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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍAUNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y MetalúrgicaMetalúrgica
ESTATICA ESTATICA Y Y DIMAMICA DIMAMICA 11
Integrantes:Integrantes:
   Menzala Menzala Villafranca AVillafranca Alejandro lejandro 20160606I20160606I
   Monrroy Quijahuaman Andy 20174018GMonrroy Quijahuaman Andy 20174018G
   Marroquín Marroquín Pacheco Frank Pacheco Frank Diego Diego 20151166J20151166J

   Mendoza Mendoza Francisco Francisco Miler Miler 20160198H20160198H
   Meza Basilio Ronaldo 20161166BMeza Basilio Ronaldo 20161166B
PROBLEMA 1PROBLEMA 1
Un tablero Un tablero de de anuncio de anuncio de densidad uniforme pesa densidad uniforme pesa 600N 600N y está y está apoyado porapoyado por una rótula enuna rótula en  “A”“A” (A(AXX;;
AAYY; ; AAZZ) ) y y por por dos dos cables. cables. (a= (a= 30cm; 30cm; b=20cm; b=20cm; c= c= 80cm; 80cm; d= d= 40cm; 40cm; e=60cm; e=60cm; f=20cm; f=20cm; h= h= 50cm).50cm).
Determinar:Determinar:
a) La maa) La magnitud de la tensiógnitud de la tensión en cable n en cable EC;EC;
 b) La mag b) La magnitud de la tensión enitud de la tensión en el cable BDn el cable BD
c) La reacción enc) La reacción en la rótula “la rótula “AA” (” (AAXX; A; AYY;A;AZZ););
SoluciónSolución::
Paso 1Paso 1: puntos: puntos
  
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ESTATICA ESTATICA Y Y DIMAMICA DIMAMICA 22
   == 0;0;00;0;0   =0;40;80=0;40;80   == 80;0;080;0;0   = 60;0;0= 60;0;0  =0;30;20=0;30;20   =40;25;0=40;25;0  
Paso 2Paso 2: Hallando los : Hallando los vectores unitariosvectores unitarios ⃗⃗   ⃗⃗ ==   ⃗⃗  == −;;−−;;−    ⃗⃗  == −;;−;;   
Paso 3Paso 3: Vector posición: Vector posición    =40;25;0=40;25;0    =80;0;0=80;0;0   =60;0;0=60;0;0  
Paso 4Paso 4: Vamos aplicar momento respecto “A”: Vamos aplicar momento respecto “A”  
  == 00  ⃗⃗ ++ ⃗⃗ ++ ⃗⃗ == 00  60;0;060;0;0 −;;−;;  ++ 80;0;080;0;0 −;;−−;;−  ++ 40;25;040;25;00;600;00;600;0 == 00  0;120;1800;120;180 77 ++ 0;160;800;160;80 33 ++ 0;0;240000;0;24000 == 00  
160160 33 120120 77 == 008080 33 +180+180 77 =24000=24000}}  =225=225   =700=700  
Paso 5Paso 5: Vamos a hacer la sumatoria de fuerzas: Vamos a hacer la sumatoria de fuerzas
↑ +  ↑ +   == 00  ⃗⃗ ++ ⃗⃗ ++ ⃗⃗ ++⃗⃗  == 00  
((;; ;; )) ++ 0;600;0;600;  ++ 60;30;2060;30;207070 700+700+ 80;40;8080;40;80120120 225= 0225= 0  
Se obtiene 3 operación con 3 Se obtiene 3 operación con 3 incógnitas, desarrollanincógnitas, desarrollando:do:
 =750=750   =225=225   =50=50  
  
