad de un cuerpo bidimensional. 
 
Fuente: Beer, (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. 
 
 
 
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Las coordenadas del primer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo ele-
mento se representan con x2 y y2,. . ., xn y yn. 
Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, 
respectivamente, con ΔW1, ΔW2,. . ., ΔWn. 
Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para 
todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas y por 
tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. 
La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los 
pesos de los elementos: 
 
Para obtener las coordenadas x y y del punto G, donde debe aplicarse la resultante W, 
se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes y y x son iguales a la suma 
de los momentos correspondientes de los pesos elementales, esto es 
 
Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y 
simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, 
las siguientes expresiones: 
 
Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x y y del centro de gravedad G 
de una placa plana. (Beer et al, 2010). 
2.2.3 Centro de gravedad de un alambre 
Figura 4: Centro de gravedad de un alambre. 
 
Fuente: Beer, F. P. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. 
 
 
 
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Se pueden derivar las mismas ecuaciones para un alambre que se encuentra en el plano 
xy. 
Se observa que usualmente el centro de gravedad G de un alambre no está localizado 
sobre este último. (Beer et al, 2010). 
2.2.4 Centro estático 
También conocido como Centro de masa. Siempre que la aceleración de la gravedad 
sea constante el Centro de masas se encuentra en el mismo punto que el Centro de 
gravedad G. 
El Centro de masas coincide con el Centro de gravedad sólo si el campo gravitatorio es 
uniforme; es decir, viene dado en todos los puntos del campo gravitatorio por un vector 
de magnitud y dirección constante. 
Considerando, a los efectos de nuestros cálculos de ingeniería, que la acción de la gra-
vedad es constante el centro estático de una placa coincidirá con su centro de gravedad 
2.2.5 Centroide 
Es el punto que define el centro geométrico de un objeto. El centro geométrico o cen-
troide de un cuerpo material coincide con el centro de masa si el objeto es homogéneo 
(densidad uniforme) o si la distribución de materia en el objeto tiene ciertas propiedades, 
tales como simetría. 
Resumiendo: 
Considerando constante la acción de la gravedad y materiales homogéneos puede con-
siderarse que Centro de gravedad, Centro de masa (Centro estático)y Centro geomé-
trico (Centroide) coinciden en el mismo punto. 
2.2.6 Centroide de áreas y líneas 
En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud ΔW del 
peso de un elemento de la placa puede expresarse como: 
ΔW =γ t ΔA 
Donde γ = peso específico (peso por unidad de volumen) del material. 
 t = espesor de la placa. 
 ΔA = área del elemento (partícula). 
En forma similar, se puede expresar la magnitud W del peso de toda la placa como: 
W = γ t A 
Donde A es el área total de la placa. 
Si se sustituye a ΔW y a W en las ecuaciones de momento 
 
 
 
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Definidas para determinar las coordenadas del centro de gravedad y se divide a todos 
los términos entre γ t, se obtiene: 
 
Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultá-
neamente se disminuye el tamaño de cada elemento, se obtiene en el límite: 
 
Estas ecuaciones definen las coordenadas 𝑥 y 𝑦 del centro de gravedad de una placa 
homogénea. El punto cuyas coordenadas son 𝑥 y 𝑦 también se conoce como el cen-
troide C del Área A de la placa. 
En el caso de un alambre homogéneo de sección transversal uniforme, la magnitud ΔW 
del peso de un elemento de alambre puede expresarse como: 
 
 Dónde: 
 γ = Peso específico del material. 
 A = Área de la sección transversal del alambre. 
 ΔL = Longitud del elemento. 
 
Figura 5: Centroide de un área. 
 
 
 
Fuente: Beer, F. P. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. 
 
 
 
 
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Figura 6: Centroide de una línea. 
 
Fuente: Beer, F. P. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. 
El centro de gravedad de un alambre coincide con el centroide C de la línea L que define 
la forma del alambre. Las coordenadas x y y del centroide de la línea L se obtienen a 
partir de las ecuaciones. (Beer et al, 2010). 
2.3 Composiciones de cuerpos y 
figuras 
Si un cuerpo puede dividirse en varias de las formas comunes mostradas en la figura 
2, su centro de gravedad G puede determinarse al expresar que el momento con res-
pecto a O de su peso total es igual a la suma de los momentos con respecto a O de los 
pesos de las diferentes partes que lo componen. 
Se obtienen las siguientes ecuaciones que definen las coordenadas �⃗�, �⃗⃗� y 𝑍 del centro 
de gravedad G de un cuerpo. 
 
