3 Sistemas lineales y matrices

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Matemática para Agronomía y Ciencias Ambientales 
 
 
SISTEMAS LINEALES y MATRICES 
 
 En este apartado vamos a ver cómo podemos utilizar matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Comenzamos definiendo: 
 
 Dado el sistema de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incógnitas: 







=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
...
...............................................
...
...
2211
22222121
11212111
 
 
 
Definiciones 
 
1. Se llama matriz de los coeficientes a la matriz mxnℜ∈A cuyos elementos son 
los coeficientes de las incógnitas de cada una de las ecuaciones del sistema. 














=
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
.............................
...
...
A
21
22221
11211
 
 
 2. Se llama matriz ampliada a la matriz que resulta de agregar a la matriz de los 
coeficientes, una columna con los términos independientes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3. La expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales puede escribirse en 
la forma: A . X = B 
Donde A es la matriz de los coeficientes, y 
 


















=


















=
n
2
1
n
2
1
b
.
.
.
b
b
 B y 
x
.
.
.
x
x
 X 
son respectivamente, la matriz de las incógnitas y de los términos independientes. 
 
 
 
4. Decimos que ( )nsss ,...,,S 21= de nℜ es solución del sistema A.X = B si y sólo si 
A . S = B, es decir, si S verifica las m ecuaciones del sistema. 
 
 














m21
222221
111211
b ...
.......................................
b ...
b ...
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
Términos independientes 
A* = 
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 Veamos un ejemplo. 
Ejemplo 1. 
En el sistema: 
 





−=+−
−=−+−
=−+
2 2
1 2
0 2 
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
• La matriz de los coeficientes A es: 










−
−−
−
=
112
121
112
 A 
• Y su matriz ampliada 
 
 
 
 
• La expresión matricial 










−
−=










⋅










−
−−
−
2
1
0
x
x
x
112
121
112
3
2
1
 
 
 
Eliminación 
gaussiana 
 
Algunos sistemas de ecuaciones son fáciles de resolver. Por ejemplo 





−=
−=+
=++
6z4
3z2y5
7z2y3x4
 
Ya que de la última ecuación se obtiene rápidamente 
4
6z −= , reemplazando z en 
la segunda obtenemos y=0 y finalmente reemplazando estos z e y en la primera se 
obtiene que 
2
5x = . 
Este proceso es factible, ya que el sistema se presenta en forma escalonada en la 
que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Hemos visto que 
utilizando el método de Gauss podemos llegar a formatos de este tipo, pasando de n 
sistema a otro equivalente que tenga forma escalonada. 
El método de eliminación puede aplicarse sobre la matriz ampliada de un sistema de 
ecuaciones para expresarla en forma escalonada utilizando operaciones 
elementales entre sus filas como: 
• Multiplicar (o dividir) una fila por un número distinto de cero. 
• Sumar a una fila una que sea un múltiplo de otra. 
• Intercambiar dos filas. 
De este modo resulta un sistema equivalente escalonado cuya resolución es 
inmediata. 
Veamos un ejemplo: 
 
 
 
2- 1 1-2 
 1- 1-2 1-
0 1-1 2 










A* = 
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 Ejemplo 2 
 Por el método de Gauss hallemos las soluciones del sistema: 
 
 





−=+−
−=−+−
=−+
2 2
12
0 2 
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
La matriz ampliada del sistema es: 
 
 
 
 
 
Ahora, pretendemos hallar ceros debajo la diagonal principal, mediante operaciones 
elementales de fila: 
 
 
 
 
 
Para encontrar un cero en la posición a21, sumamos a F1 el doble de la segunda, es 
decir: 
F1 + 2F2  F2. 
Para encontrar un cero en la posición a32 le restamos F3 a F1, esto es: 
F1 – F3 F3 
 
 
 
 
 
 
Sólo queda encontrar un cero en la posición a32. Hacemos 2/5F2 –F3 F3 
 
 
 
 
 
 
Observemos que al terminar de escalonar la cantidad de filas de la matriz de los 
coeficientes es igual a la de la matriz ampliada. 
 
