clase 5

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MÉTODO 
DE LA 
FALSA POSICIÒN 
Dr. William Fernando Solís Ulloa
𝒙𝒓
𝒙𝒖; 𝒇(𝒙𝒖)
𝒙𝒖
𝒙𝒍; 𝒇(𝒙𝒍)
𝒙𝒍
Sea la grafica de la ecuación. 
𝒎 =
𝒇 𝒙𝒖 − 𝒇 𝒙𝒍
𝒙𝒖 − 𝒙𝒍
Elegimos un punto 𝒙𝒖; 𝒇(𝒙𝒖)
MÈTODO DE LA FALSA POSICIÒN
𝒙𝒍; 𝒇(𝒙𝒍)
𝒙𝒖; 𝒇(𝒙𝒖)
𝒙𝒓𝟏
𝒙𝒖𝒙𝒍 𝒙𝒓𝟐 𝒎 =
𝒇 𝒙𝒖 − 𝒇 𝒙𝒍
𝒙𝒖 − 𝒙𝒍
Sea la grafica de la ecuación. 
Elegimos un punto 𝒙𝒖; 𝒇(𝒙𝒖)
MÈTODO DE LA FALSA POSICIÒN
La ecuación de la recta esta dada por:
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝟎
Reemplazando en la ecuación tenemos:
𝒚 − 𝒇 𝒙𝒖 =
𝒇 𝒙𝒖 − 𝒇 𝒙𝒍
𝒙𝒖 − 𝒙𝒍
𝒙 − 𝒙𝒖
Como la recta pasa por el punto 𝒙𝒓 , 𝟎 , es decir 𝒚 = 𝟎.
Entonces:
−𝒇 𝒙𝒖 =
𝒇 𝒙𝒖 − 𝒇 𝒙𝒍
𝒙𝒖 − 𝒙𝒍
𝒙𝒓 − 𝒙𝒖
Desarrollando tenemos:
−𝒇 𝒙𝒖 𝒙𝒖 − 𝒙𝒍 = 𝒇 𝒙𝒖 − 𝒇 𝒙𝒍 𝒙𝒓 − 𝒙𝒖
Despejando “𝒙𝒓” tenemos:
𝒙𝒓 − 𝒙𝒖 = −
𝒇 𝒙𝒖 𝒙𝒖 − 𝒙𝒍
𝒇 𝒙𝒖 − 𝒇 𝒙𝒍
𝒙𝒓 = 𝒙𝒖 −
𝒇 𝒙𝒖 𝒙𝒍 − 𝒙𝒖
𝒇 𝒙𝒍 − 𝒇 𝒙𝒖
Desarrollando tenemos:
𝒙𝒓 =
𝒙𝒖𝒇 𝒙𝒍 − 𝒙𝒍𝒇 𝒙𝒖
𝒇 𝒙𝒍 − 𝒇 𝒙𝒖
Está ecuación representa el algoritmo para el 
MÈTODO DE LA FALSA POSICIÒN.
CARACTERÌSTICAS
➢ La raíz debe estar contenida en el intervalo 𝒙𝒍 , 𝒙𝒖 .
➢ Requiere que la función 𝒇 𝒙 sea continua en 𝒙𝒍 , 𝒙𝒖 . 
➢ Converge más rápido que el método de la bisección.
𝑬𝑷 =
𝒙𝒓 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍 − 𝒙𝒓 (𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑨𝒏𝒕𝒆𝒓𝒊𝒐𝒓)
𝒙𝒓 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝑨𝒄𝒕𝒖𝒂𝒍
∗ 𝟏𝟎𝟎
➢ El Error Porcentual esta dado por:
ALGORITMO PARA EL MÈTODO DE LA
FALSA POSICIÒN
Paso Nº 1.- Elija valores iniciales inferior 𝒙𝒍 y superior 𝒙𝒖
que contenga la raíz, de forma tal que la función cambie de 
Signo en el intervalo 𝒙𝒍 , 𝒙𝒖 . Esto se verifica comprobando
que 𝒇(𝒙𝒍 ) ⋅ 𝒇(𝒙𝒖 ) < 𝟎 . 
Paso Nº 2.- Una aproximación de la raíz 𝒙𝒓 se determina
median te:
Paso Nº 3.- Realice las siguientes evaluaciones para 
determinar en que sub-intervalo esta localizada la raíz. 
