2 3 Ecuaciones Diferenciales Lineales

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2.3. Ecuaciones Lineales 
 
 Se definen de la siguiente forma: 
𝑎!(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 𝑎"
(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 
Sí g(x) =0, se denomina ecuación lineal homogénea, caso contrario se llama no 
homogénea. 
𝑎!(𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 𝑎"
(𝑥)𝑦 = 0 → 𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔é𝑛𝑒𝑎 
Forma Estándar: Se divide por 𝑎!(𝑥) 
	𝑎!(𝑥) ≠ 0 
𝑑𝑦
𝑑𝑥 +
𝑎"(𝑥)
𝑎!(𝑥)
𝑦 =
𝑔(𝑥)
𝑎!(𝑥)
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑓(𝑥) 
 
Esta ecuación estándar tiene la propiedad que la solución es 
𝑦 = 𝑦# + 𝑦$ 
• 𝑦# es la solución de la ecuación homogénea 
• 𝑦$ es la solución particular de la ecuación no homogénea 
 
Cálculo de 𝒚𝒄 
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 0 
𝑑𝑦#
𝑑𝑥 + 𝑃(𝑥)𝑦# = 0 
𝑑𝑦#
𝑑𝑥 = −𝑃(𝑥)𝑦# 
7
𝑑𝑦#
𝑦#
= −7𝑃(𝑥) 𝑑𝑥 
 
ln(𝑦#) = −7𝑃(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑐 
𝑦! = 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥	+	𝑐 
𝑦! = 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥	𝑒𝑐 
 
𝑦! = ∁	𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
 
Cálculo de 𝒚𝒑 
Método de Variación de Parámetros 
𝑦$ = 𝑢(𝑥)	𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
𝑦! = 𝑢(𝑥)	𝑦1 
Derivando: 
𝑦𝑝
) = [𝑢(𝑥)𝑦!]) 
Regla del producto 
𝑦𝑝
) = 𝑢)𝑦! + 𝑢	𝑦!) 
Reemplazando en la forma estándar de la ecuación lineal 
𝑢)𝑦! + 𝑢	𝑦!) + 𝑃(𝑢𝑦!) = 𝑓(𝑥) 
𝑢(𝑃𝑦! + 	𝑦!)) + 𝑢)𝑦! = 𝑓(𝑥) 
 
Donde (𝑃𝑦! + 	𝑦!))	= 0, entonces la ecuación quedaría: 
𝑢)𝑦! = 𝑓(𝑥) 
𝑑𝑢
𝑑𝑥 𝑦! = 𝑓(𝑥) 
𝑑𝑢 =
𝑓(𝑥)
𝑦!
𝑑𝑥 
7𝑑𝑢 = 7
𝑓(𝑥)
𝑦!
𝑑𝑥 
𝑢 = 7
𝑓(𝑥)
𝑦!
𝑑𝑥 
 
Reemplazando en 𝑦! 
𝑦$ = 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 >7
𝑓(𝑥)
𝑦!
𝑑𝑥? 
𝑦$ = 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 >7
𝑓(𝑥)
𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥
𝑑𝑥? 
𝑦$ = 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 @7𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥A 
 
Solución 𝒚 
𝑦 = 𝑦# + 𝑦$ 
 
𝒚 = 𝑐𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 + 𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 @7𝑒∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥A 
 
𝑦 = 𝑒)∫*(+),+'∫ 𝑒∫*(+),+𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶/ →		Solución 
 
EJERCICIOS 
3. 
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 𝑦 = 𝑒
*+ 
			𝑃(𝑥) = 1 
			7𝑃 𝑑𝑥 = 7𝑑𝑥 = 𝑥 
Reemplazando en la solución 
𝑦 = 𝑒−𝑥 D7𝑒𝑥𝑒*+𝑑𝑥 + 𝐶F 
𝑦 = 𝑒−𝑥 D7 𝑒,+𝑑𝑥 + 𝐶F 
𝑦 = 𝑒−𝑥 G𝑒
,+
4 + 𝐶I 
 
 
 
 
 