Para hallar su solución, escribimos, el sistema equivalente: 







−=
−=−
=−+
5
14
35
4
3 2
321
 
235x 
0 2
x
x
xxx
 
 
De la tercera ecuación resulta 
2
7
3 −=x . Sustituyendo este valor en la segunda 
ecuación y operando obtenemos:
2
5
2 −=x . 
Finalmente, sustituyendo x2 y x3 en la primera ecuación y operando resulta: 2
1
1 −=x . 
Luego el conjunto solución es ( )272521 ;; −−− . Le dejamos verificar que esta satisface el 
sistema. 
 
 
 
 
2- 1 1-2 
 1- 1-2 1-
0 1-1 2 










 
2- 1 1-2 
 1- 1-2 1-
0 1-1 2 










 
2 2- 2 0 
 2- 3-5 0 
0 1-1 2 
 
2- 1 1-2 
 1- 1-2 1-
0 1-1 2 
3F3F1F
2F2F2 1F




















→−
→+
 
 0 0 
 2- 3-5 0 
0 1-1 2 
 
2 2-2 0 
 2- 3-5 0 
0 1- 1 2 
5
14-
5
4
3F3F2F5
2












 →









 →−
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 Cuando el número de filas distintas de cero de la matriz ampliada escalonada 
es igual al número de ecuaciones el sistema tiene solución única, es decir es 
compatible determinado. 
 
 Ejemplo 3. 
Resolvamos el sistema: 
 





=−+
−=−+
=+−
034
222
432
zyx
zyx
zyx
 
Para resolverlo, escribimos su matriz ampliada: 
 
 
 
 
 
Comenzamos a escalonar Intercambiando la primera fila por la segunda resulta: 
 
 
 
 
 
Los ceros debajo del elemento a11 los hallamos haciendo 2F1 –F2  F2 y 4F1 – F4 
 F4 
 
 
 
 
Al restar la última fila de la segunda se tiene: 
 
 
 
 
 
Los ceros en la última fila indican que ésta es combinación lineal de las anteriores, es 
decir que se puede escribir como resultado de operaciones realizadas en las otras 
filas. De este modo, el número de ecuaciones resulta menor que el número de 
incógnitas, 
 
El sistema equivalente al inicial es un sistema con dos ecuaciones y tres incógnitas: 



=
−=−+
8 - 7z 5y 
222
-
zyx 
Al tener menor número de ecuaciones que de incógnitas, el sistema tendrá más de una 
solución o ninguna. Tratamos de encontrar su conjunto de soluciones. 
De la segunda ecuación podemos encontrar que. 
5
87 −
=
zy . 
Reemplazando en la primera ecuación y operando resulta: 
5
46 zx −= 
Entonces la solución general es la terna 
( ) ( )zzyx zz ;;;; 5 87546 −−= , 
siendo z un número real. 
 









 −
0 1-3 4
2- 2-2 1
4 3 12










−
0 1-3 4
4 3 12
2- 2-2 1










−
8- 7 - 5 0
8- 7 5 0
2- 2- 2 1










−
0 0 0 0
8- 7 5 0
2- 2- 2 1
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 Para hallar una solución particular basta con reemplazar a z por un número real. 
Si, por ejemplo, z = 0, es ( )0;; 5856 − una de las infinitas soluciones del sistema. 
Le dejamos como ejercicio que verifique que ( )0;; 5856 − es solución del sistema dado y 
encontrar otras dos soluciones particulares 
 
 Si el número de flas distintas de cero de la matriz de los coeficientes es 
igual al número de filas de la matriz ampliada pero menor al número de 
ecuaciones el sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas 
soluciones) 
 
 
Ejemplo 4 
Hallemos las soluciones del sistema: 
 







=++
−=+=+−
=−+
1z3yx-
1y 2x
0 3zy2x
2zy x
 
La matriz ampliada del sistema es 
 
 
 
 
 
 
Para llevar a la forma escalonada, realizamos las siguientes operaciones 
2F1-F2F2; 
 F1–F3 F3; F1+ F4 F4, 
y obtenemos ceros debajo del elemento a11 
 
 
 
 
 
 
 
Intercambiando la segunda fila con la tercera: 
 
 
 
 
 
 
 
Para hallar ceros debajo de a22 efectuamos 
3F2 + F3  F3 y 4F2 +F4  F4 
 
 
 
 
 
 
 














−
1 131-
1 021
0 31-2
2 -111













 −
3 0 40
3 1-1-0
4 5-30
2 111













 −
3 0 40
4 5-30
3 1-1-0
2 111














−
−
51 4 00
13 8-00
3 1-1-0
2 111
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La transformación F3 –2F4 F4 conduce a: 
 
 
 
 
 
 
Ya no podemos operar sobre las filas para buscar más ceros. 
El sistema dado es equivalente al dado es : 







−=
=−
=−−
=−+
20 
138z 
3 zy 
2 zyx
 
 
La última igualdad es falsa, por lo tanto el sistema de ecuaciones planteado es 
incompatible, esto es no tiene solución. 
 
