APUNTES 3 CALCULO N VARIABLES

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Soluciones del control 1 de Cálculo (23 de marzo de 2015)
1. Sea f (x,y)= x
4
y
2 , f (x,0)=0 . a] Dibujar las curvas de nivel f (x,y)=0 ,1 ,4 . b] Precisar si f es continua, si
tiene derivadas parciales y si es diferenciable en (0,0) . c] Hallar un vector unitario u tal que D
u
f (1,�1)=�4 .
d] Escribir la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en (1,�1) . e] Si c(t)=
�
et , t�1
�
, hallar, mediante
la regla de la cadena, la derivada de h(t)= f (c(t)) en t=0 . [0.5 puntos]
z=0z=1
z=4
x1 2
-1
z=1
z=0
z=4
y
u f∆
c
1
a]
x
4
y
2 =0 ! x=0 (e y=0 ), x
4
y
2 =1 y 4 ! y=±x2 e y=± 12 x
2 (parábolas).
b] Las curvas de nivel muestran que no tiene límite f en (0,0) y no es continua.⇥
Cerca del origen hay puntos donde f vale 1,4, . . . , o bien, f (x,mx2)= 1
m
2
⇤
.
Por no ser continua, f no es diferenciable en el punto.
f (x,0)= f (0,y)=0 ) f
x
(0,0)= f
y
(0,0)=0 . Existen las parciales.
c] —f =
� 4x3
y
2 ,� 2x
4
y
3
�
, —f (1,�1)=(4,2) . Vale u =(�1,0) =�i , pues 4 es la D
u
en la dirección de i .
⇥
Con más trabajo u =
�
ap
a
2+b2
, bp
a
2+b2
�
! D
u
f (1,�1)= 4a+2bp
a
2+b2
=�4 )- b=0 ó b= 4a3 !
�
� 35 ,�
4
5
� ⇤
.
d] Plano tangente: z =1+4(x�1)+2(y+1) , o bien, z =4x+2y�1 .
e] c(0)=(1,�1) , c0(0)=(1,1) , h0(0) = —f (c(0)) · c0(0) = 6 .
O bien: h(t)= f
�
et , t�1
�
! h0(t)= f
x
�
et , t�1
�
et+ f
y
�
et , t�1
�
t=0�! h0(0)= f
x
(1,�1)+ f
y
(1,�1)=6 .
⇥
Componiendo y derivando: h(t)= e
4t
(t�1)2 ! h
0(t)=
2e4t(2t�3)
(t�1)3
t=0�! 6
⇤
.
2. Sea g(x,y)= e�
p
x
2+y2 . a] Dibujar aproximadamente g(0,y) y la gráfica de g . ¿Es diferenciable en (0,0) ?
b] Calcular —g(�2,0) , utilizando cartesianas y polares. Calcular Dg(�2,0) en cartesianas o en polares.
c] Si h(u,v,w)=g
�
u+3v,arctan(vw)
�
, hallar, utilizando la regla de la cadena, ∂h∂v (1,�1,0) . [0.3 puntos]
y
z
1
1/e
1-1
z
a] g(0,y)= e�
p
y
2
= e�|y| , par y es e�y, si y�0 . De revolución.
Como no existe g
y
(0,0) , no es diferenciable en el origen.
b] En cartesianas: g
x
(x,y)=� xe
�
p
x
2+y2p
x
2+y2
, g
y
(x,y)=� ye
�
p
x
2+y2p
x
2+y2
. —g(�2,0)=
�
e�2, 0
�
.
En polares: g(r,q)= e�r . —g=g
r
e
r
=�e�r(cosq ,senq) q =p�!
r=2
�e�2(�1,0)% .
