Trabajo de investigacion - Elementos finitos

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Elementos finitos
William David Ramos Clemente 
Eduar Enrique Jaramillo Rodríguez
Departamento de Ingeniería, Universidad de Córdoba 
Diseño de Máquinas I
Ing. Valéry José Lancheros Suárez
26 de Octubre de 2021
Contenido
Introducción	3
Método de los elementos finitos	3
Desarrollo del método de los elementos finitos	4
Elementos finitos para resolver ecuaciones diferenciales	8
Referencias	11
Introducción
 En éste documento hablaremos maneras de cómo examinar y desarrollar problemas estructurales por medio de la utilización del procedimiento de los elementos finitos. Para poder usar éste método de una manera eficaz vamos a utilizar o escoger un componente fundamental (denominado actualmente como elemento finito) y a su vez realizar una buena interconexión, para que el sistema resultante converja a una solución aproximada, la cuál será determinada de dos formas, a partir de la ley de Hooke generalizada y ecuaciones diferenciales que expondremos posteriormente.  Ahora bien, a lo largo del tiempo la utilización de dicho método ha tenido una gran importancia para la solución de diversos problemas, sin embargo es necesario identificar de manera correcta la implementación de esté ya que una buena elección de elementos nos garantizara la eficacia en la solución.
Palabras clave: elementos finitos, nodos, método, esfuerzo, deformación.
Método de los elementos finitos 
 Según la revista “Ingeniería e investigación” publicada por la Universidad Nacional de Colombia, el surgimiento de éste método se debe a la aproximación de un modelo matemático determinado, para así representar aquellos problemas físicos que se tratan de resolver. Para poder aplicar éste método de una manera eficaz era necesario seleccionar un elemento básico (denominado actualmente como elemento finito) y ejecutar una buena interconexión, para que el sistema resultante converja a una buena solución, lo que en pocas palabras, quiere decir, que a medida que aumenta el número de elementos estará mejor representado el problema.
“El método de los elementos finitos es la herramienta más poderosa de que se dispone actualmente para la solución de muchos problemas de análisis en ingeniería mediante la formulación de un modelo discreto del fenómeno físico correspondiente y el uso del computador. Es importante destacar el hecho de que varios fenómenos físicos distintos pueden representarse por el mismo modelo matemático, de modo que la obtención de resultados numéricos se lleva a cabo utilizando un mismo algoritmo”. (Ramírez, 1987)
 Los principios de análisis de elementos tales como estructuras, vigas, armaduras, máquinas, barras, rodamientos, etc. se basan en modelos y métodos que resultan bastante sencillos, ya que se tienen en cuenta condiciones estáticas o de equilibrio, en los que estos elementos poseen características físicas básicas o muy elementales.[footnoteRef:1] [1: Estos métodos los analizamos en cursos como Mecánica de Sólidos (Estática) y Resistencia de Materiales.] 
 Para analizar elementos de la vida real resulta inútil utilizar métodos tan básicos, por lo que a la hora de intervenirlos existe un complejo mundo de variables e inconvenientes, implicando la demanda de nuevos métodos que sean eficaces, como la implementación de métodos numéricos y elementos finitos.
Desarrollo del método de los elementos finitos
 Cuando se consideran problemas estructurales en donde se considera conocer esencialmente el desplazamiento y los esfuerzos en los nodos[footnoteRef:2] de los elementos a los cuales se les aplican cargas externas, es conveniente utilizar el método de desplazamiento o de rigidez ya que en ello la incógnita es desplazamiento de cada uno de los nodos (las ecuaciones que gobiernan estos problemas son las que determinan los desplazamientos de los nodos). Este método se utiliza porque es computacionalmente adecuado. [2: Los nodos son los puntos de intersección entre dos o más elementos.] 
 Para desarrollar el método de los elementos finitos, primero debe seleccionarse el tipo de elemento: el objeto de estudio se divide en muchos elementos finitos, la solución del problema dependerá de la buena elección de dicho elemento, el número de elementos dependerá del problema. Los elementos más usados son de tipo lineal (1D), bidimensional (2D) y tridimensionales (3D).
Lineal
Bidimensional
Tridimensional
(Shigley, 2020)
Se busca una función que permita caracterizar como se desplaza cada nodo de los elementos.
Se definen las relaciones de esfuerzo-deformación y esfuerzo-desplazamiento de los elementos.
Se define a lo largo del eje x una función:
Donde u es el desplazamiento y la deformación. 
Una ley que determina como se relaciona el esfuerzo y la deformación es la ley de Hooke generalizada:
Donde es el esfuerzo normal en x, y E el módulo elástico.
Se obtiene la matriz de rigidez. La idea fundamental es obtener un sistema de marices, con componentes , y ese vector es el producto de la matriz de componentes k.
 = 
 . . 
 