 
 
 Si el número de flas distintas de cero de la matriz de los coeficientes es 
distinto al número de filas de la matriz ampliada el sistema es incompatible. 
 
 
Rango de una 
matriz 
El rango de una matriz es el número de filas (o columnas) distintas de cero 
al reducirlas por el método de eliminación por filas (columnas) a la forma 
escalonada. 
 Por ejemplo la matriz C tiene sus tres filas distintas de cero. Su rango es 2 
 










−−=
300
630
321
C 
Observamos además que la matriz C tiene 3 filas linealmente independientes 
porque no hay ningún número que al multiplicar o dividir una fila por él, se obtengan 
los números de otra fila, tampoco sumando o restando dos filas entre si obtenemos 
los valores de la tercera. 
Mientras que en la matriz B, la segunda fila es igual a la primera multiplicada por 2 






−
−
=
10262
5131
B 
En este caso la segunda fila es linealmente dependiente de la primera y ésta decimos 
que es linealmente independiente. 
Al escalonar la matriz B, haciendo 2F1 – F2 → F2 resulta: 





 −
=
0000
5131
B 
Por lo que B tiene sólo 1 fila distinta de cero y su rango es 1. 
 
 
 
Rango de una matriz es el número de filas o columnas, linealmente independientes. 
Se designa rango de la matriz A como: ρ (A) 
 
 
 














−
−
2 0 00
13 8-00
3 1-1-0
2 111
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 Podemos decir entonces que: 
 
• El rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada 
e igual al número de ecuaciones y el sistema tiene solución única es decir es 
compatible determinado. 
 
• El rango de la matriz de los coeficientes y de la matriz ampliada son iguales 
pero menor al número de ecuaciones y el sistema es compatible 
indeterminado o tiene infinitas soluciones. 
 
• El rango de la matriz de los coeficientes y el rango de la matriz ampliada son 
distintos y el sistema es incompatible. 
 
 Y enunciar el siguiente teorema 
 
Teorema de 
Rouché – 
Fröbenius 
 
Sean A y A* la matriz de los coeficientes y la matriz ampliada con los términos 
independientes de un sistema de ecuaciones lineales mxn. 
Entonces si el ρ(A) = ρ(A*), el sistema es compatible. 
 
Además si: 
• ρ(A) = ρ(A*) = n (número de ecuaciones), el sistema es compatible 
determinado 
• ρ(A) = ρ(A*) < n (número de ecuaciones) el sistema es compatible 
indeterminado. 
 
 Usamos esta propiedad en la resolución de un problema. 
 Ejemplo 5. 
 
Analizamos la compatibilidad del sistema para los valores del parámetro a (a número 
real). 





=++
=++
=++
azya
azyx
zyx
2
2
1
 
Discutir la compatibilidad del sistema, significa determinar para qué valores del número 
real a, el sistema es: 
• Compatible y a su vez determinado o indeterminado 
• Incompatible. 
 
Comencemos por buscar la forma escalonada de la matriz ampliada 
 
 
 
 
 
Un cero en la posición a21 lo hallamos haciendo F1-F2F2. Para encontrar otro en la 
posición a31 hacemos a.F1-F3F3. 
 
 
 
 
 
 
 










a
2
1
 
2
a
1
 
1
1
1
 1
1
a
 
0
1-
1
 
2-a
a-1
1
 
1-a
0
1
 
0
0
1










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 Intercambiando la segunda y la tercera fila: 
 
 
 
 
 
La matriz ya está en su forma escalonada. Debemos ahora analizar la compatibilidad 
del sistema para los distintos valores del parámetro a. 
 
• Si a = 1, es 1 – a = 0. 
 
Al reemplazar en la matriz es: 
 
 
 
 
 
el rango de la matriz de los coeficientes A, es 2 mientras que el rango de la 
matriz ampliada A* es 3. Luego al ser los rangos distintos para a = 1, el 
sistema es incompatible. 
 