Laplaciano mejor en polares: Dg=g
rr
+ 1
r
g
r
= e�r� 1
r
e�r =
�
1� 1
r
�
e�r
���
r=2
= 12 e
�2 .
g
xx
=� e�
p
·
(x2+y2)1/2
+ x
2 e�
p
·
(x2+y2)3/2
+ x
2 e�
p
·
x
2+y2 =
(x2
p
·�y2)e�
p
·
(x2+y2)3/2
, g
yy
=
(y2
p
·�x2)e�
p
·
(x2+y2)3/2
. Dg=
-(�2,0)�p
x
2+y2�1
�
e�
p
x
2+y2
p
x
2+y2
.
c] h
v
= g
x
x
v
+g
y
y
v
= 3g
x
+ w1+v2w2 gy ! hv(1,�1,0) = 3gx(�2,0)+0 ·gy(�2,0)= 3e
�2 .
3. Sean a =(�1,0,3) y f(x,y,z)=
�
xz , y2, x
�
. a] Calcular: i) a⇥ f(a) , ii) el ángulo que forman a y f(a) ,
iii) div f , iv) —
�
div f
�
, v) rot f y vi) f · rot f . b] Precisar el punto de corte con el plano z=5 de la recta
perpendicular a la superficie div f =3 en el punto a . [0.3 puntos]
a] i) a⇥ f(a)=
������
i j k
�1 0 3
�3 0 �1
������
=(0,�10,0) . ii) a · f(a)=0 , ángulo p2 . iii) div f = z+2y . iv) —
�
div f
�
=(0,2,1) .
v) rot f =(0,x�1,0) , vi) f · rot f =(x�1)y2 .
b] z+2y=3 es un plano (al que pertenece a ), con vector perpendicular (0,2,1) . La recta perpendicular será:
x =(�1,0,3)+ t (0,2,1)=(�1,2t,3+t) que corta z=5 para t=2 ! punto (�1,4,5) .
⇥
Décimas: 1: a] 10, b] 8+5+5=18, c,d] 3—+6+5=14, e] 8. 2: a] 9, b] 4+5+4=13, c] 8. 3: a] 3+4+3+3+4+3=20, b] 10
⇤
.
Soluciones del control 1* de Cálculo (23 de marzo de 2015)
1. Sea f (x,y)= x
2
(y�1)2 , f (x,1)=0 . a] Dibujar las curvas de nivel f (x,y)=0 ,1 ,4 . b] Precisar si f es continua,
si tiene derivadas parciales y si es diferenciable en (0,1) . c] Hallar un vector unitario u tal que D
u
f (2,0)=�8 .
d] Escribir la ecuación del plano tangente a la gráfica de f en (2,0) . e] Si c(t)=
�
2t, t2�1
�
, hallar, mediante
la regla de la cadena, la derivada de h(t)= f (c(t)) en t=1 . [0.5 puntos]
z=0z=1
z=4
x
1 2
-1
z=1
z=0
z=4
y
u
f
∆
c
a]
x
2
(y�1)2 =0 ! x=0 (e y=0 ),
x
2
(y�1)2 =1 , 4 ! y=1±x , y=1±
x
2 [rectas por (0,1) ].
b] Las curvas de nivel muestran que no tiene límite f en (0,0) y no es continua.⇥
Cerca del origen hay puntos donde f vale 1,4, . . . , o bien, f (x,1+mx)= 1
m
2
⇤
.
Por no ser continua, f no es diferenciable en el punto.
f (x,1)= f (0,y)=0 ) f
x
(0,1)= f
y
(0,1)=0 . Existen las parciales.
c] —f =
� 2x
(y�1)2 ,�
2x2
(y�1)3
�
, —f (2,0)=(4,8) . Vale u =(0,�1) =�j , pues 8 es la D
u
en la dirección de j .
⇥
Con más trabajo u =
�
ap
a
2+b2
, bp
a
2+b2
�
! D
u
f (2,0)= 4a+8bp
a
2+b2
=�8 )- a=0 ó a= 4b3 !