𝒙𝒓 =
𝒙𝒖𝒇 𝒙𝒍 − 𝒙𝒍𝒇 𝒙𝒖
𝒇 𝒙𝒍 − 𝒇 𝒙𝒖
i) Si𝒇 𝒙𝒍 ⋅ 𝒇 𝒙𝒓 < 𝟎, entonces la raìz se encuentra
dentro el sub-intervalo inferior (izquierdo).Por lo tanto
hacemos 𝒙𝒓 = 𝒙𝒖 y vuelva al paso 2.
ii) Si 𝒇 𝒙𝒍 ⋅ 𝒇 𝒙𝒓 > 𝟎, entonces la raìz se encuentra
dentro el sub-intervalo superior (derecho).Por lo tanto
hacemos 𝒙𝒓 = 𝒙𝒍 y vuelva al paso 2.
iii) Si𝒇 𝒙𝒍 ⋅ 𝒇 𝒙𝒓 = 𝟎, entonces la raìz es igual a 𝒙𝒓 y 
por lo tanto se término la iteración (calculo).
1.- Usando el método de la falsa posición encontrar la mejor 
aproximación a la raíz. 
𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟕 ; ∀ 𝒙 ∈ 𝟎 , 𝟑 , 𝒆𝒑 < 𝟏%
Solución.-
1º Encontramos el intervalo de confianza.
𝒙 𝒇(𝒙)
0 -6
1 -3
2 9
3 57
𝑰. 𝑪. = 𝟏 , 𝟐 = 𝒙𝒍 ; 𝒙𝒖
𝒙𝒍 = 𝟏 ∧ 𝒙𝒖 = 𝟐
Entonces:
Primera Iteración.-
൞
𝒙𝒍 = 𝟏⟹ 𝒇 𝒙𝒍 = 𝒇 𝟏 = 𝟒
𝟏 − 𝟕 = −𝟑
𝒙𝒖= 𝟐⟹ 𝒇 𝒙𝒖 = 𝒇 𝟐 = 𝟒
𝟐 − 𝟕 = 𝟗
⇒ 𝒇 𝒙𝒍 ⋅ 𝒇 𝒙𝒖 < 𝟎
Entonces la posible raíz será.
𝒙𝒓 =
𝟐 −𝟑 − 𝟏 𝟗
−𝟑 − 𝟗
= 𝟏. 𝟐𝟓
Luego:
𝒇 𝒙𝒓 = 𝒇 𝟏. 𝟐𝟓 = 𝟒
𝟏.𝟐𝟓 − 𝟕 = −𝟏. 𝟑𝟒𝟑𝟏𝟓
Analizando la ubicación de la raíz:
𝒇 𝒙𝒓 ⋅ 𝒇 𝒙𝒍 = −𝟏. 𝟑𝟒𝟑𝟏𝟓 −𝟑 > 𝟎
Es decir la raíz se encuentra en el sub intervalo derecho.
Entonces hacemos:
𝒙𝒓 = 𝒙𝒍 = 𝟏. 𝟐𝟓
Segunda Iteración.-
൞
𝒙𝒍 = 𝟏. 𝟐𝟓 ⟹ 𝒇 𝒙𝒍 = 𝒇 𝟏. 𝟐𝟓 = −𝟏. 𝟑𝟒𝟑𝟏𝟓
𝒙𝒖 = 𝟐⟹ 𝒇 𝒙𝒖 = 𝒇 𝟐 = 𝟒
𝟐 − 𝟕 = 𝟗
⇒ 𝒇 𝒙𝒍 ⋅ 𝒇 𝒙𝒖 < 𝟎
Entonces la posible raíz será.
𝒙𝒓 =
𝟐 −𝟏.𝟑𝟒𝟑𝟏𝟓 −𝟏.𝟐𝟓 𝟗
−𝟏.𝟑𝟒𝟑𝟏𝟓−𝟗
= 𝟏.34739
Analizando el Error Porcentual:
𝑬𝑷 =
𝟏. 𝟑𝟒𝟕𝟑𝟗 − 𝟏. 𝟐𝟓
𝟏. 𝟑𝟒𝟕𝟑𝟗
⋅ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟕. 𝟐𝟐𝟖𝟎𝟓%
Luego:
𝒇 𝒙𝒓 = 𝒇 𝟏. 𝟑𝟒𝟕𝟑𝟗 = 𝟒
𝟏.𝟑𝟒𝟕𝟑𝟗 − 𝟕 = −𝟎. 𝟓𝟐𝟓𝟒𝟓
Analizando la ubicación de la raíz:
𝒇 𝒙𝒓 ⋅ 𝒇 𝒙𝒍 = −𝟎. 𝟓𝟐𝟓𝟒𝟓 −𝟏. 𝟑𝟒𝟑𝟏𝟓 > 𝟎
Es decir la raíz se encuentra en el sub intervalo derecho.
Entonces hacemos:
𝒙𝒓 = 𝒙𝒍 = 𝟏. 𝟑𝟒𝟕𝟑𝟗
Tercera Iteración.-
൞
𝒙𝒍 = 𝟏. 𝟑𝟒𝟕𝟑𝟗 ⟹ 𝒇 𝟏. 𝟑𝟒𝟕𝟑𝟗 = −𝟎. 𝟓𝟐𝟓𝟒𝟓
𝒙𝒖 = 𝟐 ⟹ 𝒇 𝟐 = 𝟗
⇒ 𝒇 𝒙𝒍 ⋅ 𝒇 𝒙𝒖 < 𝟎
Entonces la posible raíz será.