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ESTATICA ESTATICA Y Y DIMAMICA DIMAMICA 33
PROBLEMA: 2PROBLEMA: 2
Un contenedor de pesoUn contenedor de peso WW está suspendido delestá suspendido del
aroaro  A A. El cable. El cable  BAC BAC  pasa  pasa a a través través del del aro aro y y sese
une a los soportes fijos enune a los soportes fijos en B B yy C C . Dos fuerzas. Dos fuerzas PP
==  P  P ii yy QQ == QQkk se aplican en el aro parase aplican en el aro para
mantener al recipiente en la posición mostrada.mantener al recipiente en la posición mostrada.
((WW = 600 N)= 600 N) Nota:Nota: Considerar que el valor de la Considerar que el valor de la
tensión es la misma en ambos tramos del cabletensión es la misma en ambos tramos del cable
 BAC  BAC   
Determinar:Determinar:
a) El vector tensión en a) El vector tensión en el cable ABel cable AB
 b) El vector ten b) El vector tensión en el casión en el cable ACble AC
c) c) El vecEl vector fuerza tor fuerza PP
d) El d) El vector vector fuerza fuerza QQ
Solución:Solución:
Observemos los vectoresObservemos los vectores
1)1)   PuntosPuntos
A A = = (0; -(0; -400; 400; 0); 0); B B = = (-130; (-130; 0; 10; 160); 60); C C = = (-150; (-150; 0; 0; -240)-240)
2)2)   VectoresVectores
 == 130;400;160130;400;160450450    ; ;  == 150;400;240150;400;240490490   
3)3)   FuerzasFuerzas ⃗⃗  ==  130;400;160130;400;160450450    ; ; ⃗⃗  == 150;400;240150;400;240490490   
⃗⃗ == 0;600;00;600;0   ; ; ⃗⃗ == ;0;0;0;0   ; ; ⃗⃗ == 0;0;0;0;  
4)4)
  
Sumar las fuerzasSumar las fuerzas
Utilizamos la fórmula:Utilizamos la fórmula: ∑∑  == 00; entonces; entonces 130;400;160130;400;160450450    ++  150;400;240150;400;240490490 ++ 0;600;00;600;0 ++ ;0;0;0;0 ++ 0;0;0;0; == 00  
Se obtiene una ecuación para cada eje:Se obtiene una ecuación para cada eje:
130130450450  ++ 150150490490  +  = 0 … … … … … . .    +  = 0 … … … … … . .     400400450450  ++ 400400490490   6 0 0 = 0 … … … … … . .      6 0 0 = 0 … … … … … . .      
160160450450  ++ 240240490490  +  = 0 … … … … … . .      +  = 0 … … … … … . .       
  
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ESTATICA ESTATICA Y Y DIMAMICA DIMAMICA 44
De la ecuación II, T = 351.86NDe la ecuación II, T = 351.86N
ReemplazReemplazando el valor de T en la ecuación I y III se obtiene P = 209.36N; Q ando el valor de T en la ecuación I y III se obtiene P = 209.36N; Q = 123.83N= 123.83N
Respuestas:Respuestas:
  ⃗⃗ = = ((10101.1.67 67 ̂̂ ++ 31312.2.76 76 ̂̂ ++ 12125.5.11 11 ) ) 
  
  ⃗⃗ = = ((10107.7.71 71 ̂̂ ++ 28287.7.23 23 ̂̂  17172.2.34 34 ) )     ⃗⃗ == +209.36 ̂+209.36 ̂    
  ⃗⃗ == (+(+12123.83.83 3 ) )   
PROBLEMA 3PROBLEMA 3
La siguiente estructura se encuentra en equilibrio. (FLa siguiente estructura se encuentra en equilibrio. (F11= 12KN; F= 12KN; F22=10KN; F=10KN; F33= 8KN; a= 2m;= 8KN; a= 2m;
b=4m). Determinar:b=4m). Determinar:
a.a.   Las reacciones en los apoyos A;B y D.Las reacciones en los apoyos A;B y D.
b.b.   Las fuerzas internas en los miembros FE y AB.Las fuerzas internas en los miembros FE y AB.
c.c.   Las fuerzas internas en los miembros GF; JF y JA.Las fuerzas internas en los miembros GF; JF y JA.
 Nota: Indicar s Nota: Indicar si las fuerzai las fuerzas internas ess internas están en comtán en compresión o en tenspresión o en tensión.ión.
  