• Si a≠1, el rango de la matriz de los coeficientes es igual al rango de la matriz 
ampliada, el sistema es compatible, (pues para a = 1 el sistema es 
incompatible). 
 
 Se deben considerar dos posibilidades: 
• ρ(A) = ρ(A*) = n (número de ecuaciones) 
• ρ(A) = ρ(A*) < n 
 
Para que ρ(A)= ρ(A*) = n, se debe cumplir que 1-a y –1 sean simultáneamente 
distintos de cero, (para que no se elimine la última fila) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esto se logra para todo a≠1. Por ejemplo, si a = 2 
 
 
 
 
 
 
Resulta que el rango A = rango A* = 3, por lo que el sistema correspondiente es 
compatible determinado. 
 
Por lo tanto, para a≠1el sistema es compatible determinado siempre. 
 
Para que se verifique la segunda posibilidad, ρ(A) = ρ(A*) < n, deben ser 1- a y –1 
simultáneamente nulos. 
 
 
 
 
 










1-
0
1
 
a-1
2-a
1
 
0
1-a
1
 
0
0
1










−
1-
0
1
 
0
1
1
 
0
0
1
 
0
0
1










1-
0
1
 
a-1
2-a
1
 
0
1-a
1
 
0
0
1
Distintos de cero 










1-
0
1
 
1-
0
1
 
0
1
1
 
0
0
1
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Y esto es imposible pues -1≠0 para cualquier valor real de a. El sistema no será 
compatible indeterminado para ningún valor de a. 
Entonces para a≠0 se tiene que el sistema es: 
• Compatible determinado para a≠1 
• Incompatible para a = 1 
Para ningún valor de a, es compatible indeterminado 
Resumimos: 
Dado el sistema: 





=++
=++
=++
azya
azyx
zyx
2
2
1
 
• Si a = 1 el sistema es incompatible. 
• Si a ≠1 el sistema es compatible determinado 
• Para ningún valor real de a el sistema es compatible indeterminado. 
 
 
 
Ejemplo 6. 
Analizamos la compatibilidad del sistema para los valores del parámetro k (k número 
real). 





=+−
=++
=++
2kzyx
1zyx
1zykx
 
Igual que en el ejemplo anterior, discutir la compatibilidad del sistema, significa 
determinar para qué valores del número real k, el sistema es: 
• Compatible; determinado o indeterminado 
• Incompatible. 
 
La matriz ampliada del sistema es: 
 
 
 
 
 
Intercambiando las filas; 
 
 
 
 
 
 
 
 










1-
0
1
 
a-1
2-a
1
 
0
1-a
1
 
0
0
1
Iguales a cero 










2
1
1
 
k
1
1
 
1-
1
1
 
1
1
k










2
1
1
 
k
1
1
 
1-
1
1
 
1
k
1
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 Buscamos ceros en los lugares a21 y a31. Hacemos: 
• k . F1 – F2 → F2 para k≠0 
• F1 – F3 → F3 










−
−
−
−−
1
1k
1
k120
1k1k0
111
 
Intercambiamos la segunda y tercer fila: 










−
−
−−
−
1k
1
1
1k1k0
k120
111
 
Queremos otro cero en a32. Hacemos: 
• (k – 1).F2 – 2 F3 → F3 para k ≠ 1 (ya que debe ser k – 1 ≠0) 
Hagamos el cálculo y después sustituimos en la matriz: 
(k – 1).F2 = 0 2(k – 1) (1- k) (k – 1) (-1) (k – 1) 
 2 F3 = 0 2(k – 1) 2(k – 1) 1 2(k – 1) 
 (k – 1).F2 – 2 F3 = 0 0 (1- k) (k – 1) - 2(k – 1) -3 (k – 1) 
(k – 1) (-k – 1) 
Sustituimos en la matriz ampliada: 










−⋅−
−
−−−
−
)1k(3
1
k
)1k)(1k(00
k120
111
 
Analizamos los distintos valores de k en la última fila y observamos que: 
• para k = 1 es k – 1 = 0 y la matriz equivalente es: 










−
0
1
1
000
120
111
 
Resulta la última fila una combinación de las anteriores por lo que la matriz 
ampliada del sistema es equivalente a 