 
12.	
(1 + 𝑥)
𝑑𝑦
𝑑𝑥 − 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑥
- 
i) Transformar a forma estándar, dividiendo la ecuación para (1 + 𝑥) 
	
𝑑𝑦
𝑑𝑥 −
𝑥𝑦
(1 + 𝑥) =
𝑥 + 𝑥-
(1 + 𝑥) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥 −
𝑥𝑦
(1 + 𝑥) =
𝑥(1 + 𝑥)
(1 + 𝑥) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥 −
𝑥𝑦
(1 + 𝑥) = 𝑥 
			𝑃(𝑥) = −
𝑥
(1 + 𝑥) 
			7 𝑃 𝑑𝑥 = 7−
𝑥
(1 + 𝑥) 𝑑𝑥 
 
𝑢 = 1 + 𝑥 
𝑥 = 𝑢 − 1 
𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 
−7
𝑢 − 1
𝑢 𝑑𝑢 
−D7
𝑢
𝑢 𝑑𝑢 −7
1
𝑢 𝑑𝑢F 
−[𝑢 − ln	(𝑢)] 
−𝑢 + ln	(𝑢) 
			7𝑃 𝑑𝑥 = −(1 + 𝑥) + ln	(1 + 𝑥) 
 
Reemplazando en la solución: 
𝑦 = 𝑒−(−(1+𝑥)+ln(1+𝑥)) D7𝑒(−(1+𝑥)+ln(1+𝑥))(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶F 
 
𝑦 = 𝑒(1+𝑥)−ln(1+𝑥)) D7𝑒(−(1+𝑥)+ln(1+𝑥))(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶F 
𝑦 = 𝑒(1+𝑥)𝑒(−ln	(1+𝑥)) D7𝑒−(1+𝑥)𝑒ln	(1+𝑥)(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶F 
𝑦 = 𝑒(1+𝑥)
1
1 + 𝑥 %& 𝑒
−(1+𝑥)(1 + 𝑥)(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶+ 
 
𝑦 = 𝑒(1+𝑥)
1
1 + 𝑥 %& 𝑒
−(1+𝑥)(1 + 𝑥)(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶+ 
𝑦 = 𝑒(1+𝑥)
1
1 + 𝑥 %&𝑒
−1𝑒−𝑥(1 + 𝑥)(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶+ 
 
𝑦 = 𝑒1𝑒𝑥
1
1 + 𝑥 %𝑒
−1&𝑒−𝑥(1 + 𝑥)(𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶+ 
𝑦 = 𝑒𝑥
1
1 + 𝑥 %&𝑒
−𝑥(𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶+ 
𝑦 = 𝑒𝑥
1
1 + 𝑥 %&𝑒
−𝑥(𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶+ 
Integración por partes 
	& 𝑒−𝑥(𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥 
𝑢 = (𝑥2 + 𝑥)				𝑑𝑢 = (1 + 2𝑥)𝑑𝑥 
𝑑𝑣 = (𝑒%&	)𝑑𝑥							𝑣 = −𝑒%&								 
 
&𝑒−𝑥(𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥2 + 𝑥)(−𝑒%&) + &𝑒−𝑥(1 + 2𝑥)𝑑𝑥				 
 
Integración por partes 
	&𝑒−𝑥(1 + 2𝑥)𝑑𝑥 
𝑢 = 1 + 2𝑥				𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 
 𝑑𝑣 = (𝑒%&	)𝑑𝑥							𝑣 = −𝑒%&	 
&𝑒−𝑥(1 + 2𝑥)𝑑𝑥 = (1 + 2𝑥)(−𝑒%&) − &(−𝑒%&)(2)𝑑𝑥				 
& 𝑒−𝑥(1 + 2𝑥)𝑑𝑥 = (1 + 2𝑥)(−𝑒%&) − 2&(−𝑒%&)𝑑𝑥				 
&𝑒−𝑥(1 + 2𝑥)𝑑𝑥 = (1 + 2𝑥)(−𝑒%&) − 2𝑒%&				 
 
& 𝑒−𝑥(1 + 2𝑥)𝑑𝑥 = −2𝑒%&𝑥 − 3𝑒%& 
 
Entonces: 
 