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ESTATICA ESTATICA Y Y DIMAMICA DIMAMICA 55
SoluciònSoluciòn
   Realizando corte en la sección 1 (lado izquierdo)Realizando corte en la sección 1 (lado izquierdo)
   ∑∑  == 00  1 0 ∗ 2    ∗ 4 = 01 0 ∗ 2    ∗ 4 = 0  =…………ó=…………ó  
   ∑∑  == 00  
En “x”:En “x”:  
  +    8 = 0  +    8 = 0
  
   ==  …… …… .. .. òò  En “y”:En “y”:     ==  
Lado derecho del corte.Lado derecho del corte.
   ∑∑  == 00  
  ∗ 4  1 2 ∗ 2    ∗ 4  1 2 ∗ 2   ∗ 4 = 0∗ 4 = 0  
 = = 
  
EL signo negativo indica que laEL signo negativo indica que la
fuerza es en sentido opuesto.fuerza es en sentido opuesto.
  
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ESTATICA ESTATICA Y Y DIMAMICADIMAMICA 66
   ∑∑  == 00  
En “x”:En “x”:  
 ++        = 0      = 0    1  5  3 = 0 1  5  3 = 0  
 ==   
  
   ∑∑  == 00    1 2 = 0 1 2 = 0   ==     
   Realizando corte en la Realizando corte en la sección 2(lado izquierdo)sección 2(lado izquierdo)
   ∑∑  == 00  
1 0 ∗ 2  8 ∗ 4 +   ∗ 4 = 01 0 ∗ 2  8 ∗ 4 +   ∗ 4 = 0     ==  …… .. .. òò  
  
∑∑  == 00     ∗ 4 = 0   ∗ 4 = 0  ⇒   = ⇒   =   
   ∑∑  == 00  
  
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ESTATICA ESTATICA Y Y DIMAMICA DIMAMICA 77
En el eje “Y”En el eje “Y”  
   ∗∗ sinsin  == 1010     ∗∗ 4422 ∗∗ √ √ 55 == 1010  
   == ..  …… .. .. òò
  
a.a.      == 10 10 ; ;  == 9 9      == 12 12 ; ;  == 1 1   
 b. b.    == 5 5  òò; ;  == 3 3  òò  
c.c.    == 0 0 ;;  == 1111.1.188òò  ;;  == 3 3 òò  
PROBLEMA 4:PROBLEMA 4:
Los collarines A y B Los collarines A y B se conectan por medio de un alambre de se conectan por medio de un alambre de longitudlongitud  =2000=2000 de de
largo y puede deslizarse libremente sin fricción sobre las vlargo y puede deslizarse libremente sin fricción sobre las varillas. Se aplica una fuerza cuyoarillas. Se aplica una fuerza cuyo
módulo esmódulo es =600=600  en la dirección “en la dirección “Y Y ” sobre el collarín A. ” sobre el collarín A. considerando equilibrio en laconsiderando equilibrio en la
posición mostrada (posición mostrada (
=500=500
). Determinar:). Determinar:
a) La fuerza de tensión en a) La fuerza de tensión en el alambreel alambre ⃗⃗  == ; ; ; ;   
b)b) La fuerza normal sobre “A”La fuerza normal sobre “A” ⃗⃗ == ; ; ; ;   
c) El módulo de la fuerza “Q” para el equilibrio del sistemac) El módulo de la fuerza “Q” para el equilibrio del sistema  
  
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ESTATICA ESTATICA Y Y DIMAMICA DIMAMICA 88
SOLUCIÓN:SOLUCIÓN:
D.C.L.D.C.L.
Primero necesitamos el valor de “z” para Primero necesitamos el valor de “z” para ubicar los puntos, entonces del gráficoubicar los puntos, entonces del gráfico   =1200=1200 + +  ++   
=1519.868=1519.868
  