�
� 45 ,�
3
5
� ⇤
.
d] Plano tangente: z =4+4(x�2)+8(y�0) , o bien, z =4x+8y�4 .
e] c(1)=(2,0) , c0(1)=(2,2) , h0(1) = —f (c(1)) · c0(1) = 24 .
O bien: h(t)= f
�
2t, t2�1
�
! h0(t)=2 f
x
�
2t, t2�1
�
+2t f
y
�
2t, t2�1
�
t=1�! h0(1)=2 f
x
(2,0)+2 f
y
(2,0)=24 .
⇥
Componiendo y derivando: h(t)= 4t
2
(t2�2)2 ! h
0(t)=� 8t(t
2+2)
(t2�2)3
t=1�! 24
⇤
.
2. Sea g(x,y)=arctan
p
x
2+y2 . a] Dibujar aproximadamente g(0,y) y la gráfica de g . ¿Es diferenciable en (0,0) ?
b] Calcular —g(0,�2) , utilizando cartesianas y polares. Calcular Dg(0,�2) en cartesianas o en polares.
c] Si h(u,v,w)=g
�
uew,4v+6w
�
, hallar, utilizando la regla de la cadena, ∂h∂w(0,1,�1) . [0.3 puntos]
y
zπ/2
π/4
1-1
z
a] g(0,y)=arctan |y| , par y es arctany , si y�0 . De revolución.
Como no existe g
y
(0,0) , no es diferenciable en el origen.
b] En cartesianas: g
x
(x,y)= x
(1+x2+y2)
p
x
2+y2
, g
y
(x,y)= y
(1+x2+y2)
p
x
2+y2
. —g(0,�1)=
�
0 ,� 15
�
.
En polares: g(r,q)= arctanr . —g=g
r
e
r
= 11+r2 (cosq ,senq)
q =�p/2�!
r = 2
1
5(0,�1)
% .
Laplaciano mejor en polares: Dg=g
rr
+ 1
r
g
r
=� 2r(1+r2)2 +
1
r(1+r2) =
1�r2
r(1+r2)2
���
r=2
= � 350 .
g
xx
= 1
(1+x2+y2)(x2+y2)1/2 + · · ·=
y
2+y4�x2y2�2x4
(1+x2+y2)2(x2+y2)3/2 , gyy=
x
2+x4�x2y2�2y4
(1+x2+y2)2(x2+y2)3/2 . Dg=
-(0,�2)
1�x2�y2
(1+x2+y2)2
p
x
2+y2
.
c] h
w
= g
x
x
w
+g
y
y
w
= uewg
x
+6g
y
! h
w
(0,1,�1)= 0·g
x
(0,�2)+6g
y
(0,�2)= � 65 .
3. Sean a =(2,2,�1) y f(x,y,z)=
�
x
2, yz ,y2
�
. a] Calcular: i) a⇥ f(a) , ii) el ángulo que forman a y f(a) ,
iii) div f , iv) —
�
div f
�
, v) rot f y vi) f · rot f . b] Precisar el punto de corte con el plano z=0 de la recta
perpendicular a la superficie div f =3 en el punto a . [0.3 puntos]
a] i) a⇥ f(a)=
������
i j k
2 2 �1
4 �2 4
������
=(6,�12,�12) . ii) a · f(a)=0 , ángulo p2 . iii) div f = 2x+z .
iv) —
�
div f
�
=(2,0,1) . v) rot f =(y,0,0) . vi) f · rot f =x2y .
b] z+2x=3 es un plano (al que pertenece a ), con vector perpendicular (2,0,1) . La recta perpendicular será:
x =(2,2,�1)+ t (2,0,1)=(2+2t,2, t�1) que corta z=0 para t=1 ! punto (4,2,0) .
⇥
Décimas: 1: a] 10, b] 8+5+5=18, c,d] 3—+6+5=14, e] 8. 2: a] 9, b] 4+5+4=13, c] 8. 3: a] 3+4+3+3+4+3=20, b] 10
⇤
.
