2p Wronskiano_AlexLuque

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¿Cómo detectar la independencia lineal de un conjunto de “k” funciones en el espacio vectorial 𝑪𝒏(𝑹)? 
Definición: 
 
Para contestar esa pregunta se puede emplear el siguiente método denominado Wronskiano 
 
𝑊(𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑘)(𝑥) = 𝑑𝑒𝑡 [
𝑓1(𝑥) 𝑓2(𝑥)
𝑓1
′(𝑥) 𝑓2
´(𝑥)
… 𝑓𝑘(𝑥)
… 𝑓𝑘
1(𝑥)
… …
𝑓1
(𝑘−1)
(𝑥) 𝑓2
(𝑘−1)
(𝑥)
… …
… 𝑓𝑘
(𝑘−1)
(𝑥)
] 
Si el resultado de este determinante es igual a “Cero” el conjunto de vectores en el espacio 𝑪𝒏(𝑹) es LINEALMENTE 
DEPENDIENTE, caso contario el conjunto de vectores es LINEALMENTE INDEPENDIENTE. 
EJERCICIO: 
Sea 𝑉 = 𝑔𝑒𝑛{𝑐𝑜𝑠2(𝑥), 1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), 𝑠𝑒𝑛2(𝑥), 5, cos(2𝑥)} 
a.- Determinar si el conjunto generador de V es linealmente independiente o dependiente 
b.- Hallar una base para V 
Desarrollo: 
Como se puede observar el conjunto generador de V, está conformado por 5 vectores, antes de aplicar el 
método del Wronskiano debemos verificar en la medida de lo posible si alguno de ellos es combinación lineal 
de los n-1 vectores restantes, en este caso se tratan de funciones trigonométricas, por tanto emplearemos 
IDENTIDADES TROGONOMÉTRICAS en primera con la finalidad de determinar si alguno de ellos se puede 
escribir como combinación lineal de los n-1 restantes. 
Las identidades identificadas son: 
cos(2𝑥) = 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 1 − 2𝑠𝑒𝑛2(𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 1 
𝑠𝑒𝑛(2𝑥) = 2sen(x)Cos(x) 
ENTONCES, observemos que: 
𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 0 ∗ (1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) + (−1)𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + (
1
5
) 5 + 0 ∗ cos⁡(2x) 
𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 1𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 0 ∗ (1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥)) + (−1)𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + (0)5 
Estos vectores que son L.D. los retiramos del conjunto generador y sólo nos queda: 
 𝑉 = 𝑔𝑒𝑛{1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), 𝑠𝑒𝑛2(𝑥), 5, }. Ahora a través del método Wronskiano; debemos validar si los tres 
vectores que han quedado constituuyen una base para V. 
Aplicado el método del wronskinao obtenemos: 
𝑊(1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), 𝑠𝑒𝑛2(𝑥), 5)=|
1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥) 𝑠𝑒𝑛2(𝑥) 5
−2cos⁡(2𝑥)
4⁡𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
2 cos(2𝑥)
0
0
| = 5[−4𝑐𝑜𝑠2(𝑥) − 4𝑠𝑒𝑛2(𝑥)] 
𝑊 = 5(−4)[𝑐𝑜𝑠2(𝑥) + 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)] = 5(−4)(1) = −20⁡𝑦 − 20 ≠ 0 
POR TANTO: 𝑉 = 𝑔𝑒𝑛{1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), 𝑠𝑒𝑛2(𝑥), 5, } y además de generar a V, al ser L.I. este mismo conjunto 
forma entones una baseV. 
 
CONCLUIONES GENERALES: a) {1 − 𝑠𝑒𝑛(2𝑥), 𝑠𝑒𝑛2(𝑥), 5, } este conjunto de vectores generan a V, y además 
son L.I. entonces, b)forma una base para V.