Se puede expresar como: Desplazamiento de los nodos
 Vector de fuerza de los elementos Matriz de rigidez global del sistema 
 Para el metodo de elementos finitos encontramos una gran variedades de ecuaciones debido a que dicho metodo se utiliza en una amplia gama de areas del conocimiento. A continuación otro modo de desarrollar el método de los elementos finitos presentado en “El método de elementos finitos para solución de ecuaciónes diferenciales” por Julio César Días:
Elementos finitos para resolver ecuaciones diferenciales (Días, 1978)
Partiendo de la siguiente ecuacion diferencial:	
-(au')'(x)+ b{x)u = f{x}, donde x ∈ I = [0.1], u(0) , u(1) = 0 (1).
Como podemos ver esta es una función continua en I y diferenciable 
Como n1, n2 > 0 existen por lo que n1>a(x)>n2 por cada x ∈ I y b es una función que tiene deriva continua y es no negativa en I, por lo que podemos asumir la existencia de una función única que satisface (1) por las condiciones en a b y f.
Procedemos a multiplicar ambos lados por v∈H!, luego integramos por partes en el intervalo que va de 0 y 1.
∫ a(x) u'(x) v'(x)dx + ∫b(x) u(x)v(x)d=∫f(x) v(x)dx (2).Iiiiiiiiii
Iiiiiiiiii
Iiiiiiiiii
Adoptando la notación (f,h)= ∫f(x) h(x)dx tenemos que: Iiiiiiiiii
 
(au', v)+ (bu, v) = (f,v) v∈H! 
 (3).
 La ecuación 3 es la forma débil de la ecuación 1 por lo que podemos determinar que si u es la solución de la ecuación 1 entonces también es la solución de la ecuación 3 es decir son equivalentes.
 De forma puntual el método de elementos finitos para ecuaciones diferenciales basado a partir de la ecuación 3. Dado un subespacio M de H! de dimensión finita, el método se centra en hallar un U∈M.
(aU', V')+ (bU, V) = (f, V), V∈M (4).
Tenemos que M es un subespacio de dimensión finita, tales que U∈M entonces.
M
U=Σ αi vii=1
Reescribiendo 4 y tomando V=Vi, i=1,2,…., M obtenemos.	
M
M
 Σ αj(aV'j,V'i) + Σ αj(bV'j,V'i) = f,Vi, i=1,2,…,Mj=1
j=1
Si escribimos α=(α1,…,M)T, podemos reorganizar la ecuación 4 de la siguiente manera.
(A+B) α=F
Donde A = ((aV'j, V'i) , B=(aV'j, V'i)) y F=((f,V1),..,(f, VM))T, es decir
 
 (aV'1, V'1) (aV'2, V'1)… (aV'M, V'1)
 
 (aV'1, V'2) (aV'2, V'2)
A=
 
 (aV'1, V'M)………….. (aV'M, V'M)
 
 (bV'1, V'1) (bV'2, V'1)… (bV'M, V'1)
 
 (bV'1, V'2) (bV'2, V'2)
B=
 
 (bV'1, V'M)………….. (bV'M, V'M)
Finalizando, podemos concluir que el método de elementos finitos consiste en encontrar un vector de tal manera que:
(A+B)α=FReferencias
Días, J. C. (1978). El método de elementos finitos para solución de ecuaciónes diferenciales (Vol. 12). (pp.1-15)
Ramírez, A. (1987). Formulación generalizada del proceso de elementos finitos. Ingeniería e Investigación, 39.
Richard Budynas, K. N. (2020). Diseño en ingeniería de Shigley (10 ed.). McGraw-Hill.