Soluciones del control 2 de Cálculo (26 de mayo de 2015)
1. Calcular la integral doble
"
D
y dxdy , donde D es el semicírculo definido por (x�1)2+ y21 , y�0 :
a] Integrando: i) en cartesianas (de una de las dos formas posibles) y ii) en las polares habituales.
b] Usando ‘polares centradas en (1,0)’ : x=1+ucosv , y=usenv (tras hallar su jacobiano). [0.26+0.14 = 0.4 ptos]
r=2senθ
v=0v=π
u=1
a] i)
"
D
y =
Z 2
0
Z p2x�x2
0
y dydx = 12
Z 2
0
(2x�x2)dx = 12
⇥
4� 83
⇤
= 23 .
"
D
y =
Z 1
0
Z 1+
p
1�y2
1�
p
1�y2
y dxdy =
Z 1
0
2y(1�y2)1/2 dy =� 23
⇥
(1�y2)3/2
⇤1
0=
2
3 .
ii)
"
D
y =
#
Z p/2
0
Z 2cosq
0
r
2 senq dr dq = 83
Z p/2
0
cos3q senq dq = 23
⇥
� cos4q
⇤p/2
0 =
2
3 .
x
2+y2=2x , r2=2r cosq , r=2cosq
b] Jacobiano ∂ (x,y)∂ (u,v) =
����
cosv �usenv
senv ucosv
����= u . (x�1)2+ y2=1 ! u=1 . y�0 si v2 [0,p] . Por tanto:
"
D
y =
Z p
0
Z 1
0
u
2 senvdudv =
⇥
u
3
3
⇤1
0
⇥
� cosv
⇤p
0 =
2
3 .
2. Sea f (x,y,z)=y . a] Hallar
$
V
f , si V es el sólido acotado en x,y�0 por el paraboloide z=x2+y2 y z=2 .
(Mejor en cilíndricas, aunque no es difícil en cartesianas).
b] Si C es el corte de z=x2+y2 con x=0 ,para y�0 , 0z2 , parametrizar la curva C y hallar:
i)
Z
C
f ds . ii)
Z
C
—f ·ds , en el sentido las z crecientes. [0.2+0.2 = 0.4 ptos]
a] Paraboloide y plano se cortan en la circunferencia de radio
p
2 . Cilíndricas:
$
V
f =
Z p/2
0
Z p2
0
Z 2
r
2
r
2 senq dzdr dq =
⇥
� cosq
⇤p/2
0
Z p2
0
(2r2�r4)dr
=
⇥2r2
3 �
r
5
5
⇤p2
0 =
⇥ 4p2
3 �
4
p
2
5
⇤
= 815
p
2 .
$
V
f =
Z p2
0
Z p2�x2
0
Z 2
x
2+y2
y dzdydx =
Z p2
0
Z p2�x2
0
(2y�x2y�y3) dydx
=
Z p2
0
⇥1
2(2�x
2)2� 14(2�x
2)2
⇤
dx =
Z p2
0
�
1�x2+ 14 x
4�
dx =
||p
2(1� 23+
1
5) .
b] Podemos parametrizar C con c(t)=(0, t, t2) , t2
⇥
0,
p
2
⇤
, o con c⇤(t)=
�
0,
p
t, t
�
, t2 [0,2] .
i) c0(t)=(0,1,2t) , kc0k=
p
1+4t2 ,
Z
C
f ds =
Z p2
0
t (1+4t2)1/2dt = 112(1+4t
2)3/2
⇤p2
0 =
13
6 .
c
0
⇤(t)=
�
0, 12pt ,1
�
, kc0k=
q
1
4t +1 ,
Z
C
f ds =
Z 2
0
1
2(1+4t)
1/2
dt = 112(1+4t)
3/2⇤2
0=
13
6 .
ii)
Z
C
—f ·ds = f
�
0,
p
2 ,2
�
� f (0,0,0)=
p
2 .
h
O bien:
Rp2
0 (0,1,0)·(0,1,2t)dt=
R 2
0 (0,1,0)·
�
0, 12pt ,1)dt=
p
2
i
.
