3 1 Modelos Lineales (1)

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3. Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden 
Sección 3.1. Modelos Lineales 
 
Ejercicio 1 
𝑉	 ∝ 		𝑝 
𝑑𝑝
𝑑𝑡
	∝ 𝑝 
𝑑𝑝
𝑑𝑡
= 𝑘𝑝 
 
)
𝑑𝑝
𝑝
!"#
"#
= 𝑘) 𝑑𝑡
$
%
 
ln𝑝|&#
!&# = 𝑘	𝑡|%$ 
ln 2𝑃𝑜 − ln𝑃𝑜 = 5𝑘 
ln
2𝑃𝑜
𝑃𝑜
= 5𝑘 
𝑘	 =
ln 2
5
 
)
𝑑𝑝
𝑝
'"#
"#
=
ln 2
5
) 𝑑𝑡
(
%
 
ln 3𝑃𝑜 − ln𝑃𝑜 =
ln 2
5
𝑡 
ln
3𝑃𝑜
𝑃𝑜
=
ln 2
5
𝑡 
ln 3 =
ln 2
5
𝑡 
𝑡 = 	
5	ln 3
ln 2
 
 
Ejercicios 6 y 7 
 
6) 
𝑑𝑅
𝑑𝑡
= 𝑘	𝑅 
𝑑𝑅
𝑅
= 𝑘	𝑑𝑡 
)
𝑑𝑅
𝑅
)*
+%%
= 𝑘) 𝑑𝑡
,
%
 
ln𝑅| 97100 = 𝑘	𝑡
|6
0	 
ln 97 − ln 100 = 6𝑘 
ln
97
100
= 6	𝑘 
𝑘	 =
ln 97100
6
 
)
𝑑𝑅
𝑅
-
+%%
=
ln 97100
6
) 𝑑𝑡
!.
%
 
ln 𝑅 − ln 100 =
ln 0.97
6
	24 
ln 𝑅 = ln 100 + 4	 ln 0.97 
𝑅 = 𝑒/0 +%%	2	. /0 %.)* 
 
7) 
)
𝑑𝑅
𝑅
$%
+%%
=
ln 0.97
6
) 𝑑𝑡
(
%
 
ln𝑅| 50100 =
ln 0.97
6
	𝑡|
𝑡
0
	 
ln 50 − ln 100 =
ln 0.97
6
	𝑡 
𝑡	 =
6	ln(1/ 2)
ln 0.97
 
 
Ley de Newton: Enfriamiento, Calentamiento 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
	∝ (𝑇 − 𝑇𝑚) 
 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑚) 
 
 
 
 
Ejercicio 13 
𝑇𝑜 = 70°𝐹 	𝑇𝑚 = 10°𝐹 𝑇 = 50°𝐹 𝑇 =? 
																																																									𝑡 = 0.5	𝑚𝑖𝑛 												𝑡 = 1𝑚𝑖𝑛 
)
𝑑𝑇
𝑇 − 𝑇𝑚
$%
*%
= 𝑘	) 𝑑𝑡
%.$
%
 
ln(𝑇 − 10)|
50
70
= 𝑘	𝑡|
0.5
0
	 
ln	40− ln 60 = 0.5	𝑘	 
𝑘 =
ln 4060
0.5
 
) 		
𝑑𝑇
𝑇 − 𝑇𝑚
4
*%
= 𝑘) 𝑑𝑡
+
%
 
ln(𝑇 − 10)|
𝑇
70
=
ln 23
0.5
	𝑡|
1
0
	 
ln(𝑇 − 10) − ln 60 =
ln 23
0.5
	 
ln(𝑇 − 10) =
ln 23
0.5
+ ln 60	 
𝑇 − 10 = 𝑒52/0 ,% 
𝑇 = 𝑒52/0 ,% + 10 
 
Ejercicios: Aplicaciones geométricas 
- Demostrar que la curva cuya pendiente en cada punto es proporcional a la abscisa del punto de 
tangencia es una parábola. 
 
𝑚 ∝ 𝑥 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑘	𝑥 
)𝑑𝑦 = 𝑘)𝑥	𝑑𝑥 
𝑦 = 𝑘
𝑥!
2
+ 𝑐			 → 		𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 
 
- En cada punto (x,y) de una curva, la subtangente es proporcional al cuadrado de la abscisa. 
Hallar la curva si pasa por (1,e). 
 
 
 
 
Subtangente = S 
	𝑆 ∝ 𝑥! 
𝑆 = 𝑘𝑥! 
𝑡𝑔(∝) =
𝑦
𝑆
=
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦
𝑘𝑥!
 
)
𝑑𝑦
𝑦
=
1
𝑘
)
1
𝑥!
	𝑑𝑥 
ln 𝑦 =
1
𝑘 R
−
1
𝑥S
+ 𝑐 
Reemplazando condición 
ln 𝑒 =
1
𝑘
(−1) + 𝑐 
𝑐 = 1 +
1
𝑘
 
𝑙𝑛𝑦 =
1
𝑘 R
−
1
𝑥S
+ 1 +
1
𝑘
 
- Demostrar que la curva cuya propiedad consiste en que todas sus normales pasan por un punto 
fijo es una circunferencia. 
 