Si el cuerpo está hecho de un material homogéneo, su centro de gravedad coincide con 
el centroide de su volumen y se obtiene: 
 
En muchos casos, una placa plana (figura) puede dividirse en rectángulos, triángulos u 
otras de las formas comunes. 
La abscisa X de su centro de gravedad G puede determinarse a partir de las abscisas 
x1, x2,. . ., xn de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la placa, 
 
 
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expresando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje y es igual a 
la suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese 
mismo eje (Figura siguiente). La ordenada Y del centro de gravedad de la placa se en-
cuentra de una forma similar, igualando momentos con respecto al eje x. Así, se escribe: 
 
O en forma condensada, 
 
Estas ecuaciones se pueden resolver para las coordenadas �⃗� y �⃗⃗� del centro de grave-
dad de la placa. (Beer et al, 2010). 
 
Figura 7: Centro de gravedad de una placa compuesta. 
 
 
 
Fuente: Beer, F. P. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. 
2.4 Momento estático de un área 
Momento estático: También conocido como primer momento de área o momento de 
primer orden es una magnitud geométrica que se define para un área plana. 
El momento estático coincide con el producto del área total multiplicado por la distancia 
entre el punto considerado al centroide del área. 
La integral ∫ x dA en las ecuaciones 
 
 
 
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Vistas anteriormente, se conoce como el primer momento del área A con respecto al eje 
y y se representa con Qy. En forma similar, la integral ∫ y dA define el primer momento 
de A con respecto al eje x y se representa con Qx. Así se escribe: 
 
Si comparamos ambas ecuaciones, se observa que los primeros momentos del área A 
pueden ser expresados como los productos del área con las coordenadas de su cen-
troide: 
 
A partir de estas ecuaciones se concluye que las coordenadas del centroide de un área 
pueden obtenerse al dividir los primeros momentos de dicha área entre el área misma. 
Los primeros momentos de un área también son útiles en la Resistencia de Materiales 
para determinar los esfuerzos de corte en vigas sujetas a cargas transversales. (Beer et 
al, 2010). 
Figura 8: Centroides de áreas comunes. 
 
 
Fuente: Beer, (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. 
 
 
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Figura 9: Centroides de formas comunes de líneas. 
 
Fuente: Beer, (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. 
 
Figura 10: Áreas y perímetros de figuras planas. 
 
Fuente: Elaboración propia, (2022). 
 
 
 
 
 
 
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2.4.1 Problemas resueltos de centroide y 
momento estático de área 
 
 
 
 
 
 
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2.5 Teoremas de Pappus – 
Guldinus 
Una superficie de revolución se genera mediante la rotación de una curva plana con 
respecto a un eje fıjo. 
Figura 11. 
 
Fuente: Beer, F. P. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. 
Por ejemplo (figura 11), se puede obtener la superficie de una esfera rotando un arco 
semicircular ABC con respecto al diámetro AC; se puede producir la superficie de un 
cono rotando una línea recta AB con respecto a un eje AC y se puede generar la super-
ficie de un toroide o anillo rotando la circunferencia de un círculo con respecto a un eje 
que no interseca a dicha circunferencia. Un cuerpo de revolución se genera mediante la 
rotación de un área plana alrededor de un eje fıjo. Como se muestra en la fıgura 12, se 
puede generar una esfera, un cono y un toroide rotando la forma apropiada con respecto 
al eje que se indica. 
Figura 12. 
 
Fuente: Beer, F. P. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros. 
Teorema I. El área de una superficie de revolución es igual a la longitud de la curva 
generatriz multiplicada por la distancia recorrida por el centroide de dicha curva al mo-
mento de generar la superficie. 
Teorema II. El volumen de un cuerpo de revolución es igual al área generatriz multipli-
cada por la distancia recorrida por el centroide del área al momento de generar el 
cuerpo. 
 
 
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Los teoremas de Pappus-Guldinus proporcionan una forma sencilla de calcular las áreas 
de superficies de revolución y los volúmenes de cuerpos de revolución. 
2.6 Centroide de un volumen 
Como se explicó en 2.2.1: 
Si el cuerpo está hecho de un material homogéneo de peso específico, la magnitud dW 
del peso de un elemento infinitesimal se puede expresar en términos del volumen dV de 
dicho elemento y la magnitud W del peso total puede expresarse en términos del volu-
men total V. Así, se escribe 
 
Sustituyendo a dW y a W en la relación 
 
Se escribe 
 
O, en forma escalar, 
 
El punto cuyas coordenadas son 𝑥, �⃗� y 𝑧 también se conoce como el centroide C del 
volumen V del cuerpo. Si el cuerpo no es homogéneo, las ecuaciones no pueden utili-
zarse para determinar el centro de gravedad del mismo; sin embargo, aún definen al 
centroide de su volumen. 
2.6.1 Problemas resueltos de 
centroide de un volumen 
 
 
 
 
 
 
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Referencias bibliográficas 
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Para Ingenieros Estática, 9na. Edición, Editorial McGraw – Hill. México. 
2- Bibliografía Complementaria 
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Editorial Reverté S.A. 
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