Soluciones de ecuaciones de una variable ( teoria y problemas)

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SOLUCIONES DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE 
 
Existen ecuaciones donde no es posible, por ejemplo encontrar los ceros en un 
cierto intervalo, por métodos algebraicos. 
El problema que enfrentaremos es hallar, en forma aproximada, el valor de las 
raíces o ceros de una ecuación, de la forma: = 0.Lo resolveremos mediante 
métodos iterativos, (aproximaciones sucesivas), y acotando el error de cálculo 
convenientemente. 
 
 
 
 
 
 
El método más antiguo es el de bisección, que no lo trataremos en el curso. 
Si estudiaremos el método de la falsa posición o Regula-Falsi. 
 
 
La primera aproximación la llamamos , entonces: = a - 
 
 
 , seguimos el 
diagrama de flujo siguiente: 
 
El error lo podemos apreciar, o exigir. En el segundo caso tenemos un criterio de 
paro o corte del proceso, que será en función de las abscisas (ubicación de la raíz) 
o del valor de la función en el punto aproximado. 
 
a) | | ≤ ERROR 
b) | |/| |≤ ERROR; siendo ≠0 (Error relativo) 
c) | |≤ERROR (nos interesa el valor acotado de la imagen) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 f(x0) . f”(x0) > 0 ( la tg. Corta 
al eje x dentro de [a,b] ) 
 
Hay una forma de acotar el error más precisa, con desviaciones más cercanas a las 
reales, asegurando el intervalo donde se encuentra la verdadera raíz de la 
ecuación. 
Por el teorema de bolzano tenemos: 
 = ( - ) / ( – α) 
Siendo =0, (es así por raíz de la ecuación). 
Entonces: | | = 
| |
| |
 , pero α, c son ptos. que Є al Intervalo [ ] 
( como ni α :raíz real, ni c: punto Є [a , b] los conocemos) 
Entonces: ERROR REAL = | |≤ 
| |
| 
 |
 = COTA DE ERROR, siendo 
 el mínimo 
valor en el [ ]. 
 
 Hay una forma de acotar el error más precisa, con 
desviaciones más cercanas a las reales, asegurando el 
intervalo donde se encuentra la verdadera raíz de la 
ecuación. 
Por el teorema de bolzano tenemos: 
 = ( - ) / ( 
– α) 
Siendo =0, (es así por raíz de la ecuación). 
Entonces: | | = 
| |
| |
 , pero α, c son ptos. que Є al 
Intervalo [ ] 
( como ni α :raíz real, ni c: punto Є *a , b+ los conocemos) 
Entonces: ERROR REAL = | |≤ 
| |
| 
 |
 = COTA DE ERROR, 
siendo 
 el mínimo valor en el [ ]. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 1 
Sean 6)( 2  xxf y p0=1. Aplique el método de Newton para encontrar α con un Ɛ ≤ 0,0001. 
Posible Rta : α = 2,449. 
Ejercicio 2 
Sean )cos()( 3 xxxf  y p0=-1. Aplique el método de Newton para encontrar α. ¿Podríamos utilizar 
 =0 ?. ( Ɛ = 0,0001) 
Rta : α = -0,865 
Ejercicio 3 
Aplique el método de Newton para obtener soluciones con una exactitud de 10-4 para los siguientes 
problemas. 
a) 052 23  xx , [1;4] b) 013 23  xx , [-3;-2] 
c) 0)cos(  xx , [0;/2] d) 0)(2,08,0  xsenx , [0;/2] 
Rta: 
Para p0=2, tenemos p5=2,69065. 
Para p0=-3, tenemos p3=-2,87939. 
Para p0=0, tenemos p4=0,73909. 
Para p0=0, tenemos p3=0,96434. 
Ejercicio 7 
Repita el Ejercicio 3 usando el método de la posición falsa. 
Rta: 
(i) a) p11=2,69065 b) p7=-2,87939 c) p6=0,73909 d) p5=0,96433 
(i) a) p16=2,69060 b) p6=-2,87938 c) p7=0,73908 d) p6=0,96433