𝑚6 =
𝑦 − 𝑘
𝑥 − ℎ
 
𝑚(76 = −
1
𝑚6
 
𝑚(76 = −
𝑥 − ℎ
𝑦 − 𝑘
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝑥 − ℎ
𝑦 − 𝑘
 
)(𝑦 − 𝑘)	𝑑𝑦 = −)(𝑥 − ℎ)	𝑑𝑥 
 
(𝑦 − 𝑘)! + (𝑥 − ℎ)! = 𝐶	 → 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 
 
- Un objeto se mueve en línea recta de modo que su velocidad excede en 2 a su distancia respecto 
de un punto fijo de la recta. Si v= 5 cuando t= 0, hallar la ecuación del movimiento. 
𝑣 = 𝑥 + 2 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑥 + 2 
 
En t = 0, V = 5, entonces: 5 = x + 2 
 x = 3 
)
𝑑𝑥
𝑥 + 2
= ) 𝑑𝑡
(
%
8
'
 
ln(𝑥 + 2)|
𝑥
3
= 𝑡|
𝑡
0
 
ln(𝑥 + 2) − ln 5 = 𝑡 
𝑡 = ln
𝑥 + 2
5
 
𝑒( =
𝑥 + 2
5
 
𝑥 = 5𝑒( − 2 
 
- Una masa que parte del reposo es arrastrada por el hielo, el peso total es de 80lb. Suponiendo 
que el aire opone una resistencia en libras igual a 5 veces la velocidad (pies/s), calcular: 
a) La fuerza constante ejercida para obtener una velocidad terminal de 10 millas/hora, 
b) La velocidad y la distancia recorrida al cabo de 48 s. 
 
𝑎)	Y𝐹 = 𝑚𝑎 
𝐹 − 𝑅 =
𝑤
𝑔
	𝑎 
𝐹 − 5𝑣 =
80
32
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
𝐹 − 5𝑣 =
5
2
𝑑𝑣
𝑑𝑡
 
)
𝑑𝑣
𝐹 − 5𝑣
9
%
=
2
5
) 𝑑𝑡
(
%
 
−
1
5
ln(𝐹 − 5𝑣)|
𝑣
0
=
2
5
𝑡|
𝑡
𝑜
 
−
1
5
ln(𝐹 − 5𝑣) +
1
5
𝑙𝑛𝐹 =
2
5
𝑡 
ln R
𝐹 − 5𝑣
𝐹 S
= −2𝑡 
𝐹 − 5𝑣
𝐹
= 𝑒:!( → 𝐹 − 5𝑣 = 𝐹𝑒:!( 
5𝑣 = 𝐹 − 𝐹𝑒:!( 
𝑣 =
1
5
(𝐹 − 𝐹𝑒:!() =
𝐹
5
(1 − 𝑒:!() 
𝐿𝑎	𝑣(;<=>67? 	𝑜𝑐𝑢𝑟𝑟𝑒	𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜	𝑡 → ∞ 
𝑣(;<=>67? = 10	
𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
ℎ𝑜𝑟𝑎
= 14.6	𝑝𝑖𝑒𝑠/𝑠 
14.6 = lim
(→A
𝐹
5
(1 − 𝑒:!() 
14.6 =
1
5
𝐹 
𝑎)	𝐹 = 73.3	𝑙𝑏 
 
b) B8
B(
= C
$
(1 − 𝑒:!() 
 
) 𝑑𝑥 =
8
%
73.3
5
) (1 − 𝑒:!()	𝑑𝑡
.D
%
 
𝑥 =
73.3
5
a) 	𝑑𝑡 − ) 𝑒:!(	𝑑𝑡
.D
%
	
.D
%
b 
𝑥 =
73.3
5
c(48) − R−
1
2
𝑒:!(S |
48
0
d 
b) 𝑥 = 696.7	𝑝𝑖𝑒𝑠 
 
21.- Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el que se han disuelto 30 g de sal. Salmuera que 
tiene 1g de sal por litro entra al tanque con una razón de 4 L/min; la solución bien mezclada sale del 
tanque con la misma razón. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al 
tiempo t. 
 
 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎 − 𝑆𝑎𝑙𝑒 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
1	𝑔
𝑙
∗
4𝑙
𝑚𝑖𝑛
−
𝐴	𝑔
200𝑙
∗
4𝑙
𝑚𝑖𝑛
 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 4 −
𝐴
50
 
𝑑𝐴
𝑑𝑡
=
200 − 𝐴
50
 
)
𝑑𝐴
200 − 𝐴
=
1
50
) 𝑑𝑡
(
%
E
'%
 
− ln(200 − 𝐴)|
𝐴
30
= 	
1
50
	𝑡 
ln(200 − 𝐴) − ln 170 = −
1
50
	𝑡 
200 − 𝐴
170
= 𝑒:
(
$% 
𝐴 = 200 − 170𝑒:
(
$%