& 𝑒−𝑥(𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥 = (𝑥2 + 𝑥)(−𝑒%&) + [−2𝑒%&𝑥 − 3𝑒%&]	 
 
&𝑒−𝑥(𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥𝑥' − 3𝑥𝑒−𝑥 − 3𝑒−𝑥	 
 
Reemplazando en la solución: 
𝑦 = 𝑒𝑥
1
1 + 𝑥 %&𝑒
−𝑥(𝑥2 + 𝑥)𝑑𝑥 + 𝐶+ 
 
𝑦 = 𝑒𝑥
1
1 + 𝑥 [(−𝑒
−𝑥𝑥' − 3𝑒−𝑥𝑥 − 3𝑒−𝑥) + 𝐶] 
 
33. Problema con condiciones 
 
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 = 𝑓
(𝑥),				𝑦(0) = 2 
𝑓(𝑥) = L𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1		0	,																		𝑥 > 1 
Primer caso, con 𝑓(𝑥) = 𝑥, 	0 ≤ 𝑥 ≤ 1		 
𝑑𝑦
𝑑𝑥 + 2𝑥𝑦 = 𝑥			 
			𝑃(𝑥) = 2𝑥 
			7𝑃 𝑑𝑥 = 72𝑥𝑑𝑥 
			7𝑃 𝑑𝑥 = 𝑥- 
𝑦 = 𝑒−𝑥2 D7𝑒𝑥2(𝑥)	𝑑𝑥 + 𝐶F 
 
𝑢 = 𝑥2 		→ 		𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥		 → 		𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2𝑥 
𝑦 = 𝑒−𝑥2 D7𝑒𝑢(𝑥) 𝑑𝑢2𝑥	 + 𝐶F 
𝑦 =
1
2𝑒
−𝑥2 D7𝑒𝑢𝑑𝑢 + 𝐶F 
𝑦 =
1
2𝑒
−𝑥2[𝑒2 + 𝐶] 
𝑦 =
1
2𝑒
−𝑥2 O𝑒𝑥2 + 𝐶P 
𝑦 =
1
2+ 𝑒
−𝑥2𝐶 
Reemplazando la condición 𝑦(0) = 2 
2 =
1
2+ 𝑒
0𝐶 
2 =
1
2+ 𝐶 
𝐶 =
3
2 
Entonces: 
𝑦 =
1
2+ 𝑒
−𝑥2 @
3
2A 
 
𝒚 =
1 + 3𝑒3+!
2 
 
Segundo caso, 𝑓(𝑥) = 0, 	𝑥 > 1		 
Debido a que es una ecuación lineal homogénea basta aplicar la primera fórmula de 
solución homogénea. 
𝑦! = ∁	𝑒−∫𝑃(𝑥)𝑑𝑥 
		𝑃(𝑥) = 2𝑥 
			7𝑃 𝑑𝑥 = 72𝑥𝑑𝑥 
			7𝑃 𝑑𝑥 = 𝑥- 
 
𝑦 = ∁	𝑒−𝑥2 
La solución es: 
𝑦 = R
1 + 3𝑒3+!
2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1		
∁	𝑒−𝑥2 , , 𝑥 > 1
 
 
Para obtener la constante es necesario igualar los limites laterales cuando x tiende a 1, 
esto se puede hacer porque la función solución es continua en todo su intervalo. 
 
lim
+→!"
>
1 + 3𝑒3+!
2 ? = lim+→!# (∁	𝑒
−𝑥2) 
>
1 + 3𝑒3!
2 ? = U∁	𝑒
−1V 
1 + 3𝑒
2
1
=
∁
𝑒 
 
𝑒 + 3
𝑒
2
1
=
∁
𝑒 
 
𝑒 + 3
2𝑒 =
∁
𝑒 
 
∁=
𝑒(𝑒 + 3)
2𝑒 
∁=
𝑒 + 3
2 
La solución queda: 
𝒚 =
⎩
⎨
⎧1 + 3𝑒
#$!
2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
/	
𝑒 + 3
2 1 𝑒
#$! ,								𝑥 > 1