=1.51987=1.51987  
Paso 1: Ubicamos los puntosPaso 1: Ubicamos los puntos
   == 0;0.5 0;0.5 ;; 00      == 11.2.2;; 0 0 ;; 1.1.5151989877  
Paso 2: Hallamos los Paso 2: Hallamos los vectoresvectores
 == ⃗⃗  ‖‖⃗⃗  ‖‖ == 1.2;0.5; 1.519871.2;0.5; 1.5198722   
 == 1.2; 0.5;1.519871.2; 0.5;1.51987      == 1.2; 0.5;1.519871.2; 0.5;1.51987
  
Paso 3: FuerzasPaso 3: Fuerzas
  
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ESTATICA ESTATICA Y Y DIMAMICA DIMAMICA 99
⃗⃗ == ; ; ; ;      ⃗⃗ == ; ; ; ;   
⃗⃗ == 0;600;00;600;0     ⃗⃗ =0;0;=0;0;  
⃗⃗

== 
1.2;0.5; 1.519871.2;0.5; 1.51987
22
  
Paso 4: Suma de Paso 4: Suma de Fuerzas y MomentosFuerzas y Momentos
Se observa en el gráfico que Se observa en el gráfico que existen reacciones en cada collarín, es decir normales en cadaexisten reacciones en cada collarín, es decir normales en cada
eje, pero por dato del eje, pero por dato del problema los collarines no presentan normales en las direcciones deproblema los collarines no presentan normales en las direcciones de
las varillas.las varillas.
⃗⃗ == ; 0; ; 0;      ⃗⃗ == ; ; ; ; 00  
   ∑∑  == 00⃗⃗ ::
⃗⃗ + + ⃗⃗ == 00⃗⃗   
1.2;0.5;1.519871.2;0.5;1.519870;600;00;600;0 ++ 1.2; 0.5;1.519871.2; 0.5;1.51987; 0; ; 0;  == 00⃗⃗   991.921;0; 720991.921;0; 720 ++ 0.50.5;1.2;1.2 1.519871.51987; 0.5; 0.5 == 00⃗⃗   
Se tienen dos Se tienen dos ecuaciones:ecuaciones:
  991.921+0.5991.921+0.5 = 0 → = 0 →  =1823.842=1823.842  
  7200.57200.5 = 0 → = 0 →  =1440=1440  
Como las unidades estaba en Kilo Newton:Como las unidades estaba en Kilo Newton:   ==   == ..     
   ∑∑  == 00, en todo el sistema:, en todo el sistema:   ⃗⃗ + + ⃗⃗ + + ⃗⃗ + + ⃗⃗ = = 00⃗⃗   ; 0; ; 0;  ++ ; ; ; ; 00 ++ 00; 0; ; 0;  ++ 00; ; 0; ; 0 = 0= 0⃗⃗   
Se tienen tres ecuaciones:Se tienen tres ecuaciones:
    ++  = 0 → = 0 →  == 141440 40   
    +  = 0 → +  = 0 →  == 6600 00   
    +  = 0 →+  = 0 → =. =.   
   ∑∑  == 00, en el collarín A:, en el collarín A:
⃗⃗ + + ⃗⃗  + + ⃗⃗ = = 00⃗⃗
  
  
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ESTATICA ESTATICA Y Y DIMAMICA DIMAMICA 1010
1441440; 0; 0; 0; 181823.8423.8422 ++  1.2;0.5; 1.519871.2;0.5; 1.5198722 ++ 0;600;00;600;0 == 00
Con cualquier ecuación hallamos el valor deCon cualquier ecuación hallamos el valor de   
1440+1440+ 1.21.222  = 0 → = 0 →  ==   
  
Rptas:Rptas:  ⃗⃗ == 1440;600;1823.8421440;600;1823.842      ⃗⃗ == 141440;40; 0; 0; 181823.823.84242     == 18182323.8.842 42 