𝒙𝒓 =
𝟐 −𝟎.𝟓𝟐𝟓𝟒𝟓 −𝟏.𝟑𝟒𝟕𝟑𝟗 𝟗
−𝟎.𝟓𝟐𝟓𝟒𝟓−𝟗
= 𝟏.38339
Analizando el Error Porcentual:
𝑬𝑷 =
𝟏. 𝟑𝟖𝟑𝟑𝟗 − 𝟏. 𝟑𝟒𝟕𝟑𝟗
𝟏. 𝟑𝟖𝟑𝟑𝟗
⋅ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟐. 𝟔𝟎𝟐𝟑𝟏%
Luego:
𝒇 𝒙𝒓 = 𝒇 𝟏. 𝟑𝟖𝟑𝟑𝟗 = 𝟒
𝟏.𝟑𝟖𝟑𝟑𝟗 − 𝟕 = −𝟎.19413
Analizando la ubicación de la raíz:
𝒇 𝒙𝒓 ⋅ 𝒇 𝒙𝒍 = −𝟎. 𝟏𝟗𝟒𝟏𝟑 −𝟎. 𝟓𝟐𝟓𝟒𝟓 > 𝟎
Es decir la raíz se encuentra en el sub intervalo derecho.
Entonces hacemos:
𝒙𝒓 = 𝒙𝒍 = 𝟏. 𝟑𝟖𝟑𝟑𝟗
Cuarta Iteración.-
൞
𝒙𝒍 = 𝟏. 𝟑𝟖𝟑𝟑𝟗 ⟹ 𝒇 𝟏. 𝟑𝟖𝟑𝟑𝟗 = −𝟎. 19413
𝒙𝒖 = 𝟐 ⟹ 𝒇 𝟐 = 𝟗
⇒ 𝒇 𝒙𝒍 ⋅ 𝒇 𝒙𝒖 < 𝟎
Entonces la posible raíz será.
𝒙𝒓 =
𝟐 −𝟎.𝟏𝟗𝟒𝟏𝟑 −𝟏.𝟑𝟖𝟑𝟑𝟗 𝟗
−𝟎.𝟏𝟗𝟒𝟏𝟑−𝟗
= 𝟏.39641
Analizando el Error Porcentual:
𝑬𝑷 =
𝟏. 𝟑𝟗𝟔𝟒𝟏 − 𝟏. 𝟑𝟖𝟑𝟑𝟗
𝟏. 𝟑𝟗𝟔𝟒𝟏
⋅ 𝟏𝟎𝟎 = 𝟎. 𝟗𝟑𝟐𝟑𝟗%
𝒙𝒓 = 𝟏.39641
Por lo tanto la mejor aproximación a la raíz es:
Ejercicios
Usando el método de la Falsa Posición encontrar la mejor 
aproximación para la función:
2. − 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙−𝟏 − 𝟏. 𝟓𝒙
1. − 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒙 − 𝟐−𝒙 ; 𝑰𝑪. = 𝟎. 𝟓; 𝟏. 𝟓
3. − 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝟏 − 𝒆 Τ
𝒙
𝟐 ⋅ 𝒄𝒐𝒔 𝝅𝒙 ; 
𝐈𝐂. = 𝟎. 𝟏, 𝟎. 𝟓
5. − 𝒇 𝒙 =
𝟏
𝒙
− 𝟐𝒙 ; 𝑰𝑪. = 𝟎. 𝟓 ; 𝟏
6. − 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟕
4. − 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝒙 ; 𝒙 ∈ 𝟎 , 𝟑
7. − 𝒇 𝒙 = 𝒆−𝒙
𝟑
− 𝟐𝒙 + 𝟏 , 𝐈𝐂. = 𝟎. 𝟕𝟓 , 𝟏
; 𝒆𝒑 < 𝟏%
𝟖.− 𝒇 𝒙 = 𝒆−𝒙 − 𝒙 ; 𝒆𝒑 < 𝟏%
𝟗.− 𝒇 𝒙 = 𝒆−𝒙
𝟑
− 𝟐𝒙 + 𝟏 ; 𝑰𝑪. = 𝟎. 𝟕𝟓 ; 𝟏
𝟏𝟎.− 𝒇 𝒙 = 𝒆𝒙 − 𝟐 − 𝒙 ; 𝑰𝑪. = −𝟐. 𝟒;−𝟏. 𝟔
𝟏𝟏.− 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝒍𝒏 𝒙𝟐 ; 𝑰𝑪. = −𝟐 ;−𝟒
𝟏𝟐.− 𝒇 𝒙 = 𝒆−𝟑𝒙 − 𝟑𝟔. 𝟔 ; 𝑰𝑪.= −𝟐 ;−𝟏