−1
1
120
111
 
Como resultan los rangos de la matriz ampliada y de los coeficientes iguales, 
pero menor que el número de ecuaciones, para k = 1 el sistema es compatible 
indeterminado (infinitas soluciones) 
• para k = -1, es – k – 1 = 0 
y la matriz equivalente es: 










−
6
1
1
000
120
111
 
 
 
 
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 Se ve que el rango de la matriz de los coeficientes es menor que el de la 
matriz ampliada. Por lo que el sistema resulta incompatible. 
• Para k = 0 (esta fue la primera condición que pusimos al escalonar) 










−
3
1
0
100
120
111
 
Son iguales el rango de la matriz ampliada y de los coeficientes y este número 
es igual al de la cantidad de filas, por lo que el sistema es compatible 
determinado. 
• Nos preguntamos cómo es el sistema para k ≠ 1; k ≠ -1 y k ≠ 0 , Como éstos 
son los únicos valores de k que anulan la última fila de la matriz escalonada o 
que surgieron por las condiciones que se pusieron al escalonar, concluimos 
que para otros valores de k el sistema es compatible determinado. (les 
sugerimos poner ejemplos) 
Luego, el sistema 





=+−
=++
=++
2kzyx
1zyx
1zykx
 
resulta: 
• Compatible indeterminado para k = 1 
• Incompatible para k = -1 
• Compatible para todo número real distinto de 1 y -1. 
 
Sistemas 
homogéneos 
 
Un sistema m x n de ecuaciones lineales se llama homogéneo si todos sus términos 
independientes son iguales a cero. 
Se representa simbólicamente mediante: A . X = 0 
 
 • Los sistemas homogéneos siempre admiten como solución (0; 0; ...; 0), es decir la n-upla nula (o vector nulo). 
A esta solución se la denomina trivial. 
Para resolver un sistema homogéneo podemos emplear el método de eliminación de 
Gauss. Veamos un ejemplo. 
 
Ejemplo 7 
 
Busquemos la solución del sistema homogéneo: 
 





=−+
=+−
=+−−
0
023
03
zyx
zyx
zyx
 
 
Empleamos el método de Gauss para resolverlo. 
La matriz ampliada del sistema es: 
 
 
 
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









−
−
−−
0
0
0
11 1 
1 23 
3 11
 
 Como los términos independientes son todos iguales a cero, podemos escribir la matriz ampliada sin la columna de ceros. 
 










−
−
−−
11 1 
1 23 
3 11
 
 
Y la llevamos a la forma escalonada haciendo: 
 
• 3F1+ F2  F2 y F1 + F3  F3 
 
 










−
−−
2 0 0 
01 50 
3 11
 
 
La matriz resultante corresponde a un sistema equivalente al dado de la forma: 
 





=
=+−
=+−−
0 z2 
0 z10y5 
0 z3yx
 
Del mismo resulta que z = 0 y reemplazando en las dos primeras ecuaciones es 
x = y = z = 0 
Concluimos que la única solución del sistema es la trivial: 
(x; y; z) = (0; 0; 0) 
 
 
 Veamos otro ejemplo: 
 
Ejemplo 8 
Resolver el sistema 





=+−
=−+
=+−
0z5y3x4
0zyx2
0z3y2x
 
 
Apliquemos el método de Gauss. Igual que en el ejemplo anterior la matriz ampliada es 
igual a la matriz de los coeficientes ya que los términos independientes son nulos. 










−
−
−
534
112
321
 
 
Comenzamos a triangular haciendo 
2F1 – F2  F2 y 4F1 – F4  F4 
 
 
 
 
 
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 









−
−
−
750
750
321
 
 
La segunda y tercera filas son iguales, por lo tanto podemos escribir: 
 










−
−
000
750
321
 
El sistema equivalente es: 



=+−
=+−
0z7y5
0z3y2x
 
 
Este es un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. O sea un sistema 
compatible indeterminado. 
La solución general tiene la forma: 
( ) ( )z;;z;y;x 5z75z−= donde z un número real. 
 
Reemplazando en la solución general por z = 0, se encuentra la solución trivial. 
Haciendo 
• z = 1 es ( )1;;s 5751−= 
• z = 5 es ( )5 7; 1;t −= , 
encontramos 2 soluciones particulares del sistema. 
 
 
 Un sistema homogéneo siempre tiene solución. 
• Si la única solución es la trivial el sistema es compatible determinado. 
• Si tiene infinitas soluciones el sistema es compatible indeterminado 
 
 
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