3. Comprobar el teorema de Green para el campo vectorial f(x,y)=(�xy ,y) en el recinto D limitado por la
parábola y=x2 y el segmento que une los puntos (�1,1) y (2,4) . [0.4 puntos]
D y=x
y=x+2
2
g
x
� f
y
= x .
"
D
x =
Z 2
�1
Z 2+x
x
2
x dydx =
Z 2
�1
(2x+x2�x3)dx =
⇥
3+ 93�
15
4
⇤
= 94 .
O bien:
Z 1
0
Z p
y
�py
x dxdy +
Z 4
1
Z p
y
y�2
x dxdy = 0+ 12
Z 4
1
(5y�y2�4)dy = 94 .
Parametrizamos los dos tramos de la frontera:
c1(x)=(x,x2) , x2 [�1,2] . c2(x)=(x,x+2) , x2 [2,�1]⇥
o c2(y)=(y�2,y) , y2 [4,1] , o c2(t)=(2�3t,4�3t) , t2 [0,1]
⇤
.
I
∂D
f ·ds =
Z 2
�1
(�x3,x2) · (1,2x)dx +
Z �1
2
(�x2�2x,2+x) · (1,1)dx
=
Z 2
�1
x
3
dx +
Z 2
�1
(x2+x�2)dx = 154 +
9
3 +
3
2 �6 =
15
4 �
3
2 =
9
4 .
Soluciones del parcial de Cálculo (grupo C) (abril de 2015)
1. Sea f (x,y)= 2xy+y
3
x2+y2 si (x,y),(0,0) , f (0,0)=0 . a) Dibujar las curvas de nivel f (x,y)=0 .
b) Estudiar la existencia de derivadas parciales, la continuidad y la diferenciabilidad de f en (0,0) .
c) Hallar un vector unitario u tal que Du f (�2,2)=0 . [0.5+1.5+1=3pt]
x
2
-2 z=0
y
u
f
∆
z=0
a) f =0 , y(2x+y2)=0 ! y=0 y la parábola x=� 12 y
2 [que pasa por (�2,2) ].
b)
f (x,0)=0
f (0,y)=y
) fx(0,0)=0
fy(0,0)=1
. f (x,mx)= 2m+m
3x
1+m2 �!x!0
2m
1+m2 ) discontinua en (0,0) .
⇥
En polares es casi lo mismo: f (r,q)=2cosq senq+r sen3q !
r!0
sen2q dependiente de q
⇤
.
⇥
Para probar la discontinuidad bastaba comprobar, por ejemplo, que f (x,x)!
x!0
1
⇤
.
Por no ser f continua, deducimos que f no es diferenciable en ese punto.
c) —f =
� 2y(y2�x2�xy2)
(x2+y2)2 ,
2x3�2xy2+3x2y2+y4
(x2+y2)2
���
(�2,2)=
� 1
2 ,1
�
, (2,�1) perpendicular ) u =
� 2p
5
,� 1p
5
� ⇥
ó �u
⇤
.
⇥
Más corto: u debe ser vector tangente a la curva de nivel, que tiene pendiente � 12 en el punto
⇤
.
2. Sea g(x,y)=y3�2x2+2xy�2y2 . a) Hallar sus extremos locales. ¿Tiene extremos absolutos? b) Justificar
que g(x,y)=0 define una función y(x) de C1 cerca de (0,2) y hallar la recta tangente a y(x) en ese punto.
c) Si c(t)=
�
t�1, t+t2
�
y h(t)=g(c(t)) , calcular h0(1) utilizando la regla de la cadena en Rn. [2+0.7+0.8=3.5pt]
g=1
g=0
g= 1
g= 1/2
c
a)
gx=2y�4x=0 , y=2x &
gy=3y2+2x�4y=0 , 6x(2x�1)=0
, Hg=
����
�4 2
2 6y�4
����=12(1�2y) !
