1-Aproximacion_de_raices_2014

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SOLUCIONES DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE 
 
Existen ecuaciones donde no es posible, por ejemplo encontrar los ceros en un 
cierto intervalo, por métodos algebraicos. 
El problema que enfrentaremos es hallar, en forma aproximada, el valor de las 
raíces o ceros de una ecuación, de la forma: �(�)= 0.Lo resolveremos mediante 
métodos iterativos, (aproximaciones sucesivas), y acotando el error de cálculo 
convenientemente. 
 
 
 
El método más antiguo es el de bisección, que no lo trataremos en el curso. 
Sí estudiaremos el método de la falsa posición o Regula-Falsi. 
 
La primera aproximación la llamamos 
diagrama de flujo siguiente: 
La primera aproximación la llamamos �� , entonces: �� = a - 
(��	)∗�
�(�)��(
 
) �(
)
(
)
 , seguimos el 
 
El error lo podemos apreciar, o exigir. En el segundo caso tenemos un criterio de 
paro o corte del proceso, que será en función de las 
o del valor de la función en el punto aproximado.
a)|�� � ����|≤ ERROR 
b)|�� � ����|/|��|≤ ERROR; siendo
c)��(��)�≤ERROR (nos interesa el valor acotado
 
 
 
 
 
 
 
 
El error lo podemos apreciar, o exigir. En el segundo caso tenemos un criterio de 
e será en función de las abscisas (ubicación de la raíz) 
o del valor de la función en el punto aproximado. 
ERROR; siendo��≠0 (Error relativo) 
ERROR (nos interesa el valor acotado de la imagen)
El error lo podemos apreciar, o exigir. En el segundo caso tenemos un criterio de 
(ubicación de la raíz) 
de la imagen) 
 
 
 
 
 
 
• f(x0) . f”(x0) > 0( latg. Corta
al eje x dentro de [a,b] )
 
 
0( latg. Corta 
al eje x dentro de [a,b] ) 
Hay una forma de acotar el error más precisa, con desviaciones más cercanas a las 
reales y siempre revancha, asegurando el intervalo donde se encuentra 
verdadera raíz de la ecuación.
Por el teorema de Bolzano tenemos: 
Como f(�)=0, (es así por ser raíz de la ecuación)
Entonces: |x� � α| = 
��(��)�
|��(�)| , pero α y
Entonces: ERROR=|x� � α|≤ 
��(��
��(�
,
 
 
ay una forma de acotar el error más precisa, con desviaciones más cercanas a las 
reales y siempre revancha, asegurando el intervalo donde se encuentra 
verdadera raíz de la ecuación. 
ano tenemos: f( )� =(f(!�)-f(�))/(x�-α) 
raíz de la ecuación). 
, pero α y c son ptos desconocidos del Intervalo
� ��)�
� �)�
 , siendo f(!), el mínimo valor en el "
 
ay una forma de acotar el error más precisa, con desviaciones más cercanas a las 
reales y siempre revancha, asegurando el intervalo donde se encuentra la 
l Intervalo"x�, α# 
"a, b#. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EJERCITACIÓN SUGERIDA SOBRE “Aproximación de raíces” 
 
 Ejercicio 1 
Sean 6)( 2 −= xxf y p0=1. Aplique el método de Newton para encontrar p2. 
Rta: p2=2,60714 
 
Ejercicio 2 
 
Sean )cos()( 3 xxxf −−= y p0=-1. Aplique el método de Newton para encontrar p2. ¿Podríamos utilizar 
p0=0. 
Rta: 
 
Ejercicio 3 
 
Aplique el método de Newton para obtener soluciones con una exactitud de 10-4 para los siguientes 
problemas. 
a) 052 23 =−− xx , [1;4] b) 013 23 =−+ xx , [-3;-2] 
c) 0)cos( =− xx , [0;p/2] d) 0)(2,08,0 =−− xsenx , [0;p/2] 
Rta: 
Para p0=2, tenemos p5=2,69065. 
Para p0=-3, tenemos p3=-2,87939. 
Para p0=0, tenemos p4=0,73909. 
Para p0=0, tenemos p3=0,96434. 
 
Ejercicio 4 
 
Repita el Ejercicio 3 usando el método de la posición falsa. 
Rta: 
(i) a) p11=2,69065 b) p7=-2,87939 c) p6=0,73909 d) p5=0,96433 
(i) a) p16=2,69060 b) p6=-2,87938 c) p7=0,73908 d) p6=0,96433 
 
Seleccionó Ing. Sergio Bernal- Agosto 2014 
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