� 1
2 ,1
�
silla y (0,0) máximo local
⇥
con valores g
� 1
2 ,1
�
=�12 y g(0,0)=0
⇤
.
g(0,y)=y3�2y2 �!
y!±•
±• ) no tiene extremos absolutos.
b) g(0,2)=0 , gy(0,2)=4,0 ) existe y(x)2C1 cerca de (0,2) , gx(0,2)=4 ,
y0(0)=�44 =�1 . Recta tangente y=y(0)+y
0(0)(x�0)=2�x .
c) c(1)=(0,2) , c 0(1)=(1,3) , h0(1)= —g(c(1)) · c 0(1)=(4,4)·(1,3)=16 .
⇥
Con Maple pintamos las curvas de nivel g=�1,� 12 , 0 y 1 . Se ve que la recta es tangente a g=0 . También se ve que h
0(1)>0 .
La curva g=0 es precisamente la curva f =2 del problema anterior (buscando más información sobre f llegaríamos a ella)
⇤
.
3. Sea f(x,y,z)=
�
xz2,�x2y ,�y2z
�
. a) Calcular: i) div f , ii) —
�
div f
�
, iii) rot f .
b) Obtener la ecuación del plano tangente y la recta normal a la superficie div f =0 en el punto (3,4,5) .
¿Corta la recta normal alguno de los tres ejes? [1+1.5=2.5pt]
a) div f =z2�y2�x2 [=0 cono]. —
�
div f
�
=(�2x,�2y,2z) (3,4,5)�! 2(�3,�4,5) . rot f =(�2yz,2xz,�2xy) .
b) Plano tangente: �3(x�3)�4(y�3)+5(z�5)=0 , 5z=3x+4y (pasa por el origencomo en todo cono)
⇥
ó z=
p
x2+y2 ...
⇤
.
Recta normal:
�
3(1�t),4(1�t),5(1+t)
�
, que para t=1 corta el eje z (esperable en cono) en (0,0,10) .
4. Comprobar que u(x,y)= xy+xh
� y
x
�
, con h: R!R derivable y x>0 , cumple la ecuación xux+yuy = u+xy .
[1 pt]
ux=y+h
� y
x
�
�xh0
� y
x
� y
x2 , uy=x+ xh
0� y
x
� 1
x , xux+ yuy=2xy+xh
� y
x
�
�yh0
� y
x
�
+yh0
� y
x
�
= 2xy+xh
� y
x
�
= u+xy .
otros apartados preparados que no llegué a preguntar:
1. d) Calcular D f (�2,2) (mejor en polares).
2. a*) Hallar los puntos críticos de g sobre y�2x=1 ulizando multiplicadores de Lagrange.
3. c) Hallar D f . Si c(t)=
�
3,5�t2,5t
�
y r(t)=
�
f� c
�
(t) , hallar c 0(1) y, con la regla de la cadena, r 0(1) .
1d) f (r,q)=sen2q+r sen3q ) frr+ frr +
fqq
r2
��
(2
p
2 ,3p/4) =1
⇥
o peor fxx+ fyy=
2y(3x2�y2�4x)
(x2+y2)2
��
(�2,2) = 1
⇤
.
2a*)
y�2x=�l &
3y2+2x�4y=l # 3y(y�1)=0
y�2x=1 x=�1/2,0
!
�
� 12 ,0
�
, (0,1) .
[La recta y=2x+1 es tangente a las curvas de
nivel g=� 12 y g=�1 del dibujo de arriba].
3c) c 0(1)=(0,�2,5) . c(1)=(3,4,5) . Df =
0
@
z2 0 2xz
�2xy �x2 0
0 �2yz �y2
1
A. c 0(1)= Df(c(1)) c0(1)=(150,18,0) .